PREMIERE PARTIE. — • LA STATIQUE

indépendantes et indéterminées, et les teiines multipliés par ces dernières variations, étant égalés à zéro, donneront les équations particulières de l'équilibre. Mais ces réductions pouvant être embarrassantes, il conviendra de les éviter par le moyen de la métbode des multiplicateurs que nous venons de donner dans le paragraphe précédent,

13. Pour appliquer cette méthode au cas dont il s'agit ici, nous supposerons que L = o, M ^ o, etc., soient les équations de condition qui doivent avoir lien par la nature du problème, par rapport à chaque point de la masse, et nous les nommerons équations de condition indéterminées.

Les quantités L, M, etc., seront ici des fonctions des coordonnées finies a.', j, z qui répondent à chaque point de la masse donnée, et de leurs différentielles d'un ordre quelconque.

Ces équations étant différentiées suivant S\ on aura celles-ci : S'L ^ o, ^M = o, etc. On multipliera les quantités «S'L, iJ'M, etc., par des quantités iiidéterniinées A, ^t, etc. ; on en prendra l'intégrale totale qui sera, par conséquent, représentée par la formule

S(A^L + fjjm.^ ...),

et ajoutant cette intégrale à celle de l'article précédent, on aura l'équation générale de l'équilibre.

On observera qu'il n'est pas nécessaire que ^L, i^M, etc., soient les variations exactes de fonctions de x, y, s, dx, dy, etc. , mais qu'il suffit que Jl, :=:o, (îM^o, etc. , soient les équations de condition indéterminées entre les variations de x^ y, z, dx, dy, etc. (art. 5).

Mais il faut remarquer qu'outre les forces qui agissent, en général, sur tous les points de la masse, il peut y en avoir qui n'agissent que sur des points déterminés de cette masse, lesquels points sont ordinairement ceux qui réi)ondent aux extrémités de la masse donnée, c'est-à-dire au commencement et à la fin de l'intégrale désignée par S.

De même, il pourra y avoir des équations de condition particulières à ces points, et que nous nommerons équations de condition déterminées, pour les distinguer de celles qui ont lieu, en général, dans toute l'étendue de la masse; nous les représenterons par A ^= o, B =^ o, C ^^ o, etc., ou plutôt par (S'A ^ o, ^B — o, ,ÎC = o, etc.

yGoosle

yS MECANIQUE ANALYTIQUE.

Nous marquerons d'un trait, nie deux, de trois, etc., toutes les quantités qui se rapportent à des points déterminés de la masse, et en particulier nous marquerons d'un seul trait celles qui se rapportent au commencement de l'intégrale désignée par S, de deux traits celles qui se rapportent à la fin de cette intégrale, de trois ou davantage celles qui se rapportent à des points intermédiaires quelconques.

Ainsi il faudra ajouter à l'intégrale

la quantité

P'ëp'-h Q'Sq'^ K'h-'^ . . , + P'7/j"+ Q''^^^''^ ll"Jr"+ . . - . et à l'intégrale

ia quantité

a^A ^ f-iSB ^ yéC + ....

De sorte que l'équation générale de l'équilibre sera de cette f'oruie :

S{VSp^QSq + Rh'^ ...)^m + S{A(JL + ^^M-h.. .)

14- Comme les fonctions L, M, etc., peuvent contenir non-seulement les variables iinies x, y, z, mais encore leurs différentielles, les variations <^Ij, iTM, etc., donneront des termes multipliés par Sx, S'y, Sz, Sdx, è'dy, etc., et l'équation précédente, lorsqu'on y aura substitué les valeurs de Sp, ^ry, E^r, etc., ^L, lî'M, etc., en Sx, Sy, Sz, Sdx, Sdf, Sdz, etc., ainsi que celles de Sp' , Sp" , etc., Sq' ■, Sq" , etc., ^A, .TB, etc., en Sx\ Ssc" , etc., Sy' , S y", etc., Sdx', etc., déduites des circonstances particulières de chaque problème, aura toujours une forme analogue à celles que le Calcul des variations fournit pour la détermination des maxima et minima des formules intégrales indéfinies ; ainsi il n'y aura qu'à y appliquer les règles connues de ce calcul.

On considérera donc que, comme les caractéristiques d et .^marquent deux espèces de différences entièrement indépendantes entre elles, quand