PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. (Jl

Ainsi on aurait, trois équations de la même forme que celles de l'art. 26, lesquelles, par l'élimination des deux indéterminées A et ^, se réduiraient à une seule ; mais en y joignant l'équation de condition M ^=: o, on aurait, comme auparavant, deux équations entre les trois variables a;, y, z. Ces trois équations donnent, comme dans l'art. 28, l'équation

dndm H- Edx'' =r- o.

Ici l'on a

S.da! = -~~\JdX-\-fidM;

mais l'équation M ^ o donne aussi f/M=o; donc on aura simplement, comme dans l'article cité,

Idx = — Vd)\,

et de là on trouvera le même résultat

S'. SjTf/m H- a^.dm = o.

50. Donc, en général, le problème de l'équilibre d'un système de dm particules animées des forces P, Q, R, etc., qui agissent suivant les directions des lignes/?, ly, r, etc., et qu'on suppose telles, que l'on ait

Vdp -\- Qdfj -+- B-dr + . . . = dn,

se réduit simplement à rendre la formule intégrale Sn(/m un maximum ou un minimum, en ayant d'ailleurs égard aux conditions particulières du système ; ce qui, comme l'on voit, fait rentrer tous les problèmes de l'équilibre dans la classe des problèmes de maximis et minimis, connus sous le nom de problèmes des isopérimètres.

Dans le cas de la chaînette, en prenant les ordonnées j verticales, on a n ^= gy, g étant la force constante de la gravité. Donc il faut que la formule Sydm soit un maximum du un minimum parmi toutes celles où la valeur de

?tdm est la même; mais - ^ - i " est la distance du centre de gravité à l'horizontale; donc, puisque la masse entière est supposée donnée, il faudra que cette distaaice soit la plus grande ou la plus petite : ce qu'on sait d'ailleurs.

ga MECANIQUE ANALYTIQUE.

31. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que des fonctions de variable-s regardées comme indépendantes ; mais si la variable z était censée fonction de X, j, et que l'on eût une fonction U qui contînt x, y, z avec les différences partielles de z relatives à x et j, on pourrait demander la variation i"U, en ayant égard aux variations simultanées de x^y, z.

Soit, pour plus de simplicité,

dz I dz d^ z If d'^z ' d^z

d.T ' dj '' lie' ' dxdy ' ' dy^ "'

dx" ' dx^dy ' ' dxdy^ " ' ' ' '

la quantité U sera fonction de x, j, z, z' , 2,, s", ?' , £,,, etc. , et l'on aura

et la difficulté se réduira à trouver les valeurs des variations Sz' , iTs,, S'Zi etc., en iàisant varier à la fois les éléments dx^ dy^ dans les différences partielles. Nous pouvons supposer, pour rendre le calcul plus simple, que la variation ^x est une fonction de x indépendante de/, et la variation 1^/ une fonction de y indépendante de x. Nous verrons par la suite que cette supposition a toute la généralité que l'on peut désirer.