PREMIÈRE PARTIE

— r.A STATIQUE.

l'équation précétiente devient

- Tdy

- Wd-^ &X

-^fi^dm + rdx'\

(^^dm-h^dxYz^^o.,

laquelle

doune ces trois-ci :

rfn , ,

~j— dm -i~ ^dx —

-Jdy

~ Wdz = o,

-j- dm + rdx =

-.— f/m -h '^dx = o.

Ainsi on a ici autant d'équations que de variables, ce qui paraît mettre une différence entre les problèmes de ce genre relatifs à la Mécanique, et les problèmes de maœbnis et minimis.

27. Mais j'observe d'abord qu'à cause de l'indéterminée A, les trois équations se réduisent à deux, par l'élimination de cette indéterminée; et quoiqu'en général les équations de condition remplacent toujours celles qui disparaissent par l'élimination des indéterminées, la condition introduite ici ^dm = o, c'est à-dire dm constant, ne peut pas lournir une équation particulière pour la solution du problème, parce que, suivant l'esprit du calcul différentiel, il est toujours permis de prendre un élément quelconque pour constant, puisqu'il n'y a, à proprement parler, que les rapports des différentielles entre elles, et non les différentielles elles-mêmes, qui entrent dans le calcul. Ainsi les trois équations seront réduites à deux, et ne serviront qu'à déterminer la nature de la courbe, comme dans les problèmes df; ma;icimis et minimis.

28. J'observe ensuite qu'on peut aussi rappeler les problèmes de Statique dont il s'agit ici, à de simples problèmes de mctximls et minimis.

Car, si l'on ajoute ensemble les trois équations trouvées ci-dessus, après avoir multiplié la première par dx, la deuxième par dy et la troisième par dz, on aura, à cause de

dU , dU , dU

l'équation

Méc. final. I.

dildm H- E(/x^ ::3; O ;

go MECANIQUE ANALYTIQUE.

mais on a

S.dx = ^dV — d . àJJ = — X]d?i,

et comme dm = Vdx, on aura, en divisant par dm, dU — d^ =^ o; d'où l'on tire A = II + a, a étant une constante arbitraire.

Ainsi, à cause de êh ^^Sdm, le tei-me A^L, dans l'équation de l'art. 2S, deviendra nSdm -{- aê^dm, et puisque èndm-{- Ti^dm^ S^.Udin, cette équation deviendra

S^.Tldm -h aSSdm = o, c'est-à-dire

lî'.SiTc/m -t- aS .Sdm ^= o;

c'est l'équation nécessaire pour que la formule intégrale Sn^m devienne un maximum ou un minimum parmi toutes celles où la formule St/m aura une même valeur.

De cette manière on pourra, comme dans les questions de mascimis ei minimis, regarder une des variables comme constante, relativement aux variations par S\ ce qui simplifie l'analyse ; mais la méthode générale a l'avantage de donner la valeur du coefïicîent A, qui, par la théorie exposée dans 3a section précédente, exprimera (*) la force avec laquelle l'élément dm résiste à l'action des forces P, Q, R, etc., qui agissent sur le système.

29. Nous avons supposé, pour plus de simplicité, qu'il n'y avait point d'autre équation de condition; mais s'il y avait de plus l'équation M = o, M étant une fonction de x, j, z, y' , y" , etc. , z', z", etc. , il faudrait ajouter au terme Pi^L sous le signe, dans l'équation de l'équilibre, le terme ^^M, ou plutôt, pour l'homogénéité, le terme ^.h'M.dx, ce qui donnerait à ajouter aux valeurs de S, Y, "F de l'art. 25 les quantités respectives

dM I , dM i ,„ dM

dj dx ' dj' dx^ ■ dy" d'H i f/M , I ,, t/M

n ^oje., à

ce sujet, le paragraphe «, sect. IV, et ia note relative a

u paragraphe 9, sect. 11.

{/. Bertrand.)