AÎ

fJ.

et il n'y aura plus qu'à éliminer de ces équations les deux inconnues A et w; ce qui peut se faire de plusieurs manières, lesquelles fourniront aussi des équations différentes, ou présentées différemment pour l'équilibre des trois corps attachés au fil ; nous choisirons celle qui paraîtra la plus simple.

On voit d'abord que si l'on ajoute respectivement les trois premières équations aux trois suivantes et aux trois dernières, on obtient ces trois-ci, délivrées des inconnues A et /j.:

X'+X"+X'"=o, Y'+Y"-hY"'=o, 7/+Z"-hZ'"=o,

lesquelles montrent que la somme de toutes les forces parallèles à chacun des trois axes des coordonnées doit être nulle, et ne sont qu'un cas particulier des équations générales trouvées dans la sect. IH, g I.

Il ne reste donc plus qu'à trouver quatre autres équations; pour cela, faisant abstraction des trois premières, j'ajoute respectivement les trois du milieu aux trois dernières ; j'ai celles-ci, où /u ne se trouve plus ;

et qui, par l'élimination de A, donnent les deux suivantes :

Enfin, considérant séparément les trois dernières équations qui contiennent M seul, et éliminant fx, ou aura ces deux autres-ci :

Ces sept équations (*) renferment les conditions nécessaires pour l'équilibre des trois corps, et étant jointes aux équations de condition / et g égaies à des quantités données, suffisent pour déterminer la position de chacun d'eux dans l'espace.

13. Si le fil, supposé toujours inextensible, était chargé de quatre corps, tirés respectivement par les forces X', Y', Z', X", Y'^', Z", X'", etc., suivant les directions des trois axes des coordonnées rectangles, on trouverait, par des procédés semblables, qu'il me parait inutile de répéter, les neuf équations suivantes pour l'équilibre de ces quatre corps :

X'-H X"-i-X'"+X'"^o, y'+ y"-hY'"h-Y"'=o, //+ Z"-hZ'" +Z- =o,

J*) Il est à peine besoin de faire observer que ces sept équations sont, en quelque sorte, évidentes k priori, et qu'on pourrait les écrire saos recourir au principe des vitesses virtuelles. Mais le hiit ds Lagrange n'est pas de traiter chaque question particulière de la manière la plus simple ; il veut seulement montrer comment on peul se dispenser d'un raisonnement spécial à chaque cas, et réduire la Statique à un simple mécanisme de calcul. Lagrange, du reste, n'a jamais dit, ni prétendu dire qu'il fût convenable d'aborder ainsi l'étude de la Mécanique. (/. Bertrand.)

PREMIÈBE PARTIE.

LA STATIQUE

'+^"-fc5<'^"'+'*^"

' ''^~''IX"— o.

Il est facile maintenant d'étendre cette solution à tel nombre de corps qu'on voudra , et même au cas de la funiculaire ou chaînette ; mais nous traiterons ce cas en particulier, par la méthode exposée dans le § II de la section précédente.

14. On aurait une solution plus simple, à quelques égards, si l'on introduisait d'abord dans le calcul l'invariabilité des distances y, g", etc.

Ainsi, en se bornant au cas de trois corps, et nommant ^j 4'' '^^ angles que les lignes /, g font avec le plan des x, y, et <?, <p' les angles que les projections de ces lignes sur le même plan font avec l'axe des x, on aura

x" — x' ^ycosip cos4 , /" — y' =/'sin(pcos4 j z" — z ^^^/sin^-, x'" ~ j;''=g-costp'cos4'! y'" — y" ^ g%va'^' itfi%-\\ z'" — 2;"^= §■ sin^'-

Substituant les valeurs de x" ^y" , z" -, x'" ,y"' , s'" tirées de ces équations dans la formule générale de l'équilibre de trois corps,

XV^'-H Y'dy'-\- Z'dz'-\- X"dx" -h Y"dy" '^'L"dz" -h \.'"dx"' -\- Y"'dy"'-{- 7j"dz'"^ o,

en faisant varier simplement les quantités x' , j', z', ip, ip', 4; 4» dont les variations demeurent indéterminées, et égalant séparément à zéro les quantités multipliées par chacune de ces variations, on aura les sept équations :

X' + X"+X"'^o, Y'-i-Y"-h Y"'=o, Z' + Z" + Z'" = o, (X"-h X'") sinip — {Y"+ Y'") costp = o, X'" sin ip' — Y'" cos ?>' =^ o, (X"-f- X'") cos 9 sin 4 -h (Y" -h Y'") sintp sin 4 — (Z"-i- Z'") cos4 ^^ o, X'"costp'sin4'H~ Y'^sinip' sin 4' — Z'"cos4'=^ «i

IUcc. anal. I. i5

Il4 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

dont les cinq premières coïncident immédiatement avec celles qu'on a trouvées dans l'art. 12, par l'élimination des indéterminées A et ^, et dont les deux dernières s'y réduisent facilement, en éliminant les Y", Y'" par le moyen de la quatrième et de la cinquième.

Mais si de cette manière on parvient plus directement aux équations finales, c'est qu'on a employé une transformation préliminaire des variables, laquelle renferme les équations de condition ; au lieu qu'en employant immédiatement les équations avec des coefficients indéterminés, comme dans l'art. 12, la solution du problème est réduite à un pur mécanisme de calcul. De plus, on a, par ces coefficients, la valeur des forces que les verges/et g doivent soutenir par leur résistance à s'allonger, comme on le verra ci-après.

15. Si l'on voulait que le premier corps fût fixe, alors les différences dx' , dy', dz seraient nulles, et les termes affectés de ces différences disparaîtraient d'eux-mêmes dans l'équation générale de l'équilibre. Ainsi les trois équations de l'art. 12, savoir,

n'auraient point lieu; donc les équations

X'4-X"+X'"-h...^o, Y'-hY"-hY'"+...^o, Z'-hZ"-hZ'"+...=o,

n'auraient pas lieu non plus, mais toutes les autres demeureraient les mêmes. Ce cas est, comme l'on voit, celui où le fil serait attaché fixement par une de ses extrémités.

Et si le fil était attaché par ses deux extrémités, alors on aurait non-seulement dx'^o, (^j':=o, dz'=.o, mais aussi dx'"^^"' =^ o, df'"^'"' = o, ^^wetc. __ ^j . g^ igg ternies affectés de ces six différences dans l'équation générale de l'équilibre disparaîtraient, et feraient, par conséquent, disparaître aussi les six équations particuHères qui en dépendent.

En général, si les deux extrémités du fil n'étaient pas tout à fait libres, mais qu'elles fussent attachées à des points mobiles suivant une loi donnée, cette loi, exprimée analytiquement, donnerait une ou plusieurs équations entre les différences dx', dy' , dz' qui se rapportent au premier corps, et les

i'RBMlÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. I 1 rj

différences dx'"^^"^-, df'"^'"-, dz'"""', qui se rapportent au dernier; et il faudrait ajouter ces équations multipliées chacune par un nouveau coefficient indéterminé, à l'équation générale de l'équilibre trouvée plus haut ; ou bien on substituerait dans cette équation générale la valeur d'une ou de plusieurs de ces différences, tirée des équations dont il s'agit, et l'on égalerait ensuite à zéro le coefFicient de chacune de celles qui restent, ainsi qu'on l'a fait ci-dessus (art. 14). Comme cela n'a aucune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas.

16. Pour connaître les forces qui proviennent de la réaction du fil sur les différents corps, il n'y aura qu'à faire usage de la méthode donnée pour cet objet dans la section précédente (art. 5).

On considérera donc que l'on a, dans le cas présent,

di.^d/ = dM = ds: -

Donc, i". on aura, par rapport au premier corps dont les coordonnées sont x' , y' , z' ,

dL x" — x' dlj y" — -y' dh z" — z'

dx' /■ ■ dr' ~~ /' dz' f '

(x"-a:')(<fc'-J«') + 0."

(i--x")(rfx"-,") + (y"'-

JfdLy 'fdhy /dhy ^ix"-

-^{x"-yy-+{^"-

Ainsi le premier corps recevra par l'action des autres une force égale à A, et dont la direction sera perpendiculaire à la surface représentée par i'équalion dh = df= o, en y faisant varier simplement x', y', z' ; or il est visible que cette surface n'est autre chose qu'une sphère dont le rayon est y, et dont le centre répond aux coordonnées x",f", z" ; par conséquent, la force A sera dirigée suivant ce même rayon, c'est-à-dire le long du fil qui joint le premier et le second corps.

2°. On aura de même, par rapport au second corps dont les coordonnées

Il6 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

sont x", /" s",

dL x" — x' dh j" — j' dL

diP' — "^^" ' dy ~ ~^f~ " ' d^" ''

donc

d'où il s'ensuit que le second corps recevra aussi une force À dirigée perpendiculairement à la surikce dont l'équation est dh = df^ o, en faisant varier ^", j", z"; cette surface est de nouveau une sphère dont le rayon est y, mais dont le centre répondra aux coordonnées x\ y' , z' du premier corps; par conséquent, la force A qui agit sur le second corps sera aussi dirigée suivant le fiiy qui joint ce corps au premier. 3". On aura encore, par rapport au second corps,

^M x"'^x" dM^y"'—r" dM. z'" — z\

dx" ~^ g ' 'fy" ~' S ' dz"~ g '

/fdmy- fdMY

De sorte que le second corps sera poussé de plus par une force égale à ju, dont la direction sera perpendiculaire à la surface représentée par l'équation dg = o, en faisant varier .r", /", z"; cette surface n'étant autre chose qu'une sphère dont le rayon est g, il s'ensuit que la direction de la force ^ sera suivant ce rayon, c'est-à-dire suivant le fil qui ]oint le deuxième corps au troisième.

On fera le même raisonnemtiit par rapport aux autres corps, et l'on en tirera des conclusions semblables.

■17. Il est évident que la force A [iroduite daiis le prenuer corps, suivant la direction du fil qui joint ce corps au suivant, et k force égale à A, mais directement contraire, qui agit sur le deuxième corps, suivant la direction du même fil, ne peuvent être que les forces qui résultent de la réaction de ce fil sur les deux corps, c'est-à-dire de la tension que soufïi'e la portion du fil interceptée entre le premier et le deuxième corps; de sorte que le coefficient A exprimera la quantité de cette tension. De même le coefficient ^ expri-