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•1 , yi'x"'—x"r"' '/ z"x"' — x" z'"
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123 MiScANIQUE ANALYTIQUE.
lesquelles étant, comme l'on voit, analogues aux équations primitives, donneront de la même manière, par la simple addition, ces trois-ei :
Xy — Y'x' -h XV'— Y"a!"+ yj"y"'~Y"'x"'= o, X'z' — TJ x' -+- 'YJ' z" — TJ' x" H- X'" z'" — II" x'" ^= o,
Y'z' - zy ^- Y V — zy + Y"'z"' — z"y" = o.
Les trois équations trouvées ci-dessus montrent que la somme des forces parallèles à chacun des trois axes des coordonnées doit être nulle ; les trois que nous venons de trouver renferment le principe connu des moments {en entendant par moment le produit de la puissance par son bras de levier) , par lequel il faut que la somme des moments de toutes les forces, pour faire tourner le système autour de chacun des trois axes, soit aussi nulle. Ainsi ces six équations ne sont que des cas particuliers des équations générales données dans la sect. III, §g I et IL
22. Si le premier corps était fixe, alors les difiérences dx' , dy' , dz' seraient nulles, et les trois premières des neuf équations de l'art. 20 n'existeraient pas ; il n'y aurait donc alors que six équations, qui, par l'élimination des trois inconnues A, ju., v, se réduiraient à trois.
Pour arriver à ces trois équations, on peut s'y prendre d'une manière analogue à celle dont on s'est servi pour trouver les trois dernières équations de l'article précédent, pourvu qu'on ait soin de faire en sorte que les transformées ne renferment point les indéterminées A et v qui entrent dans les trois premières dont il faut maintenant faire abstraction ; or c'est ce que l'on obtiendra par ces combinaisons ;
-r') Ix-
fx"
-x') Ij'
—z') iy'"
tr"
PREMIÈRE l'ARTIE. LA STATIQUE. 123
et si l'on ajoute maintenant les trois premières de ces transformées aux trois dernières, on aura sur-le-champ ces trois-ci :
— Y"'(,x"'— ic') =0,
— TJ" ( ic'"— x') = 0,
lesquelles auront toujours lieu, quel que soit l'état du premier corps, puisqu'elles sont indépendantes des équations relatives à ce corps. Ces équations renferment, comme l'on voit, le même principe des moments, mais par rapport à des axes qui passeraient par le premier corps.
23. Supposons qu'il y ait un quatrième corps attaché à la même verge inflexible, pour lequel les coordonnées rectangles soient x'\y'\ z'\ et les forces parallèles à ces coordonnées X'% Y'', Z'\
Il faudra donc ajouter à la somme des moments des forces, la quantité
X'°^"-l- Y^dy"-]- Z"'dz"';
ensuite, comme les distances entre tous les corps doivent demeurer constantes, on aura, par les conditions du problème, non-seulement 4/'=^ o, dg=^o,dk^=o, comme dans le cas précédent, mais aussi fi?/ ^:^o, (im^o, dn = o, en nommant /, m, n, les distances du quatrième corps aux trois précédents. Ainsi l'équation générale de l'équilibre sera, dans ce cas,
X'dx' -+- Y'dy' + 71 dz + %!'dx" -\- Y"dy" H- 71' dz" -h X'"(fe'" + Y"'dy"' -\- TI"dz"' -b- X"'(Ù:"h- Y'^df-^ Z"dz" -h Mlf-\- fxdg -^vdh -h Trdl^ çidm -h trdn = o.
Les valeurs de dj', dg, dh sont les mêmes que ci-dessus ; quant à celles de dl, dm, dn, il est visible qu'on aura
1= y^'*— x'y'^Jy-— y'Y+ (z*''— z'y, m^^J^'—xy^ [y-— y"Y^{z"—z")\
yGoosle
ia4 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
et, par conséquent,
dm = {^•''-^"){^ ^--^")+{y''-j") {4r"-'iy')'^{^"'-^") (^^■•' ~'^^") ^
^^ ^ {x^-'-x"'){dx"'-^dx"')-\-{j^''-j >"){^fy ''-dj"')+{z^^-z '"){dz^'^dz"') ^
Faisant ces substitutions, et égalant à zéro la somme des termes afïéctés de chacune des différences dx', dj' , etc. , on trouvera douze équations particulières, dont les neuf premières seront les mêmes que celles de l'art. 20, en ajoutant respectivement à leurs premiers membres les quantités suivantes :
ii" — «"
et dont les trois dernières seront
+ p^-sr-' +
24. Comme il y a en tout douze équations, et qu'il y a six indéterminées, A, fA., v, 7T, p, (7, à éliminer, il ne restera, pour les conditions de l'équilibre, que six équations finales, comme dans le cas de trois corps ; et l'on trouveni par une méthode semblable à celle de l'art. 21, ces six équations analogues à celles de cet article,
X'+X"-hX'"+X'^=o, Y'^Y"+Y"'+Y-^o, Z'+Z"^ Z'"-h Z"=o,
yGoosle
