PREMIÈRE PARTIE. LA STATIQUE

X'j' — Y'x-'-h X"j"~ Y"x"^ X'"/'"— Y"'a:"'+ X'>"' — Y".x-"-^ o, ,X'z' — Z'oc'h- X"3" — '11' x" ^ X'^'s'" — Tl" x'" •+- X"z"" — Z^œ'" = o, Y's'— Z'j'+ Y" s"— Z"j"+ Y'"s'" — Z"y"+ Y"z'" — Z'>"^ o.

Au lieu des trois dernières, on pourra aussi substituer les trois suivantes, qu'on trouvera par la méthode de Fart. 22, et qui, étant indépendantes des équations relatives au premier corps, ont l'avantage d'avoir toujours lieu, quel que soit l'état de ce corps :

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25. On voit maintenant comment il faudrait s'y prendre pour trouver les conditions de l'équilibre d'un nombre quelconque de corps attachés à une verge ou à un levier inflexible. En général, il est visible que, pour que la position respective des corps demeure la même, il suffit que les distances des trois premiers corps entre eux soient constantes, et que les distances de chacun des autres corps à ces trois-ci le soient aussi ; puisque la position d'un point quelconque est toujours déterminée par les distances de ce point à trois points donnés. On fera donc, pour chaque nouveau corps qu'on ajoutera au levier, les mêmes raisonnements et les mêmes opérations qu'on a faites dans l'art. 25, relativement au quatrième corps, et chacun d'eux fournira trois nouvelles équations particulières, avec trois nouvelles indéterminées à éliminer; en sorte que les équations finales seront toujours en même nombre que dans le cas de trois corps, et elles seront de la même forme que celles que nous venons de trouver dans l'article précédent.

Au reste, il est visible que ces équations rentrent dans celles que nous avons trouvées en général pour l'équilibre d'un système quelconque libre, dans les art. 5 et 9 de la sect. ÎII. En effet, puisque, à cause de l'inflexibilité de la verge, les distances des corps entre eus sont inaltérables, il

l'jAi MÉCANIQUE ANALYTlQUr:.

s'ensuit que l'équilibre doit avoir lieu si les mouvements de translation et de rotation sont détruits : on aurait donc pu, par cette seule considération, résoudre le problème précédent, d'après les formules des articles cités ; mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile d'en donner une solution directe, et tirée des conditions particulières de la question.

j^ llï. — De l'équilibre de trois ou plusieurs corps attachés à une verge à ressort.

26. Considérons de nouveau le cas de trois corps joints par une verge, et supposons de plus que la verge soit élastique dans le point où est le second corps, en sorte que les distances de celui-ci au premier et au dernier soient constantes, maïs que l'angle formé par les lignes de ces distances soit variable, et que l'effet de l'élasticité consiste à augmenter cet angle, et, par conséquent, à diminuer l'angle extérieur formé par un des côtés et par le prolongement de l'autre.

Nommons la force de l'élasticité (*) E, et e l'angle extérieur qu'elle tend à diminuer ; le moment de cette force sera exprimé par Kde (sect. II, art. 9) ; (le sorte que la somme des moments de toutes les forces du système sera

X'^'h- Y'd/^ Z'dz'^ XVx'"-h YV7"-h 7J'dz"

-+- X"dx"' + Y"'df" -fr Vdz'" -V- E(/e.

Or les conditions du problème sont les mêmes ici que dans l'art. 12, c'est-à-dire (//= o et t?g- = o. Donc on aura cette équation générale de l'équilibre,

yJdx'^ YVir'H- 7ldz'+ m'dx"^ \"df ^71'dz"^ X"'dx"' -h Y"'dy"' -+- 7!"dz"' -^ E(/e-h 7\df+ //.dg ^:= o;

et il ne s'agira que d'y substituer les valeurs de de, dj\ dg; celles de dfet dg sont les mêmes que dans l'article cité.

(*j Le mot force est ici détourné de sa signification habituelle. Lagrange regarde comme évident que l'ensemble des forces qui sont produites par l'élasticité ayant une somme de moments égale à zéro lorsque l'angle e est iovariable, cette somme peut être considérée, en général, comme proportionnelle ■A de, et il la représente alors par Y.de, E n'exprimant une force que si l'on adopte la t du paragraphe 9, sect. H. Koyei la note relative à ce paragraphe. [J. Berirand.)