PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

Y, Z, dirigées suivant les coordonnées rectangles x, y, z de ce point. Ainsi, en nommant dva l'étément du fil, lequel est proportionnel à rélément ds de la courbe, multiplié par l'épaisseur du fil, on aura, pour la somme des moments de toutes ces forces, relativement à la longueur totale du fil, cette formule intégrale (art. 12, sect. IV)

S(XS^+Yâ/4-ZSz)^m;

et comme la quantité ^dx 4- ^dy -\- %dz n'est qu'une transformée de ¥dp 4- (^dq H- lA.dr -H . . . (art. \), si les forces P, Q, R, etc., sont telles que cette quantité soit intégrable, en nommant n son intégrale, on aura, comme dans l'art. 25, sect. IV,

XSx + YSj + ZSz^Sn, et la somme des moments sera exprimée par SSlIf^m.

g I, — De V équilibre d' un fil flexible et inextensible.

29. Considérons d'abord le cas d'un fil parfaitement flexible et inextensible; l'élément ds de la courbe de ce fil étant exprimé par

\Jdx^ H- dy'^ + flz' ,

il faudra, par la condition de l 'inextensibilité, que ds sôit une quantité invariable, et qu'ainsi l'on ait, par rapport à chaque élément du fil, cette équation de condition indéfinie ^ds = o. Multipliant donc ^ds par une quantité indéterminée à, et prenant l'intégrale totale, on aura Sx^ds; et si l'on n'a point d'autre équation de condition, on aura l'équation générale de l'équilibre, en égalant à zéro la somme des deux intégrales SSric/m et S^Sds. Or ayant ds = y/tfe^ 4- dy^ -\- dz^, on aura, en différentiant suivant S,

^, dxodx-i- dyddf -\-dzddz

-' — jg '

donc

SÀ^ds = S --7— ^dx -h S -V- ^dy -+- S -7- cdz: as ds ■' as '

changeant ^d en do, et intégrant par parties pour faire disparaître le d

Mec. amil. 1. 15

l3o MECANIQUE ANALYTIQUE.

avant â, suivant les règles données dans l'art. 15, sect. IV, on aiu'a ces transformées,

S^Mx = ds

)."dr" . , as"

-Sd.

sl^^dj =

Vil' ^ /

-Sd.

~j~ àcLz =

Vtlz" „ „

ds'

~Sd.

idz .

Ainsi l'équation générale de l'équilibre deviendra

X"dx"f. n V dv" ^ „ y!'dz'\ ,/ )/dx' ^ , X'dy' ^ , l' dz' ^ ,

30. On égalera d'abord à zéro (art. 16, section citée) les coefficients de

â^, âj, Iz sous le signe S, et l'on aura ces trois équations particulières et

indéfinies,

V j j "kdx

\am — d. —T~ = G,

T^dm —d.—r' =o,

d'oii éliminant l'indéterminée A, il restera deux équations qui serviront à déterminer la courbe du fil.

Cette élimination est très-facile, car on n'a qu'à intégrer les équations précédentes, ce qui donnera celles-ci :

l±=B^fYdm,

—,— = C -h JZf^m,