PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. r
et
Ces trois équations répondent, comme l'on voit, à celles de l'art. 12 de la section présente.
54. Supposons, en second lieu, que le fil soit attaché par un de ses bouts ou par tous les deux; et, si c'est le premier bout qui est fixe, les variations S,r', Sy, Sx' seront nulles, et il suffira d'égaler à zéro les coefficients de i\r", Sj", Ss", c'est-à-dire de faire >!' =^ o.
Par la même raison, lorsque le second bout sera fixe, il suffira de faire x'= o. Mais si les deux bouts étaient fixes à la fois, alors il n'y aurait aucune condition particulière à remplir, puisque les variations Sa/, S/', âz', S,r", âj", Sz" seraient toutes nulles.
55. Supposons, en troisième lieu, que les extrémités du fil soient attachées à des lignes ou surfaces courbes, le long desquelles elles puissent glisser librement; et soient, par exemple,
dz' = a'dx' -+- b'dy', dz" ^=- a"dx" -+- b'^dy"
les équations différentielles des surfaces auxquelles le premier et le dernier point du fil sont attacliés. On aura pareillement, en changeant d en S,
Sz' = a' hx' -\- h'oy' y oz"=^ a"Zx" -\r b'^Sy" \
on substituera donc ces valeurs dans les termes dont il s'agit, et l'on égalera ensuite à zéro les coefficients de Sx', Sj', ^x" , Sr"-
En général, on traitera là partie qui est hors du signe dans l'équation générale de l'équilibre, comme si elle était seule, et qu'elle représentât l'équation de l'équilibre de deux corps séparés et placés aux extrémités du fil.
36. Supposons, par exemple, que le fil soit attaché par ses deux bouts aux extrémités d'un levier mobile autour d'un point fixe. Soient a, h, c les trois coordonnées rectangles qui déterminent dans l'espace la position de ce point fixe, c'est-à-dire du point d'appui du levier ; et soient de plus y la distance entre ce point d'appui et l'extrémité du levier à laquelle est attaché le premier bout du fil, g" la distance entre le même point d'appui et l'autre extré-
l34 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
mité du levier à laquelle est attaché le second bout du fil, /( la distance entre les deux extrémités du levier, et, par conséquent, aussi entre les deux bouts du fil: il est clair que ces six quantités a, b, c,y, g", h sont données par la ]iature du problème, et il est visible en môme temps que x' , y' , z' étant les coordonnées pour le commencement de la courbe du fil, et x" , j", z" les coordonnées pour la fin de la même courbe, on aura
Or ces quantités/; g, h étant invariables, on aura, en différentiant par 5 ce.s trois équations de condition déterminées,
{a — ,c')S^' H- [b — y')^y' ■+■ {c ^— z')^z' = o, {a — x")^x" ~\- {b — y")^y"-\- (t- — z") Iz"^ o, {x"—x') {Ix"— Ix') + {y"— y') {Sy— ly')^[z" — z') {U"—lz) ^ o,
lesquelles étant multipliées chacune par un coefficient indéterminé, devront être aussi ajoutées à l'équation générale de l'équilibre. Ainsi, prenant a, |S, -y pour les tiois coefficients dont il s'agit, et égalant à zéro les coefficients des six variations âa;', §}'', Sa', Sa;", Sj", Sz", on aura autant d'équations particulières déterminées, qui seront
. /, il! f\ '■ "^
« {!> — j') — y {/' — j') jf- = o,
!Z (c — Z ) — 7 ( z — z) — ■ — TT- = O)
et qui, par l'éUmiuation de a, (3, y-, se réduiront à trois.
