PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. I
Ces trois équations étant ensuite combinées avec les trois équations de condition ct-dessus, serviront à déterminer la position des deux extrémités du fil.
On voit par là comment il faudra s'y prendre dans d'autres cas semblables.
37. Enfin, si, outre les forces qui animent chaque point du fil, il y en avait de particulières appliquées aux deux extrémités du fil, et représentées par X', Y', Z' pour le premier bout du fil, etpar X", Y", Z" pour le dernier bout, ces forces donneraient les moments
X'S.ï;'+ Y'Ôj'-+-Z'2s'+ X"Ôx"-4- Y"Sj+ 7l'tz\
et il faudrait ajouter encore cette quantité au premier membre de l'équation générale de l'équilibre, e'est-à-dire à la partie qui est hors du signe, laquelle deviendrait alors
(x"+ ^) s-"+ (y"+ ^t') sr"+ (z"+ '^) ô/, , (x' - ^) u + (y igi) sy -H (z'~ ^^') s/,
et sur laquelle on opérerait, dans les différents cas, comme on vient de le voir dans les articles précédents.
58. Supposons maintenant que le fil, animé dans tous ses points par les mêmes forces X, Y, Z, et tiré de plus, dans ses deux extrémités, par les forces X', Y', Z', X''', Y", Z", doive être couché sur une surface courbe donnée, dont l'équation soit dz =.p(L% H- qdy^ et que l'on demande la figure et la position de ce fil sur la même surface pour qu'il soit en équilibre.
Ce problème, qui serait peut-être difficile (*) à traiter par les principes ordinaires de la Mécanique , se résout très-facilement par notre méthode et par nos formules; en efièt, par l'équation de la surface donnée, on a, en changeant (ien S, %z = p'hx -'t- q^y\ ainsi il n'y aura qu'à substituer cette valeur de %7. dans les termes sous le signe de l'équation générale de l'équilibre du
(*) On ne comprend pas comment Lagrange a pu considérer ce problème comme difficile à traiter directement. Les équations auxquelles il parvient expriment simplement que les deux tensions aux extrémités d'un élément, étant combinées avec les forces qui sollicitent cet élément, donnent une rcsTiItante normale à la surface. Cette condition est évidente à priori. (/. Bertrand.)
l36 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
fil (art. 29) , et ensuite égaler séparément à zéro les quantités affectées de S.x et de S y. On aura par ce moyen ces deux équations indéfinies,
Xdm — d. -^-i-^ i Z(/m — d. -V^) = o,
Yofm — <^--£-'^- 9 (Zdm— d. —^
lesquelles serviront à déterminer la courbe du fil, étant combinées avec i'équation dz =^ pdx -h qdy de la surface, et étant débarrassées, par l'élimination, de l'indéterminée A.
59. De phis, comme on suppose le fil appliqué dans toute sa longueur à la même surface, on aura aussi, pour ses deux points extrêmes,
'è z' = p' 'es/ -\- q'^y' et 'èz" -^ p"^x" -\- q"Zy" .
On fera donc encore ces substitutions dans les termes hors du signe de l'équation générale, ou plutôt dans la formule donnée dans l'art. 57, dans laquelle on a eu égard aux forces X', Y', etc. ; on égalera ensuite séparément à zéro les quantités affectées de chacune des quatre variations restantes S-r', S/', ox" , ty" ; on aura ces quatre nouvelles équations déterminées,
ds'
-dF
y-if
ds'
l'dz' ds'
Vdx" + ds'i
Vdz
^ Vdy' + ds"
Vdz'
auxquelles
il faudra satisfaire
parle
moyen <
ies constantes.
40. Mais au lieu de substituer, ainsi que nous venons de le faire, la valeur de Sz en Sa? et S j tirée de l'équation Zz — plïx — qly = o^ on pourrait regarder cette même équation comme une nouvelle équation de condition indéterminée ; il faudrait alors multiplier cette équation par un autre coefficient indéterminé /n, en prendre l'intégrale totale, et l'ajouter à l'équation générale de l'équilibre (art. 29). De cette manière la partie sous le signe
