TT F'^U ^.UF

YU -+- -T n- H Vz = o,

dy dj '

ZU — V = o.

Les deux premières donneront la valeur de la force F qu'il faudra substituer dans l'expression de V de la troisième, de sorte qu'on n'aura, en dernière analyse, qu'une seule équation à différences partielles pour déterminer la surface d'équilibre.

En efïét, quoique la force F doive être supposée une fonction connue de l'élément dm. de la surface dans son état de contraction ou d'extension, elle n'en demeure pas moins indéterminée, parce que la grandeur absolue des éléments de la surface ne peut entrer dans le calcul; de sorte que la valeur de F ne peut être déterminée que par les conditions mêmes de l'équilibre; c'est ici un cas semblable à celui de l'art. 45.

Pour éliminer la quantité F, on substituera dans les deux premières

équations la valeur de V tirée de la dernière; elles deviendront

\ dx ) dx dx

dy dj

Soit, comme dans l'art. 28,

Xdx -H Yd/^ -+- Zdz — du ; on aura, puisque z est censée fonction de -r, j,

dlî Y r/ dz dU -^ rj dz

dx ^ dx dy ' ' dj

et les deux équations deviendront, en divisant par U,

dU__dV^ dU dF dx dx dy dy

lesquelles donnent simplement celle-ci,

dn = dF, d'oii F = n-h«,

résultat conforme à celui de l'art. 56, sect. ÏV, Ensuite la troisième équation donnera, en regardant n comme fonction de x, y, z,

, ¥z' , Fz,

U ^n ZÏL __ lï = o ■

dz dx dy '

ce sera l'équation de la surface.

Si la surface difïërait très-peu d'un plan, en sorte que l'ordonnée z ïùx. très-petite; alors, en négligeant les quantités très-petites du second ordre, on aurait

U = i; or F::=^n -i- a,

a étant une constante, et l'équation de la surface serait

dz dx dy '

En supposant qu'il n'y ait d'autres forces que la gravité g qui agisse suivant i'ordonnée z pour l'augmenter, on aura II =: — gz\ par conséquent, en