PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

Substituant dans SESe, et taisant, pour abréger,

ris ijd'x^ -I- ^j s + ^5 2^ ^i^ ^-2

on aura

SEde = Sid^xBd'-^x-h SLd'\Y^d^y -i- Sild'^z8d^z.

Ces expressions étant traitées suivant les règles données dans l'art. 15 df, la sect. IV, en y changeant d'abord âf/en f/S, et intégrant ensuite par parfk s pour faire disparaître le d avant â, on aura les transformées suivantes :

Sld'^œod'a: ^= V'd'^x"dlx" — d. {V'd'^x"')lx" — Vd^x'dëx'

-H d. {Vd^x')^x' -\- Sf/^ .{id^x)8x, Sld'fSdy = l"dy"d^f" — d. {V'dy") Sj" -- l'dydBy'

-+-d.{rdy)sy-h sd\{idy)8y,

Sld'^z'Sd^z = l"d^z"d'ùz" — d.{l"d^z'')^z" — X'd'z'dèz' -i- d.(l'd'z')8z' -{- Sd\{ïd'z)^z.

On ajoutera donc ces différents termes à ceux qui forment le premier membre de l'équation générale de l'équilibre de l'art. 29, et l'on aura l'équation de l'équilibre d'un fil inextensible et élastique.

48. Egalant d'abord à zéro les coefficients des variations âx, S/, 8z, qui se trouvent sous le signe S, on aura ces trois équations indéfinies,

Xi/m — d.—, h d- . (If/^x) = o,

Y dm — d. --r- -h d^ . {Id-y) = o,

Xdm — d. -- - H- d- . (If/^s) = o,

d'oix il faudra éliminer l'indéterminée A, ce qui les réduira à deux, qui suftiront pour déterminer la courbe du fil.

Une première intégration donne

-^ d. {id-x) ^= A + /X//m,

';±~</.(wy) = B + /yrfm,

*^ — d.{ld'z) = C + fZdm,

l46 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

A, B, C étant des constantes arbitraires, et l'élimination de A donnera

ih:d.(idy) —dfd.{ld'x)= {A^fXdm)dj — {Ti + JYdm)d3:, dxd.{ld'z)— dzd.(Id'x) = (A+fXdm)dz — {C-\-fZdm)dx, dyd.{ld'z) — dzd.{ld,'x) = (B + /Y rfm) rfz — (C -hfZdm)dr,

dont la dernière est déjà contenue dans les deux autres. Ces équations sont de nouveau intégrables, et l'on aura

l(da:dy — dyd'x) = F + /{A + /Xrfin)r/j— /(B + fYdm)dx, l(dxd'z~dzd'x) = G + /(A + /Xrfm)Jz— /(G + fldm) dx, I{dyd'z ~ dzd'y) = H + /(B + /Yrfni) dz~J{C.-h fZdm) dy,

F, G, H étant de nouvelles constantes.

Or nous avons supposé plus haut (art. 47)

le carré du dénominateur de cette quantité est

= {dx^-^df^-\-dz^) {d^a:^-ird-y^-hd^z'^) — [dxd^x-i- djd^y-+-dzd^zy = {dxd^f — dfd^xY-h [dxd'^z — dzd^xY -^ [dyd'^z — dzd^y-y.

Donc, si l'on ajoute ensemble les carrés des trois équations précédentes, on aura celle-ci, sans différentielles,

E= = [F +/(A +/Xû?m) dj — /(B -H/Yrfm)(/^]% H- [G -^/(A-h/X</m)(^s — /(C +/Z(^m)d;x]% ^[n^J{^-^JYdm)dz-~j-{C+j7.dm)dyY;

et si l'on divise ensemble deux des mêmes équations, on aura celle-ci, où l'élasticité n'entre pas,

G-i-f(k-\-J-S.dm)dz—J{Q.-\-fZdui)dx

dxd^y—dyd'^x ~F-i-f{A-{'fXdm)dy — /(B + f\dm)dx

yGoosle