PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. lt
Ces deux équations sont ce qu'il y a de plus simple pour déterminer k courbe élastique, en ayant égard à la double courbure,
49. On suppose communément que la force élastique qui s'oppose à l'inîlexton est en raison inverse du rayon osculateur. Ainsi, en nommant p ce rayon, on aura E := — , K étant un coefficient constant.
ds
Mais on sait
que
supposée égale à —j^ (art. 47), deviendra -p, et, par conséquent, constante, en supposant, ce qui est permis, ds (constante. Ainsi les trois premières équations (art. 48) seront
■•ri , Idx Kd''x X-am — a. --. 1 — -j^- = o,
Y<im-rf.ia-+=ii=o,
ds dr
Idz Kd'z
Tjdra — a . -^— ds
Si l'on ajoute ensemble ces trois équations, après avoir multiplié la pre-
mière par -^^ , la deuxième par -^ et la troisième par ^ , on aura, à cause de
d.T I dx dy j dy dz , dz ^^^ i , / dx^-hdj^+ dz'\
ds ' ds ds ' lis ds ' ds 2 ' \ ds^ j '
l'équation
/v j V 7 >? J \'i'^ . V dxd'x-^dYd''Y+dzd'-z ,
(Xrfx -(- Yt/j H- Ldz)—j — h K ~-j-^ = rtA.
Soitr l'épaisseur du fil, on aura(/m;=rc^j, et l'équation précédente étant intégrée, en supposant ds constant, donnera
A ^ /r (Xt/,T -h Xdj + Zdz)
^ f dxd^x--\-dydy-\-dzd^s d^x--+- dy^ -{- d^z'\ \ ds"" zds'' J
Otte valeur de A exprime la tension de la lame élastique, c'est-à-dire la résistance avec laquelle elle s'oppose à la force qui tend à l'allonger, comme dans l'art. 5J.
yGoosle
l48 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
50. Le cas le plus simple et le plus ordinaire est celui dans lequel les forces X, Y, Z, qu'où suppose agir sur tous les points de la lame élastique, sont nulles, et que la courbure de la lame vient uniquement des forces appliquée.^ à ses deux extrémités. Dans ce cas, les équations intégrales de l'art. 48 donnent, en mettant pour I sa valeur -^j
xr djd^z—~dzd'^y ds"
+ Aj-
H-Aï-
-Cx,
+ Bz-
-Cj;
mais l'intégration ultérieure de celles-ci est peut-être impossible en général {*} . Lorsque la courbure de la lame est toute dans un même plan, en prenant pour ce plan celui des x et j, et fiiisant dj = ds sin (^, dx^ ds ces ip, la première équation, qui est alors la seule nécessaire, devient
-,- -■= F -i- KJ%m<pd.s — lâjcos^ds,
laquelle, étant différeiitiée, donne
—■ ;= A sin tp — lî ces (p ;
multipliant par d(p, et intégrant dereclief,
■^-^ =^ A costp H- li sin ip -\- D, d'oïl l'on tire
ds =^ et, de là,
dx =^
('} Celte iûlégration a été effectuée par M. Binet, qui a mémo considéré les équations plus {générales auxquelles on est conduit en rétablissant dans la somme des moments des forces d'élasticité, le terme proportionnel à la variation de l'angle de deux plans osculateurs consécutifs. ( Comptes rendus (h l'Académie des Sciences, i844, î^"' semestre, page i ri5.) Foyez une Note à la Gn du volume.
[J, Beitranil.)
V2D+a4ci»y+2Bsi
co.» d^
VaD + iAcos^ + aBsi
l'REMlÈRE PARTIE, ■ — LA STATIQUE. l ^C,
et (îoninie on a par la première équation F H- A.J — Bx --= -j^, on aura
■y = — ^ — \J3.[) -H- 2 Acos?) + 2 B sin ip ■
Ainsi tout se réduit à intégrer les valeurs de ds etdx; mais ces intégrations dépendent de la rectification des sections coniques. Jusqu'à présent il ne paraît pas qu'on ait été plus loin dans la solution générale du problème de Ja courbe élastique.
5t. Considérons maintenant les termes de l'équation générale qui sont hors du signe S ; ces termes sont
^ r^^ — d.(i"d'z")\Bz"^i"d'z"d^z"
— ■— v-T d.{l'd'^x') â.r' — V d'x' dix'
- [^ - d.{\'d\r')yor'-i'd"-fdix'
ï}^^d.{Vd'z')]^z' — l'd'z'dSz';
et il faudra les faire disparaître indépendamment des valeurs de 8x", 8y", etc.
Donc, i". si Je fil est entièrement libre, il faudra que les coefficients des douze quantités 8x" , Sy", Sz", d8x" , d^y" , diz" , Bx' , 2y' , âz', d^x' , dSy', d8z' soient chacun nul en particulier.
Or, d'après les premières équations intégrales de l'art. 48, on voit qu'en faisant commencer les intégrations au premier point du fil, les coefficients de S^', âj', Sz' sont égaux à A, B, C, et ceux de ix" , ij", iz" deviennent A -h SXf/m, B -\- SYdm, G -|- SZ(^m. Ainsi il faudra que l'on ait, dans le cas dont il s'agit,
A r^ o, B =^ o, G ^ o, et SXc?m ^= o, SY dm ^= o, SXdm = o.
Ensuite il faudra que l'on ait aussi
I"(^a;"=o, l"dy=o, l"d^z"=o, et ï'd^x'-=Oy Vd-y=o, Vd'^z'=o,
1 5o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
pour faire disparaître les termes affectés de d^x" , dZy" , etc. ; et il est clair que les secondes équations intégrales du même article donneront
F =: o, G = o, H^=o, et
S(/'X«fm.(^j— fY(/ni.(/x) = o, S(/X(/m.(^z — Ç2idm..dx)^=o, S{fYdm.dz — fZdm,dy) = o.
2". Si la première extrémité du fil est fixe, alors âx':^=o, S^''=o, Ss'^=o; par conséquent, A, B, G ne seront pas nuls : mais la condition que les coefficients de Sx", Bf", Ss" soient nuls, donnera
A^ — SX(/m, B= — SYdm, C^ — S7.dm;
et si la position de la tangente à cette extrémité était donnée aussi, on aurait de plus,
dox'^:o, dSy=o, dêz'=:^o;
par conséquent, F, G, H ne seraient pas nuls, mais la nullité des coefficients
de d8x", d^y, dZz" donnerait
F = S [(B ^JYdui)dx — (A +/X(/m) dy] , G = S[{C-hfZdm)dœ—{A^fXdm)dz], n = ?,[{C^fZdm)dy-{B-^fYdm)dz].
On raisonnera de la même manière par rapport à l'état de la seconde extrémité du fil.
3°. Enfin, si, outre les forces qui agissent sur tous les points du fil, il y en avait de particulières X', Y', Z', X", Y", Z", appliquées à l'une et à l'autre extrémité, il n'y aurait qu'à ajouter aux termes ci-dessus les suivants :
X'Sx'+ Y'Sj' ^- Z'S^'-H X/'âo;" -+- Y"or" -+- Tl'Zz\
et s'il y avait de plus d'autres conditions relatives à l'état de ces extrémités, on opérerait toujours de la même façon et d'après les mômes principes.
32. Si l'on voulait que le fil fiit doublement élastique, tant à l'égard de l'extensibilité qu'à l'égard de la flexibilité, alors on aurait, dans l'équation
