PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. l

ensuite les trois dernières intégrales de l'art. 55 étant appliquées au dernier point de la verge, donneront

F = S{Ya: — Xj)din, G = S(Z,X' — Xz)dm, H = S(Zj — Yz)dm.

Et si l'on applique ces mêmes équations au premier point, on aiira

pd [dy' d^ dx' — dx' d^dy') — dv' {dj' d^x' — dx' d^y') =^ ky' — Bx'-h F, fjj {dz' d^dx' — dx'd^dz') — dv' {dz'd^x' — dx' d^z') =^ Az' — Grx'H- G, /A [dz' d^dy' ■ — dy' d'^dz') — dv' [dz' d''y' — dj' d"^ z) ^^ Bz' — Cj'h- H,

d'où, éliminant ^' et dv\ résulte l'équation

A.[y'dz' — ^'dy') H- '^{z'dx' — x'dz') H- G(xVi/' — y'dx') -f- Fdz' — Ody' — lidx' ^^ o.

Cette équation est nécessaire pour empêcher que la verge ne tourne autour de sa première tangente, qui est supposée fixe, et il est facile de voir que son premier membre devient nul lorsque la verge est une ligne droite.

59. On pourrait regarder comme un défaut de notre méthode la longueur de cette solution, qui est, en effet, plus longue que celle de l'équilibre d'un til flexible, tandis que, par les méthodes ordinaires, ce dernier problème est beaucoup plus difficile que celui de l'équilibre d'une verge roide tirée par des puissances quelconques, parce qu'il faut déterminer, par la composition ded forces, la courbe que le fil doit prendre pour être en équilibre, au lieu que dans le cas de la verge cette courbe est donnée, et que l'équilibre ne demande que la destruction des moments des forces. Mais lorsqu'on veut suivre pour tous ces problèmes une marche uniforme, et passer de l'un à l'autre graduellement, à mesure qu'on y ajoute de nouvelles conditions, il est évident que le cas d'un fil inflexible est moins simple que celui d'un fil flexible, parce que l'inflexibilité exprimée analytiquement consiste dans l'invariabilité des distances mutuelles des points du fil. Et si, dans ce cas, la courbe étant donnée, elle ne doit plus être un résultat du calcul, comme dans le cas d'un fîl flexible, c'est une circonstance que l'analyse doit indiquer, et qu'elle indique, en effet, par les trois indéterminées A, jn, v qui restent dans les trois équations indéfinies entre x, y, z de l'art. 55, et qui

l6o MECANIQUE ANALYTIQUE.

font que ces équations peuvent s'adapter à une courbe quelconque doiinée. Ainsi on ne doit pas regarder ces équations comme une superfluité inutile ; outre qu'elles servent à déterminer les trois inconnues A, ^, v, d'où dépendent les conditions de l'équilibre, et qui expriment (*) en même temps les itjrces qui s'opposent à ce que les valeurs des trois fonctions <x, |3, y varient par l'effet des forces qui agissent sur le fil.

ïl est vrai que les trois indéterminées A, fx, v doivent être remplacées par les trois équations de condition qui consistent en ce que les fonctions différentielles a, /3, y doivent être censées données. Mais comme par la nature du calcul différentiel la valeur absolue des différentielles reste indéterminée, et qu'il n'y a que leur rapport qui puisse être donné, ces trois conditions ne peuvent équivaloir qu'à deux, qui renferment les rapports des trois quantités (X, ,6, 7; et ces deux rapports suffisent pour déterminer la courbe.

En effet, par ce qu'on a démontré plus haut (art. 46), on voit que l'angle de contiugejice formé par deux côtés successifs de la courbe se trouve

exprimé par — '^ ^ ~~— " ■■1 en conservant les valeurs de «, |3, y de l'art. 53;

de sorte que le rayon osculateur sera exprimé par -■ , = • Ce rayon

étant donc supposé donné, la courbe sera donnée si elle est à simple courjjure, et pour les courbes à double courbure, il ne sera pas difficile de prouver que la seconde courbure provenant de l'angle de contingence formé par les plans qui passent successivement par deux éléments contigus de la courbe, dépendra du rapport des trois quantités «, p, y (*"). Ainsi les trois conditions dont il s'agit, rapportées à la courbe, se réduisent à ce qu'elle soit donnée, comme le problème le suppose (***).

('*) Voyez la note relalive au paragraphe H3. (/. Bertrand.)

('*! Cette seconde courbure dépend aussi de rff. (/. Bertrand.)

['*') On volt, d'après les résultats précédents, que deux courbes sont superposabk'S lorsque ie.s rayons de première et de seconde courbure s'expriment, dans l'une et dans l'autre, par une inème fonction lie l'arc. Si donc deux courbes ont l'une et l'autre leurs rayons de courbure constants et égaux chacun à chacun, ces courbes sont identiques; et comme on peut toujours déterminer une hélice dont les rayons de courbure soient donnés, toute courbe qui a ses rayons de courbure ci est une hélice. Plusieurs géomètres ont donné récemment des démonstrations élégantes de ce tl rème. Voyez deux Notes, l'une de M. Puiseux, l'anlre de M. Serret, Journal de Matkémaiiquf Jl. Liouville, tome Vn, page (JS, et tome XVI, page ig3. [J. Bi-rtmnd.)