PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

/'SXrfm — x"SY^ni — S(Xj — Yx)dm = Aj"-~ Bx" -h F, z"SXdm — x"&Zdm — S(Xz — Xœ}dm = kz" — Cx"h- G, z"^Ydm~r"^7.dm — S(Yz — Zr)r/m^Bs" -Cj"-^H.

Donc

A:^ o, B^o, G = o, F=.o, Cj^o, h z^o,

et, par conséquent,

SXf/m = o, SY<"/m ^^ o, SZrfm =^ o,

S(Xj — Yx)dm = o, S(Xz — 7jx)dm ^=o, S(Y3 t=: Z7)t/m = o.

Ces six équations sont donc les seules qui soient nécessaires pour l'équilibre d'une verge inflexible lorsqu'il n'y a pas de point fixe; c'est ce qui s'accorde avec ce que nous avons remarqué plus haut fart. 25), et c'est aussi ce qu'on aurait pu déduire immédiatement de la théorie donnée dans la sect- III, ainsi que nous l'avons observé dans l'article cité.

57. Supposons maintenant qu'il y ait dans la verge un point fixe, et que ce point soit la première extrémité de la verge; dans ce cas, on aura

en sorte que les termes affectés de ces variations disparaîtront d'eux-mêmes; il suffira donc d'égaler à zéro les coefficients de dBx'^ ^^j' ■, dSz', d'^^.x', d^^y , d'Zz', ainsi que les coefficients de ^x" , Sj", Sz", dZx" , dly" , etc. Or il est aisé de voir que pour cela il suffira que l'on ait

t//= o, v'^ o, dv' ^ o, et ensuite

/':^= O, fA." =^ O, v" = o, dfj." ■= o, dv" = o, d:'-v" ^ o,

comme dans le cas précédent; et l'on trouvera les mêmes conditions que dans l'article précédent, à l'exception de ce que A, B, C ne seront pas nulles. On aura donc

A = SXrfm, B^ SY(/m, C == SZ^m, ensuite

F ^ Bx'— Aj', G ^ Cx'— kz', H = C/— Bz';

yGoosle

I 58 MÉGANIQUE ANAf.YTIQUE.

et les trois autres équations se réduiront à celles-ci :

— S{X.j — Ya:)dm = Bx'— Aj',

— S(Xz — Zj:)dm =Gx'— Az',

— S(Yz — Zj)^m ^G/— Bs', c'est-à-dire à

S(Xj — Yx)dm -h ^'SYdm — j-'SXf/m ^= o, S(Xz ■— 7jX)dTn H- x'SXdm — z'SUdui = o,

S(Ys — 7.f)dm -+- /SZ^^m — z'SYdm = o,

ou, ce qui est la même chose, à

S[X(7 — /) — Y(a; — a;')]dm = o, S[X(s — s') — X[x — x')](^m ^= o, S[Y(z-z')-Z(7-y)]a;m = o.

Ce sont les seules conditions nécessaires pour l'équilibre, et il est clair qu'elles répondent à celles que l'on a trouvées dans l'art. 24.

SH. Si la verge était fixement attachée par sa première extrémité, en sorte que non-seulement le premier point de la courbe fijt fixe, mais aussi la tangente à ce premier point, alors on aurait non-seulement

^x'^^o, Sj'=o, Ss'^^o, mais aussi

St£r'= dùx' ^= o, fjdf' 1= d^j'=^ o, Zdz' ^ dôz' ^ o;

par conséquent, tous les termes affectés de ces quantités disparaîtraient d'euxmêmes, et il ne resterait qu'à faire évanouir les termes affectés de d''^x'., d^Sf', d^^z', et de ùx'\ Bj", Sz", c?Sx", d^f", etc. On n'aura donc, dans ce cas, que ces conditions :

v'=:o, ?k"=o, /a."=^o, v"=^o, df£"==Q, dv"^^o, d^v"=o.

Donc les constantes A, B, G auront encore les valeurs

Â=SX(/m, B=^SYdm, C = S>Zdm;