PREMIÈRE VARTIE. — LA STATIQUE

61. Puis donc que les valeurs précédentes de ^Xy fy, Sz satisfont déjà aux équations de condition du problème, il est clair qu'il suffira de les substituer dans la formule S{X^^ H- Yfy + Z^z)dm, et faire en sorte qu'elle devienne nulle, indépendamment des quantités Si, Sm, Sri, S'i,, SM, SN, qui sont les seules indéterminées qui restent.

Or, comme ces quantités sont les mêmes pour tous les points du corps, il faudra dans la substitution les faire sortir hors du signe S ; et l'on aura couséquemment cette équation générale de l'équilibre d'un corps solide de figure quelconque,

êlSXdm -h SmSYdm -\- S'nS'Ldm -h JNS(Y^ — Xy)dm ~H ^MS(Xz — Zx)dm -^ ^LS(Zr — Yz)dm = o,

d'où l'on tirera les équations particulières de l'équilibre, en ayant égard aux différentes circonstances du problème.

62. Et d'abord, si le corps est supposé entièrement libre, les six variations ^/, Sm, S'n, Si., ^M, «TN seront toutes indéterminées, et il faudra égaler séparément à zéro les quantités par lesquelles elles se trouvent multipliées; ce qui donnera ces six équations déjà connues,

SX^m = o, SY^m — o, SZ(^m = o,

S (Y^ — Xj)dm = o, S (Xz — 7.œ)dm = o, S(Zj- — Yz)dm = o.

En second lieu', s'il y a dans le corps un point fixe autour duquel il ait simplement la liberté de pouvoir pirouetter en tous sens, et qu'on nomme a, h, c les valeurs des coordonnées x, j, z pour ce point, il faudra que l'on ait

Sa = o, Sb -^^ o, Se -.= f^■^ donc

Sl. — hm +ciM = o,

Sm 4- aiN — cS\. =

d'où l'on tire

n = hm — cn\.

Jm=<;JL^aJN,

in = am — èJL.

l64 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

On substituera ces valeurs dans l'équation générale de l'article précédent, et mettant sous le signe S les quantités a, &, c qui sont constantes par rapport aux différents points du corps, on aura cette transformée,

MS[Y(a: — œ) — X{j—h)\dm -l-»IS[X{z— c)— Z{x—a)\dm H- J-LS [Z (y — è) — Y(z — c)]rfm = o,

laquelle ne fournira plus que trois équations, savoir :

S[Y(x — a) — X(j— b)]dTn == o, S[X{z — c)— ï(x~a)]dm=o, S[Z (j—b) — Y(z — c)\dm = o.

En troisième lieu, s'il y a dans le corps deux points fixes, et que/", g", k soient les valeurs de x^ y, z pour le second de ces points, on aura, de plus,

n = gm — /<»!,

Sm = M\j —fm,

Sn =/»! — g-JL; donc, comparant ces valeurs de (^/, (fm, Sn avec les précédentes, on aura

[g—h)m — {h — c)Sw=o,

{f—a)m — \h — c)iL = o, {f-a)m-{s-h)i\. = o.

Les deux premières de ces équations donnent

iL =liz^m, M = i=^ m,

et comme ces valeurs satisfont aussi à la troisième équation, il s'ensuit que !a variation JN demeure indéterminée.

Faisant donc ces substitutions dans la transformée trouvée ci-dessus, on aura

j {h~c) S[y(,x- — a) — X (y — &)]cfm j m + (g-— è)S[X(z — c)— Z{a;— a)](^m =o; [-}-(/— «}S[Z(/—è)—Y(* — c)](^m)

yGoosle