SEPTIÈME SECTION

DE l'Équilibre des fluides incompressibles.

i. Soit une masse fluide m, dont tous les points soient animés par des pesanteurs ou forces quelconques 1*, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes p, q, r, etc.; on aura, suivant les dénominations de l'art. 12 de la sect. IV, pour la somme des moments de toutes ces forces, la formule intégrale

S (PJ> -h QSq 4- lUr H- ...)dm,

laquelle devra être nulle en général pour qu'il y ait équilibre dans le fluide.

t^ 1. — De l'équilibre d'un fluide dans un tuyau très-étroit.

2. Supposons d'abord le fluide renfermé dans un canal ou tuyau infiniment étroit et de figure donnée; et imaginons ce fluide divisé en tranches ou portions infiniment petites, dont la hauteur soit ds, et la largeur œ; on pourra prendre dm ^ cods, à cause que la largeur co du tuyau est supposée infiniment petite, ds étant l'élément de la courbe du tuyau. Or, en imaginant que le fluide reçoive un petit mouvement, et change infiniment peu de place dans le tuyau, soit S^s le petit espace que la tranche ou particule dm parcourt dans le tuyau; il est clair que coSs sera la quantité du fluide qui passera en même temps par chacune des sections a du canal. Donc, à cause de l'incompressibilité du fluide, il faudra que cette quantité soit partout la même; de sorte que faisant a^s = a, la quantité a sera constante par rapport à la courbe du tuyau. Ou aura ainsi iw =^ -p) et, par conséquent, dm ^= -,-- ; de sorte que la formule qui exprime la somme des moments des

forces deviendra, en faisant sortir hors du signe intégral la quantité constante X,

Maintenant il est visible que puisque ^p, Sq, Sr, etc., sont les variations des lignes/», q, r, etc., résultantes de la variation Ss, ces variations doivent avoir entre elles les mêmes rapports que les différentielles dp, dq, dr. etc. , ds, à cause de la figure du canal donnée; ainsi on aura

dp flp âq dq âr dr

as ds ^ as ~' ds '' as ~~ ds' ' ' '

ce qui réduira la formule précédente à cette forme,

aS{l^dp-^-Qdq^Rdr-h ...),

où les différentielles dp, dq, dr, etc. , se rapportent à la courbe du canal, et le signe S indique une intégrale prise par toute l'étendue du canal. Faisant donc cette quantité égale à zéro, on aura l'équation

S{Pdp^qdq-h^dr-h ...)=o,

laquelle contient la loi générale de l'équilibre d'un fluide renfermé dans un canal défigure quelconque,

5. Si outre les forces P, Q, R, etc., qui animent chaque point du fluide, il y avait de plus à l'une des extrémités du canal une force extérieure n' qui agît par le moyen d'un piston sur la surface du fluide, et perpendiculairement aux parois du canal; alors dénotant par Ss' le petit espace parcouru par la tranche du fluide qu'on suppose pressée par la force II', tandis que les autres tranches parcourent les différents espaces §s, il faudra ajouter à la somme des moments des forces P, Q, R, etc., le moment de la force n', lequel sera représenté par U'Ss', Or, si l'on nomme co' la section du canal à l'endroit oii agit la force II', on aura eo'S's' pour la quantité de fluide qui passe par la section m', tandis que par une autre section quelconque a> il passe la quantité de fluide aS's.

Mais l'incompressibilité du fluide demande que ces quantités soient partout les mêmes; donc ayant déjà supposé (oSs =:= a, on aura aussi ee'Ss' = a;