PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

par conséquent, 1^^'=— • Donc ia somme totale des moments des forces qui agissent sur le fluide sera représentée par la formule

de sorte que l'équation de l'équilibre sera

^ H S {Pdp + Qdq + Rdr ■+■ . ...) ^ o.

■4. Il est évident que, dans l'état d'équilibre, la force n' doit être contrebalancée par la pression du fluide sur le piston dont la largeur est a' ; d'où il s'ensuit que cette pression sera égale à — n', et, par conséquent, égale à

o>'S{Pdp H~ Qdq + Rdr -+- ...).

Donc, en général, la pression du fluide sur chaque point du piston sera exprimée par la formule intégrale

?,(Pdp-i~Qdq -h af/r+ ...),

en prenant cette intégrale par toute la longueur du canal. Et cette pression sera aussi la même, si au lieu d'un piston mobile on suppose un fond immobile qui ferme le canal d'un côté.

3. Si à l'autre extrémité du canal il y avait une autre force u" agissante de même par le moyen d'un piston, on trouverait pareillement, en nommant o>" la section du canal dans cet endroit, l'équation

^ + "" -H S{Pdp + Qdq + R</r -h . . .) ^ o

pour l'équilibre du fluide.

6. Donc, si le fluide n'est pressé que par les deux forces extérieures il' et n" appliquées aux surfaces a et &>", il faudra, pour l'équilibre, que l'on ait -7 H — ;^ ^= o ; d'où l'on voit que les deux forces n' et 11" doivent être de directions contraires, et en même temps réciproquement proportionnelles aux surfaces a', ai" sur lesquelles ces forces agissent. Proposition qu'on regarde communément comme un principe d'expérience, ou du moins

I7G MÉGANIQUE ANALYTIQUE.

comme une suite du principe de l'égalité de pression en tout sens, dans lequel la plupart des auteurs d'Hydrostatique font consister la nature des fluides.

7. La connaissance des lois de l'équilibre d'un fluide renfermé dans un canal très-étroit et de figure quelconque, peut conduire à celle des lois de l'équilibre d'une masse quelconque de fluide renfermée dans un vase ou non .

Car il est évident que si une masse fluide est en équilibre, et qu'on imagine un canal quelconque qui la traverse, le fluide contenu dans ce canal sera aussi en équilibre de lui-même, c'est-à-dire indépendamment de tout le reste du fluide. On aura donc pour l'équilibre de ce canal, en faisant abstraction des forces extérieures (art. 2),

Et comme la figure du canal doit être indéterminée, l'équation précédente devra être indépendante de cette figure ; d'oii l'on pourrait conclure tout de suite, comme Clairaut l'a fait dans sa Théorie de la figure de la Terre, que la quantité Vdp H- Ç^dq -t- ^dr -h . . . doit être une différentielle exacte. Mais on peut arriver à cette conclusion par l'analyse même, et trouver en même temps les relations qui doivent avoir lieu entre les quantités P, Q, E , etc. Pour cela, il n'y a qu'à faire varier l'intégrale

S(P(/7J ^Çldq + ^dr+ ...) par la méthode des variations, et supposer sa variation nulle.