PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE, loS

second ordre et des ordres supérieurs, on aura

,/â.r dâr cos a = -^— H — T^ !

dy dx

où l'on voit que l'angle a ne djfïêre d'un angle droit que pju' des quantités infiniment petites, puisque son cosinus est infiniment petit.

14. Si Ton applique la même analyse aux deux autres faces dxdz, dydz du rectangle dxdydz^ on trouvera que ces faces se changent aussi en parallélogrammes; de sorte que les trois faces opposées -seront aussi des parallélogrammes, comme on peut le démontrei' facilement par la géométrie. Par conséquent, le nouveau solide sera un parallélipipède dont les côtés, qui forment un angle solide, seront

■ / ddx\ , l dèy

^(-f> -(-If).

et nommant «, j3, y les angles compris entre ces côtés, on aura

dàx dây dy , dx

„ dèx dSz

COS [i := ~

eosy -

d3y dâz dz dy '

d'où l'on peut conclure que la variation du parallélipipède rectangulaire dxdydz est rigoureusement exprimée par la formule donnée plus haut (art. 11).

IS. On voit aussi par là que si les variations ^x^ ^y^ ^z n'étaient fonctions respectivement que de x^ j, z, on aurait rigoureusement

cos or := o , cos [3 = 0, cos y =^Q\

de sorte que le parallélipipède rectangle dxdydz demeurerait rectangle après la variation. Or, comme le changement de forme de ce paralléHpipède n'est qu'infiniment petit et n'influe point dans la valeur de sa solidité, il s'ensuit que, sans rien ôter à la généralité du résultat, on peut supposer que les variations (T/c, S'y^ iiz soient simplement fonctions de x, de y et de s, comme nous l'avons fait dans l'art. 31 de la sect. IV.

l84 MECANIQUE ANALYTIQUE.

16. Ayant ainsi la vraie valeur de i^. [dxdjdz] , on la prendra pour celle de lî'L, et !'on aura

{ ilàx dèr dèz

.... 111 (J^x dàr dùz\

SI. = dxdyd^ (^j^ + g^ + j^ j.

f)n substituera donc cette valeur dans l'équation générale de Tai-t. 10, et mettant en même temps pour dm sa valeur V dxdjdz., on aura l'équation

et il ne s'agira plus que d'y faire disparaître les doubles signes d^ par la méthode exposée dans le § II de la sect. ÎV.

17. Considérons d'abord la quantité Sh-j-~dxdjdz, oiile signe S dénote une triple intégrale relative à ^, j, z; il est clair que comme la différence de Sx n'est relative qu'à la variation de x, il ne faudra aussi pour la fiiire disparaître qu'avoir égard à l'intégration relative à x; c'est pourquoi on donnera d'abord à cette quantité la forme SdfdzSA-j—dx, ensuite Oii transformera l'intégrale simple '^'h—j^dx en >!'Sx" — ?^'^x' — S^Sxdx; les quantités marquées d'un trait se rapportent au commencement de l'intégration, et celles qui en ont deux se rapportent aux points où elle finit, suivant la notation adoptée dans l'endroit cité. Ainsi !a quantité dont il s'agit se trouvera changée en celle-ci :

?)dydz{>!' Sx" — 7(Sx') — 'ëidydz'ë>-ï-Sxdx, ou, ce qui est la môme chose,

S(a"^x" — 7($x')dydz — 'à-j-Sxdxdydz.

De la même manière et par un raisonnement semblable, on changera les quantités

^X—/- dxdydz et ^}\—j—dxdydz

en celles-ci :

S (?^"fy" — x'Sy')dxdz — S T- Sydxdydz