PREMIERE PARTIE. — I.A STATIQUE

Or les côtés deviennent, par la yariatlon,

et les cosinus de «, ,3, 7 deviennent infiniment petits; ainsi, en substituant ces valeurs au lieu de a, h, c, et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de dxdydz, la même expression qu'on vient de trouver.

Mais quoique cette dernière hypothèse soît légitime, nous ne voulons pas l'adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à désirer sur l'exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher, d'une manière rigoureuse, la variation de dxdydz, en ayant égard à la fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d'un parallélipipède rectangulaire, et en supposant seulement, ce qui est exact dans l'infiniment petit, que ces côtés demeurent rectîlignes.

12. Pour simplifier cette recherche, nous commencerons par ne considérer qu'une des faces du parallélipipède de dxdydz:, par exemple, la face dxdy, dont les quatre angles répondent à ces quatre systèmes de coordonnées, {i) x^y, z, (2) x^dx,y, z, ['i) x,y-\-dy, z, (4) x-\-dx^ y-irdy, z.

Supposons que les coordonnées x, y, z du premier système deviennent X -h ^x, y -f- <îy, z -+- S'z, et regardons les variations S'x, ^j, Sz comme des fonctions infiniment petites de x, y, z; en faisant croître successivement les X, y, de leurs différentielles dx, dy, on trouvera ce que doivent devenir simultanément les coordonnées des trois autres systèmes. Ainsi, en marquant par les mêmes numéros les systèmes variés, on aura

x-hSx, j + jy, z+Sz,

X ^dx -\- àx -ir —r-da:^ y ^àr -^ —-dx, z + àz^ -j—dx,

dx ' " dsc dx

■'^ "*"''■'■ + ^ '*■' z + '^r + ^r+ilr'^''' ~'+'^" + 75?''''

X + dx + Sx^ ~^dx+ ^ dy,

\r -^ liy + Sy ^'i^ dx + ^dj.

\ r. d}z , dSz ,

iSa mf'cantque analytique.

Gomme ces quatre systèmes de coordonnées répondent aux quatre angles du nouveau quadrilatère dans lequel s'est changé le rectangle dxdf, il est clair qu'on aura les côtés de ce quadrilatère en prenant la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées pour les deux angles adjacents à chaque côté. Ainsi, en marquant la droite qui joint deux angles par la réunion des deux numéros qui répondent à ces angles, on aura

-tr

H'ëï'

d'où l'on voit que les côtés opposés (1,2}, (3,4) sont égaux entre eux, ainsi que les côtés opposés (i,3), (2,4), et que, par conséquent, le quadrilatère est un parallélogramme dont les deux côtés contigus (1,2), (i ,3) seront, en négligeant sous le signe les quantités du second ordre vis-à-vis de celles du premier,

15. A l'égard de l'angle compris par ces deux côtés, on le trouvera par le moyen de la diagonale (2,3), laquelle, en prenant de même la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées respectives des systèmes (2) et (3), devient

Or, en nommant «l'angle dont il s'agit, le triangle formé par les trois côtés (i ,2), (x,3), (2,3) donne

Substituant dans cette expression les valeurs trouvées de (1,2), (Iî3)î (2, 3), effaçant les termes qui se détruisent, et négligeant les infiniment petits du