On aura donc d'abord ces trois équations

rX — r = o, rY — -r = o, r/— J- — o,

dx dj ' dz

lesquelles doivent avoir lieu pour tous les points de la masse fluide.

Ensuite, si le fluide est libre de tous côtés, les variations Sx' , Sy' , Sz' , Sx" , Sy" , Sz" qui se rapportent ans points de la surface du fluide seront aussi indéterminées, et, par conséquent, il faudra encore égaler séparément à zéro leurs coefficients, ce qui donnera a'= o, ?!' = o, c'est-à-dire eu général A = o, pour tous les points de la surface du fluide, et cette équation servira à déterminer la figure de cette surface.

Il en sera de même lorsque le fluide est renfermé dans un vase, pour la partie de la surface où le vase est ouvert ; mais à l'égard de la partie qui est appuyée contre les parois, les variations Sx', Sy', oz' , Sx" , Sy" , Sz" doivent avoir entre elles des rapports donnés par la figure de ces parois, puisque le fluide ne peut que couler le long des parois ; et nous démontrerons plus bas que, quelle que puisse être leur figure, les termes qui renferment les variations en question seront toujours nuls d'eux-mêmes ; de sorte qu'il n'y aura aucune condition relativement à cette partie de la surface du fluide.

19. Les trois équations qu'on vient de trouver pour les conditions de l'équilibre du fluide donnent

-^T.==rX, :,--r\, -TT-r/;

yGoosle

l8b MECANIQUE ANALYTIQUE.

donc, puisque dA ^= -v- dx ^ -^- dy -^ -^- dz, on aura dh ^ V {Xdx + Ydj -+- Zdz) ;

par coiiséfjiient, iî faudra qne la quantité r(Xrfe + Ydy -+- T^dz) soit une différentielle complète en œ, y, z, et cette condition renferme seule les lois de l'équilibre des fluides.

Si l'on élimine la quantité A des mêmes équations, on aura les suivantes ; dj-ji dSY

dy ~~ d.T d.rX d.V7.

d^TY d.T7.

équations qui s'accordent avec celles de l'art. 9.

Ces conditions sont donc nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces X, Y, Z. Lorsqu'elles ont.lieu par la nature de ces forces, on est assuré que l'équilibre est possible, et il ne reste plus qu'à trouver la figure que la masse fluide doit prendre pour être en équilibre, c'est-à-dire l'équation de la suriace extérieure du fluide.

Nous avons vu, dans l'article précédent, qu'on doit avoir dans chaque point de cette surface A ;= o. Donc, puisque c/A = r(Kc/,x + Ydy -h 7jdz), on aura, en intégrant,

?\.= fr(Xdx -t- Ydy -+- Xdz) + const. ;

par conséquent, l'équation de la surflice extérieure sera

j'Y{Xd-x -+- Ydy- + 'Ldz) = K,

K étant une constante quelconque; et cette équation sera toujours en termes finis, puisque la quantité r(X(/x -h Ydy -h Tjdz) est supposée une différentielle exacte.

20. I-a quantité Xdx -h Y dy -h '/^dz est toujours d'elle-même une différentielle exacte, lorsque les forces X, Y, Z sont le résultat d'une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, puisqu'on a en général, par l'art. 1 de la sect. Y ,

Xdx -f- Ydy -h VAz = Vdp + C^dq -\-V>dr^....

PREMiEBE PAIiTIE. — LA STATIQUE. loy

Nommant cette quantité dU, on aura alors dx =^ rdïl ; donc, pour que d>. soit une différentielle complète, il faudra que r soit une fonction de n. Par conséquent, A^fvdR sera aussi nécessairement une fonction de IT.

On aura doue dans ce cas, qui est celui de la nature, pour la figure de Ja surface, l'équation l'onct, II = K, savoir II égal à une constante, de même que si la densité du fluide était uniforme. De plus, puisque II est constante à la surface, et que r est fonction de II, il s'ensuit que la densité r doit être la même dans tous les points de la surface extérieure d'une masse fluide en équilibre.

Dans l'intérieur du fluide, la densité peut varier d'une manière quelconque, pourvu qu'elle soit toujours une fonction de II : elle devra donc être constante partout où la valeur de lï sera constante ; de sorte que II = h sera en général l'équation des couches de môme densité, h étant une constante. Donc différentiant, on aura

c/n = o ou Xdx -\- Ydf + 7.dz = o

pour l'équation générale de ces couches; et il est visible que cette équation est celle des surfaces auxquelles la résultante des forces X, Y, Z est perpendiculaire, et que Clairaut appelle sur/aces de niveau. D'où il s'ensuit que la densité doit être uniforme dans chaque couche de niveau formée par deux surfaces de niveau infiniment voisines.

Cette loi doit donc avoir heu dans la terre et dans les planètes, supposé que ces corps aient été originairement fluides, et qu'ils aient conservé, en se durcissant, la forme qu'ils avaient prise en vertu de l'attraction de leurs parties, combinée avec la force centrifuge.

21. A l'égard de la quantité A dont nous venons de déterminer la valeur, il est bon de remarquer que le terme SaJL de l'équation générale de l'art. 10 représente la somme des moments d'autant de forces ?i qui tendent à diminuer la valeur de la fonction L (art. 7, sect. IV) ; de sorte que eonnne on a fait Sh =:= ^.(tcdfdz (art. Il), on peut dire que la force A (*) tend à comprimer chaque particule dxdydz du fluide; par conséquent, cette force

(*) La TODclusion est exacte , quoique la déraoïistration ne soit pas suffisante. Kotis avons déjà remarqué plusieurs fois qu'on ne peut considérer À comme une force, que si l'on consent à étendre 1.1 signification habituelle du mot force. (/. Bertrand.)

iS^ MÉGANIQUE ANALYTIQUE.

n'est antre chose que la pression que cette particule du fluide soulfre également de tous côtés, et à laquelle elle résiste par son incompressibilité.

On a donc en général pour la pression dans chaque point de la iiiiissc iluide, l'expression

et comme la quantité sous le signe doit toujours être intégrable pour que le fluide soit en équilibre, il s'ensuit que la pression pourra toujours être exprimée par une fonction finie des coordonnées relatives à la particule qui éprouve cette pression; proposition fondamentale de la théorie des fluides, donnée par Euler (*).

22. Pour donner une application de l'équation n=;Const., que nous avons trouvée pour représenter la surface d'une masse fluide en équilibre (art. 20), nous allons considérer l'équilibre de la mer, en supposant qu'elle recouvre la terre regardée comme un solide de figure elliptique et peu différent de la sphère, et que chacune de ses particules soit attirée k h, fois par toutes les particules de la terre et de la mer, et soit animée en même temps de la force centrifuge provenant de la rotation uniforme de la terre autour de son axe.

C'est ici le lieu d'employer les formules que nous avons données d:ins l'ai't. 10 de la sect. V, Nous ayons désigné par 1 la valeur de la fonction rj , lorsque les forces sont le résultat des attractions de toutes les particules d'un corps de figure donnée, et nous avons donné l'expression de 2 pour le cas où l'attraction est en raison inverse du carré des distances, et où le corps attirant est un sphéroïde eUiptique peu différent de la sphère. Eu conservant les dénominations employées dans cet article, et en s'arrêtant aux termes qui contiennent les secondes dimensions des excentricités e et i, on a trouvé

où.x,f, z sont les coordonnées rectangles du point attiré, r :^= \J.v'^ -\- y- -\- z'est la distance de ce point au centre du sphéroïde, et m est la masse du sphéroïde égale à -^ ABC, A, B, C étant les demi-axes du sphéroïde.

(*) Mémoires de l'Académie de Berlin; i^SS. (/. Bertrand.)