PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

Si Ton dénote par r la densité du sphéroïde supposé homogène, il feudia multiplier cette expression de 2 par T; et si l'on suppose que le sphévoidp ait un autre sphéroïde pour noyau, dont la densité soit diflérente, il n'y auvy qu'à y ajouter ta valeur de 2 relative à ce nouveau sphéroïde, multipliée par la différence des densités. Ainsi, en marquant par un trait les quantités relatives au sphéroïde intérieur, et supposant que sa densité soit r + r', on aura pom- la valeur totale de 2,

, - . r. .. + r 'n- rm(^-+ ;-) + r- .,.-(.-+.-)

25. Supposons que le point attiré par le sphéroïde soit en même temps sollicité par trois forces représentées ipavjk, gy et hz dirigées suivant les coordonnées x, j et z, et tendantes à les augmenter, on aura — fxrix. — gydy et — hzdz pour leurs moments, et il en résultera les termes — ■ -^— — ^ — à ajouter à la quantité 2 pour avoir la valeur de 11, due

à toutes les forces qui agissent sur le même point. Ainsi l'équation de I équilibre sera

2 — ■' — ■ — - ■■ ~ — = const.

24. Pour appliquer maintenant ces formules à la question dont ii s'agit, on supposera que le sphéroïde extérieur est la mer, dont la densité est F, et que le noyau intérieur est la terre, ayant la densité r -(- r', et l'on placera le point attiré à la surface de la mer, en faisant coïncider les coordonnées x, y, z de ce point avec les coordonnées a, b, c de la surface du sphéroïde extérieur. On aura alors, pour que cette surface soit en équilibre, l'équation

îgO MECANIQUE ANALYTIQUE.

Cette équation, dans laquelle r = \/x'-\-j^+ z*, donne la figure de ia surface ; mais nous avons supposé dans les formules de l'art. 10 de la sect. V que cette surface est représentée par l'équation

en prenant ici x^ j, :; au lieu de a, b, c; donc il faudra que ces deux équations coïncident.

Tirons de celle-ci la valeur de r en y et z, et, pour cela, substituons dans

1''^ =:^ x" -{- f- ■+- S", pour X- sa valeur A" ^^ ~, on aura, en mettant pour B' et C" les valeurs A^-h e^. A" -h i^ (article cité),

d'où l'on tire, en rejetant les puissances de e et / supérieures à e'^ et ;'% auxquelles nous n'avons point égard ici,

On substituera donc cette valeur de -; , ainsi que celle de x'^ , dans la première équation, et rejetant toujours les termes qui contiendraient e', i\ e", i' , etc. , on aura

/ , rm.' + r'm'«" s /A- (r r, + r'm-)»- \ ,

^{^ — ïTsAi ^ 5 ~ tb- ïp — ) y

( r,V mp + T' m' i" h f k' {Tm + r'm')i'\ , +- 1/ T75A= ^ ; - ÏC= ÏAi J ^

Tr= const.

Cette équation devant être identique, il faudra que les coefficients des quantités variables/^ et z^ soient nuls, ce qui donnera les deux équations

3 rm'." (arm + SFm'je- , g M' „

■"a.SA^^ 2.3A' "^5 aB'~°'

srm',-" ^ (ar^ + sr- „'),- ■ s /a-

PREMIÈRE PA-RTIE. -— LA STATIQIJR. H^l

qui serviront à déterminer les deux excentricités e et i de la surface elliptique de ia mer.

25. On sait que la force centrifuge est proportionnelle h sa distance de l'axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation. Donc, si l'on prend l'axe aA, qui est aussi l'axe des coordonnées œ, pour l'axe de rotation, et que f soit la force centrifuge à la distance de A de l'axe, on aura -Y pour la force centrifuge d'un point quelconque du sphéroïde, en faisant u = \/f^ -{- z'^ ; cette force, étant dirigée suivant la ligne u et tendant à

l'augmenter, donnera le moment - — ,- , dont l'intégrale v-, savoir

— -^—r — > devra être ajoutée à la quantité 2, pour avoir égard à l'eflét

de la force centrifuge. Ainsi on aura les conditions de l'équilibre de la mer, en vertu de l'attraction réciproque de toutes les particules de la mer et de la terre, et de la force centrifuge due à la rotation de la terre, en faisant dans

les deux équations précédentesy^^ o, g- = -r, ^'^ = t'

Puisque les deux constantes g et h sont égales, on voit, par ces équations, que, si les excentricités e' et i' de la terre sont égales, on aura aussi les deux excentricités e et i de la figure de la mer égales entre elles ; de sorte que, si la terre est un sphéroïde de révolution, la mer en sera un aussi. Mais si la terre n'est pas un sphéroïde de révolution, la mer ne le sera pas non plus, et les deux équations dont il s'agit donneront les valeurs de ses deux escen-' tricités e, i, qui seront différentes des excentricités e' et i de la terre,

26. Au reste, cette solution n'est exacte qu'aux quantités e-, P, e'% ifprès ; et si l'on voulait avoir égard, dans les valeurs de 1 et de r, aux termes qui contiendraient des puissances supérieures de ces quantités, il ne serait plus possible de vérifier en général l'équation

•9 ^■' ^^ J. — l'n-nat

pour la surface d'équilibre ; d'où il faudrait conclure que cette surface n'a point rigoureusement la figure d'un sphéroïde elliptique.

.Te dis en général, parce que dans le cas où le sphéroïde est homogène et

sans noyau intérieur d'une densité différente, on a trouvéque les attractions sur un point quelconque de la surface, suivant les trois ordonnées œ, f, z. sont représentées exactement par les formules

mLa?, mMj'*, niNs,

où L, M, N sont des fonctions de A, B, G données par des intégrales définies ; d'où l'on déduit pour 2 cette expression rigoureuse,

2 = ^ X [Lx'-i- Mj'-hNz').

Ainsi l'équation de l'équilibre I LL ^ = const., étant de ia même

forme que l'équation du sphéroïde tï -h ^ H- rr, =^ i , on peut, à cause de

la constante arbitraire, les rendre identiques par ces deux conditions,

mM -^ __ Ar iiiN — f A^

inL ~ B^"' niL ~ C^'

lesquelles donnent B ^i^ C, parce que les quantités M et N sont (*) ties fonotions semblables de B, C et de G, B; elles se réduisent ainsi h une seule, {juî sert à déterminer le rapport de A à B.

Ce cas est, jusqu'à présent, le seul pour lequel on ait trouvé une solutioL' rigoureuse qu'on doit à Maclaurin; de sorte que le problème de la figure de la terre, envisagé physiquement, n'est résolu exactement qu'en supposant le sphéroïde fluide et homogène. Dans ce cas, les deux équations approchées, trouvées plus haut (art. 24), donnent, en faisant

r z= I , r = o. /?■ = A = - et e = i.

celle-ci :

vSi l'on compare la force centrifuge à la gravité prise pour l'unité, laquelle esi,

!') En examinant ces équations de plus près, on voit qu'elles aJmettent une autre soluiiorf, cl qu'un ellipsoïde à trois axes inégaux peut satisfaire. Cette remarque est de Jacobi; elle a été développée par M. Liouville (Journal de l'École Polylechnique, tome XIII). Voyes, une Note à la fin du volume, (/. Bertrand.)