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et parcourt 11.240 mètres en une heure. Sa longueur 2L ou la distance entre les sommets de deux vagues consécutives est
3aT* 2L =r -^^ = 6™24 environ dans une eau d*une profondeur indéfinie.
900. Prenslon en an point qneleonqae. — On peut se proposer de calculer la pression en un point quelconque de la masse liquide en état d*oscillation. Nous avons vu plus haut (page 429) que la pression normale, par unité de longueur, sur une molécule de masse m avait pour valeur, en la représentant par dp :
Or, d'après les relations (38) et (40) nous avons:
V 3^ ^yr
Ro ~ TV ~ L *'
il en résulte que
Si nous considérons Tonde qui correspond au cercle générateur dont le centre serait à la profondeur quelconque jSq» 1g sommet de cette onde sera à la profondeur {z^ — r) et le volume dont m est la masse aura pour valeur v^dtd{Zo — r). De sorte que,8i II est le poids spécifique du liquide, le poids m^ de la masse m sera mg = Uvodid {z^ — r). Et par conséquent la pression dp sera exprimée par :
dp = nrf (^0 — r) (l — J) = n (rfzo — dr — ÇdiTo+^'rfr)
nr
or, nous avons démontré plus haut (41) que ^^ + T ^^o = 0, il reste donc :
^'▼yp.
£t, en intégrant depuis la surface libre où ;> = 0, ^o = 0, r = h:
Si Ton considère une profondeur assez grande pour que r soit négligeable y la hauteur représentative de la pression est simplement
et nous allons voir qu'elle aurait la même valeur si le liquide était en équilibre, et immobile.
tiO. IViireaa d'éqaillbre différent du niveaa moyen.
— II nous suffira, pour cela, de chercher quel serait le niveau du liquide revenu au repos.
La forme de la courbe affectée par la surface libre, dont les saillies sont beaucoup moins longues que les creux, fait supposer que le niveau moyen, ou la ligne qui partage en deux parties égales la hauteur des vagues superficielles, se trouve au-dessus du niveau qui correspondrait à l'équilibre ou au liquide immobile.
Menons, à la surface libre, une tangente à son point le plus bas, soit à une distance 2A de Taxe des .r, et évaluons Taire comprise entre cette horizontale et la surface libre. Celte aire sera:
I2h-^y)dx.
Mettons pour y eix leurs valeurs (39) en remplaçant toujours,
poursimplificr, - par <p et VT par L, et en prenant d'ailleurs
pour r la valeur h qui convient à la surface libre ; nous aurons :
y = A (1 — . cos (p) , fltr = ( - — A cos 9 j rf(p ;
et en effectuant la substitution et Tiatégration de 0 à 27v : *^(2A — y)dx = 2hL — tuA*.
Si l'on suppose cette surface répartie également sur la longueur 2L d'une vague, la hauteur du rectangle équivalent sera :
Par conséquent le niveau d'équilibre se trouve au-dessous du niveau moyen, lequel est à la hauteur A, d'une hauteur
égale à — . La pression que le liquide en équilibre exercerait
sur un point placé à une profondeur Sq au-dessous de Thorizontale partageant en deux la hauteur des vagues serait donc
bien mesurée par une hauteur ^o — jr •
La longueur 2L est toujours notablement plus grande que 2ipA par conséquent la surélévation du niveau moyen au-des* sus du niveau d'équilibre est toujours notablement inférieure à
— = ^ ou au quart de la hauteur 2A des vagues*.
i. Lfi fait qu6 le niveau moyen (la iifçne horizontale qui partage en deux parties égales la hauteur des vagues) est plus élevé que le niveau d'équilibre d'une quantité mesurée par le quotient de Taire de l'orbite d'une molécule par la longueur 2L de Tonde est une loi géométrique générale, qui s'applique lorsque les molécules décrivent des trajectoires fermées quelconques.
Si un point mobile M parcourt avec une vitesse linéaire constante une trajectoire fermée pendant que celle-ci se déplace avec une vitesse constante V de même sens que la vitesse de la molécule au sommet le plus élevé de sa trajectoire, Taire comprise entre la trajectoire réelle du point et une horizontale quelconque située au-dessous d'elle, différera de Taire rectangulaire de la trajectoire du centre de gravité de la courbe fermée d'une quantité égale à Taire enfermée par cette courbe. Quelle.que soit la courbe fermée AB (fig. 101) parcourue avec une vitesse constante pendant qu'elle se déplace horizontalement avec une vitesse V, l'aire OAB'A'X diffère de Taire OEFX(EF étant me-
MÈÈ. Déferlement. — Nous avons vu que la forme de la surface libre, de même que celle de toutes les surfaces de niveau, était une trochoïde dont la cycloïde est un cas particulier. La trochoïde se transformerait en cycloïde si la longueur 2L était précisément égale à 2:ï/i, mais alors la forme théorique des vagues serait une pointe aigiie correspondant au contact de deux arceaux successifs de cycloïde, et il est bien évident qu un pareil résultat est irréalisable : la vague déferlerait bien avant. C'est pourquoi la longueur 2L est toujours beaucoup plus grande que 2T:h. Le déferlement se produit lorsque la hauteur /t est grande par rapport à L, mais le rapport qui doit exister entre ces deux quantités pour que le phénomène s'observe varie avec les circonstances.
Lorsque des vagues se propagent dans un courant dans lequel la vitesse de l'eau est plus grande à la surface qu'au fond et que le sens de la propagation est inverse de celui du courant, ce qui arrive, par exemple, lorsque les vagues delà mer se propagent dans un fleuve, à son embouchure, les molécules superficielles, rencontrant des vitesses plus grandes que celles qui se trouvent plus bas, sont repoussées en arrière, et les sommets de toutes les courbes de niveau, au lieu d'être situés sur une même verticale, se trouvent reportés sur une ligne inclinée et le déferlement se produit alors vers l'arrière ou en sens contraire du mouvement de propagation. Au contraire,
née par le centre de gravité G de la courbe), d'une quantité mesurée par Taire fermée AMBM'. Soit, en effet, une ordonnée MP =:zse déplaçant de dx sur la
|PJh^
