Energ:le totale d'une onde de translation

Quelle que soit la forme d'une intumescence et les transformations qu'elle subit en se propageant, son énergie totale^ c'està-dire le travail qu'elle produirait si la masse liquide revenait au repos, est constante si Ton néglige les frottements des particules liquides, qui sont en effet négligeables lorsque Ton ne considère le mouvement que pendant un temps limité. Les actions moléculaires, supposées alors normales aux surfaces sur lesquelles elles s'exercent, ne produisent aucun travail dans les changements de forme du fluide lorsque le volume ne change pas. Il en est de même des pressions appliquées à la surface libre et aux parois fixes. Il ne reste donc, comme force agissant sur le liquide et capable de produire un travail, que la pesanteur, et tout le travail qu'elle produira aura pour effet, en diminuant l'énergie potentielle, d'augmenter d'autant la force vive des particules liquides, de sorte que l'énergie totale sera constante.

Il est facile d'évaluer celte énergie totale.

Soit Q le volume total de l'intumescence, ou le volume du liquide dont la projection brusque est censée avoir donné naissance à l'onde (ce volume pouvant se composer de parties positives et de4)artîes négatives correspondant respectivement aux régions dans lesquelles la surface libre est au-dessus ou au-dessous du niveau primitif et dans lesquelles h est positif ou négatif). Appelons X^ la hauteur du centre de gravité du volume Q au-dessus de la surface libre, H +2^ son ordonnée et 5 son abscisse. L'énergie potentielle de l'onde est, pour chacun de ses éléments hdx^ égale au poids fghdx de cet élément

multiplié par la hauteur - de son centre de gravité au-dessus

8 i. — ONDES DE TRANSLATION.

de la surface libre; c'est donc la somme des produits p^— dx.

Pour la totalité de Tonde, elle est la même que si tout le volume Q ou tout le poids p^Q était concentré au centre de gravité, c'est-à-dire qu'elle a pour valeur p^Q^.

L'énergie actuelle, ou demi-force vive, est, pour une tranche (H + h)dx comprise entre deux plans verticaux: distants de dXy égale au demi produit de la masse p(H 4- f*)dx de cette tranche par le carré U' de la vitesse de toutes ses molécules, en admettant qu'elles ont toutes la même vitesse horizontale U et en négligeant le carré de la composante verticale

de ces vitesses. Cette énergie actuelle est ainsi - p(H + AjU'dlr.

Nous avons trouvé plus haut (4) la relation (H -f- A)*U* = A*V' ou bien, en mettant pour \* sa valeur expérimentale ^(11 + A) qui est suffisamment approchée : (H + A)U' = gh*. Cette valeur donne à l'énergie actuelle d'un élément la môme exprès-

sion-pgrAVx qu'à son énergie potentielle, et par suite, la

somme des énergies actuelles, pour tous les éléments, sera la même que la somme pyQ?^ de leurs énergies potentielles L'énergie totale sera ainsi le double de chacune d'elles ; si on la désigne par p^E, on aura:

pyE = 2çgQX. ou E = 2Qî:.

Le premier membre E étant constant, il en est de même du second, et par suite, la hauteur^ du centre de gravité d'une intumescence au-dessus de la surface libre primitive est constante.

Les seules forces extérieures agissant sur le liquide étant la pesanteur et les réactions du fond, qui sont verticales, la quantité de mouvement projetée sur l'horizontale doit également être constante, et cette quantité est la même que si toute la

masse avait la vitesse - du centre de gravité. Il en résulte que

cette vitesse eàt invariable^

Qoo^^

La circonstance que le centre de gravité de Tintumescence reste à une hauteur constante n'empêche pas Tonde de s'aplatir : il suffit qu'elle se décompose en parties alternativement positives et négatives dont la somme algébrique seule représente son volume invariable. Le centre de gravité des parties positives et celui des parties négatives peuvent se rapprocher indéfiniment de la surface libre initiale, tandis que le centre de gravité général, situé sur le prolongement de la droite qui les joint, se maintient toujours à la même hauteur.

Les conclusions qui précèdent supposent d'ailleurs que les frottements sont négligés : c'est à cette seule condition que Ténergie E et par suite l'ordonnée Ç restent constantes. Lorsque l'on ne considère l'onde que sur une portion restreinte de son parcours, les frottements sont, en effet, à peu près négligeables, car, comme l'on peut s'en assurer par un calcul facile dans le cas d'une onde solitaire, le mouvement des molécules liquides, au passage de Tonde, est assez peu accentué, et ne donne pas lieu k des vitesses relatives importantes ^

Nous allons appliquer les résultats théoriques précédents à Tétudede la propagation de quelques intumescences déformes particulières.

199. Applleation à quelque» ex^enapleft. — Considérons d'abord une intumescence assez longue, mais limitée, comme

Fig. 96.

celle qui serait produite par la projection, dans le canal, d*un

1. On peut voir, sur ce sujet VEssai sur la théorie des eaux courantes, de M. Boussinesq auquel est empruntée la plus grande partie de cette étude sur les ondes de translation et Tonde solitaire, ou bien un article inséré dans les Annales des Ponts et Chaussées, 1889, 2e semestre, page 5.

§ 1. — ONDES 1)K TUANSLATION. 417

cerlain volume liquide y arrivant avec un débit constant pendant un temps appréciable. Aux premiers instants qui suivront sa formation, Tintumescence aura une forme telle que ABCD (fig. 96), comprenant une partie BC, sensiblement horizontale, raccordée avec le niveau primitif AD par deux courbes AB,CD. Dans la partie horizontale BC, la courbure étant nulle ou négligeable, la célérité de la propagation s'exprime seulement par

les deux premiers termes V = y/gH (1 + — jdela formule(19).

En un point tel que B, où la courbure devient sensible avec une valeur négative, la célérité de la propagation s'exprimera par celte formule (19) dans laquelle le dernier terme ne sera plus nul, mais négatif, et h aura une valeur plus faible ; elle sera moindre que dans la partie horizontale. La queue de Tonde tendra donc à se détacher et à former une onde distincte. Le même morcellement continuant, Tinlumescence primitive se résoudra en un cerlain nombre d'ondes distinctes, jusqu'à ce que la courbure au sommet de chacune d'elles devienne assez sensible pour que la vitesse du point le plus élevé ne dépasse pas celle des parties voisines. Ce phénomène a élé nettement observé et décrit par Scott Russell.

JL.

Fig. 97.

Supposons maintenant que Tafflux d'eau, restant encore uniforme, se continue indéfiniment; l'intumescence aura, à ses premiers instants,la forme d'une lame d'une épaisseur uniforme telle que AB (fig. 97) superposée au liquide primitif DC. En raisonnant de la même manière, on voit que la partie horizontale, la lame, se propage plus vite que la tête de l'onde où

.ti'ya^-^-'

courbure introduit un terme négatif. La tête de l'onde se Duvera alors inondée par Tafllux de Teau venant en arrière

elle s exhaussera jusqu'à ce que son excès d*élévation comsnse, dans la formule (19), l'influence du dernier terme néga- ■. Ainsi se formera ce que M. Bazin a appelé Vonde initiale,

>nt il a évalué la hauteur à -A ou à une fois et demie celle

I la lame qui la suit. L'équilibre étant établi dans ces contions, la célérité de la propagation de la lame AB de hauur uniforme et de courbure nulle a été trouvée, dans les

périences de M. Bazin, égale à ^gXEK, c'est-à-dire

y (11+ g /i) comme l'indique la formule approximative (3)

la formule exacte (18) dans laquelle on suppose nulle la

•urbure -r---

Ce n'est pas tout ; l'onde initiale ne peut se raccorder à la me qui la suit que par une courbe ayant une partie concave, mr laquelle le dernier terme de V étant positif, la célérité 5 propagation sera plus grande que celle de la lame. Il se eusera, par conséquent, un vide entre l'onde initiale et la me qui suit. La concavité F ainsi formée n'atteindra pas la rface libre primitive DC, car si h devenait négatif la célérité deviendrait notablement inférieure à celle de la lame qui. Quant, relèverait sur le champ le niveau. Cette première ncavité ne pourra se raccorder à la lame située en arrière le par une partie convexe dont le sommet soit au-dessus du veau AB, et ainsi de suite. La formule (19) rend bien mpte, comme on voit, de toutes ces particularités constatées ,r l'observation et décrites avec plus de détails dans le médire de M. Bazin.

!••. Onde Aolitaire. — - Parmi toutes les inlumescenccs

de formes diverses dont on peut imaginer la propagation, il

d*h en est une pour laquelle les hauteurs h et les courbures —

sont tellement réparties que la célérité de la propagation est la même pour tous ses éléments. C'est Vo7ide solitaire étudiée par Scott Russell.

Pour en déterminer la forme, il suffit d'exprimer que la somme des deux derniers termes, variables, de l'expression de V conserve la même valeur, ce que Ton peut écrire, en appelant Ai une quantité constante :

ou bien

Equation différentielle, en h eix, définissant la forme de la sur face de Tonde.

Pour l'intégrer, multiplions les deux membres par 2 j- (te et

dx

remarquons que h s'annule en même temps que — ; il viendra :

p") (£)'=fî(*.-»)-

Cette équation, ayant son premier membre positif, montre que h est toujours inférieur ou au plus égal khi. La quantité Al est airi^i la hauteur, au-dessus du niveau primitif, du som-

-^■îf^i

TS ONDILATOIHKS.

- ayant des valeurs égales,

A a la même grandeur, la ar rapport à celte ordonnée

ilion de Tonde, elle est, en lernîers termes leur valeur

3s précises et très nombreu-

Férentielle (22), nous allons

riable indépendante, au lieu

^ersale, le volume y = / ^^^

volume qui suffit, tout aussi i*. On a alors dq == — hcLc, 3), il vient :

dh

^ en appelant c une cons-

en h et x sous la forme (23) sans iables et de remarquer que Fabsipte le temps à partir du moment )n trouve alors

^ {x ~vo, H»

ue.

Qoo^^

OU, en die van t au carré :

La constante se déterminera en exprimant que, pour x = oo ou pour A= 0, le volume q est nul, ce qui donne & = — r-^.

Mais, d'autre part, il y a une relation entre la hauteur maximum At de Tonde et son volume total Q. L'onde étant symétrique, on doit avoir y = ,r pour ft=A,. Il en résulte c = -, ou en comparant avec la précédente valeur de c' :

^— ~3"' ^* — Î6HÏ'

et cela permet d'éliminer à la fois Aj et c de l'équation précédente en y faisant entrer Q. Elle devient ainsi :

Sous cette forme remarquable, elle montre que Tordonnée/i varie proportionnellement au produit des deux portions en lesquelles elle divise le volume total Q de l'intumescence.

«OO. Éaerfl^ie et «tabilité de Tonde «olltalre. — Nous pouvons trouver facilement la hauteur du centre de gravité de l'onde au-dessus de la surface libre primitive. D'après la définition même du centre de gravité, cette hauteur ^ sera donnée par

K= jldq^ei

l'équation Q^ ~ / -dq\ et en mettant pour h sa valeur (24), effectuant l'intégration, on trouve :

Le centre de gravité d'une onde solitaire se trouve donc au tiers de la hauteur de cette onde au-dessus de la surface libre primitive.

La quanlilé Ë, qui exprime le quotient deFénergie totale de l*onde par le poids spécifique du liquide, a pour expression d'après (20) :

(25) E = 2Qî: = 2Q . i^.= (â)'= (y/^)".

On en déduit les relations suivantes:

Ces formules peuvent expliquer ce qui se passe lorsqu'une onde se propage dans un canal à pente douce, dont la profondeur II diminue lentement; par exemple, ce qui se produit au bord de la mer pour les ondes qui viennent du large sur une plage peu inclinée. L'énergie E étant constante, ou sensiblement constante, le volume Q de Tonde décroîtra avec H et la

hauteur Aj augmentera en sens inverse. Le rapport - qui peut

être considéré comme mesurant en quelque sorte la longueur de l'onde, décroîtra comme le carré de H. L'onde, plus élevée et plus courte, sera de moins en moins stable jusqu'à ce qu'elle manque de base et déferle.

Les formules précédentes peuvent encore servir à calculer approximativement l'énergie du choc produit par une onde sur un obstacle vertical perpendiculaire à sa direction. Si Ton admef que l'énergie totale de l'onde est employée à produire ce choc, la force vive correspondante sera :

Ainsi, une onde de 0,40 de saillie se propageant dans une eau de 2"00 de profondeur produira, sur un mur vertical perpendiculaire à sa direction, un choc dont l'énergie, par mèlre de longueur horizontale, sera :

1000 /i/^XO,40X2,ooy ^ iiQo kilogrammètres environ.

L'onde solitaire, dont tous les éléments se propagent avec la même célérité, conserve indéfiniment sa forme ; mais une autre intumescence de forme différente, pour laquelle la somme des deux derniers termes de l'expression de V n'est pas constante, change de forme en se propageant, les éléments les plus rapides se superposant en partie à ceux qui les précèdent. Il est bien évident que le mouvement doit tendre à se régulariser ou que toutes ces célérités variables doivent tendre vers une valeur commune et par conséquent la forme de Tonde tendre vers celle de Tonde solitaire, la seule qui soit stable. C'est ce que M. Boussiuesq a démontré analytiquement et -ce qui explique la facilité avec laquelle on produit des ondes solitaires: toute intumescence de longueur peu considérable et de volume limité, assez peu haute pour ne pas déferler, prend au bout d'un certain temps, cette forme définitive. Et lorsqu'elles sont arrivées h cet état, la célérité de leur propagation s'exprime bien par la formule de Scott Russell et de M. Bazin:

SOI. latamescenee trè« allongée. — Considérons maintenant une intumescence assez longue et assez aplatie pour que ses courbures soient partout négligeables ; la célérité de sa propagation sera simplement, en annulant le dernier terme de (19) :

et si Ton combine celte équation avec celle (4), on en déduit :

OU bien en négligeant les puissances supérieures du rapport-:

AU CFÏAP. Vin. — MOUVEMENTS ONDULATOIRES.

Si dans Téqualion de continuité (13) Ton met pour (H+A) U la valeur que donne la précédente, cette équation devient :

dl^ r-n /. . 3^ ^^

dk d

et cette dernière, intégrée, donne, en appelant /" une fonction arbitraire :

(28) x = vp(l+|)/-/(A).

Ces deux équations (27) et (28) sont identiques au fond à celles que nous avons trouvées plus haut, article 171^ page 369, pour le mouvement non permanent dans les conditions spéciales que nous y avons définies. Elles portent, à cet article, les numéros (6) et (7) et il suffit de les développer

en négligeant les puissances supérieures du rapport— pour retrouver identiquement les deux qui précèdent.

tôt. Propaf^atloii des oudes dans an liquide en mouvement. — Les formules de la propagation des ondes dans un liquide en repos s'appliquent facilement au cas oîi ce phénomène se produit dans un cours d'eau régulier, à fond horizontal ou sensiblement horizontal et dans lequel le liquide est animé d'une vitesse moyenne Uo. Là rien n'empêche de supposer que Taxe des 2, au lieu d'être immobile, participe au mouvement de la masse liquide et se déplace avec la vitesse Uo. Et alors, l'onde ayant, par rapport à cet axe, une célérité de

propagation exprimée par y'^rH M H-nilî 'a célérité réelle V

rapportée à un axe fixe sera :

Uo±vP(l+^|),

en prenant le signe + ou le signe — suivant que la célérité relative est de même sens que Uo ou de sens contraire.

Ce raisonnement serait rigoureux si toutes les particules li-

Qoo^^

quidesdc la section transversale du cours d*eaa avaient effectivement la vitesse Uo ; mais il n'en est pas ainsi, et l'inégalité de vitesse des divers filets fluides a pour effet de diminuer la célérité absolue de la propagation. M. Boussinesq en tient compte au moyen d'un terme correctif — n >Jgil dans lequel tj est un coefficient numérique beaucoup plus petit que l'unité. La formule s'écrit alors :

V=U.±:Vp(H-~-7,).

Appelons, comme plus haut, U la vitesse moyenne effective dans une section transversale atteinte par l'onde, dont la hauteur soit H + A ; }eL vitesse relative, par rapport à l'axe mobile, sera dz (U — Uo) et nous pourrons appliquer à cette vitesse la formule approximative (5) qui nous donnera :

U-Uq

Substituons cette valeur de h dans l'équation précédente, il vient :

(29) V = ±vP(l-v))H-|U+|Uo.

Par exemple, dans le cas du remous ascendant que l'on produit dans un canal en arrêtant l'écoulement par la fermeture d'une vanne placée à l'aval, cette formule donne, en y faisant U =0, puisque la vitesse s'annule dans les sections transversales, et en prenant le signe — puisque l'onde se propage alors en sens inverse de U© :

La célérité de la propagation est donc, en valeur absolue, un peu inférieure à la valeur \/gH — - U© que lui avait attribuée Bidone d'après ses expériences. C'est ce qu'a reconnu en effet M. Bazin qui a tenu compte de la différence dont il s'agit en prenant ;

CHAP. VIIÏ. — MOUVEMENTS ONDULATOIHES.

- V=:Vp-gUo.

ime,s'il s'agit d'un courant continu, de vitesse U, prolong d'un canal contenant déjà une eau en repos de îur H, la formule prise avec le signe supérieur et en y J^ = 0, donne :

n peu inférieure à \]g^ + 7 U ; aussi M. Bazin a-t-il cas trouvé, pour concorder avec ses expériences, la

généralement, pour un remous ascendant quelconque, Uo > U et la formule (29) prise avec le signe inférieur •a être écrite :

en faisant porter, comme le fait M. Bazin, la correcon pas sur le premier terme, mais sur le second

-V = v^^ + ^(Uo-U)-U..-

formule, qui comprend les deux précédentes, a été conlar les très nombreuses et très précises observations izin, dans ses Recherches expérimentales sur la propages ondes, La précédente, avec le coefficient correctif nnée par M. Boussinesq au n» 182 de son Essai sur la les eaux courantes. Elles ne tiennent compte, ni Tune D, du frottement extérieur qui modifie un peu les ré-

tas. Onde« d-oflclllatloii. — Les oudes d'oscillatioa ou ondes périodiques constituent, pour les liquides, une forme particulière de Télat d'équilibre, si Ton peut appliquer ce nom à un état dans lequel toutes les molécules sont en mouvement. Mais ce mouvement est tout à fait distinct de celui de Técou* lement ; c'est un balancement sur place dans lequel les particules liquides décrivent des trajectoires fermées autour de leur position d'équilibre ; et il est caractérisé par ce fait que, si l'on fait abstraction des frottements, Télat dont il s'agit, d'une même masse liquide, se perpétuera indéfiniment sans modification,.dans le même espace, comme l'équilibre lui-même.

Les ondes d'oscillation ou périodiques sont de deux sortes : celles qui paraissent courir à la surface de l'eau et qui s'appellent ondes houleuses; celles qui semblent rester surplace, ou ondes clapoteitses. Les états correspondants de la masse liquide sont la houle ei le clapotis.

Nous étudierons d'abord la houle, et nous emprunterons la plus grande partie de cette étude à un mémoire de F. Gcrstner, dont une traduction a été publiée dans les Annales des Ponts et Chaussées 1887, !•' semestre, page 31. Dans tout ce qui va suivre, nous ne considérerons, comme nous l'avons fait dans les ondes de translation, que des ondes cylindriques^ c'est-à dire telles que toutes les molécules qui se trouvent à la fois sur une même ligne horizontale perpendiculaire au plan vertical des coordonnées aient exactement le même mouvement et restent constamment en ligne droite. Le mouvement de toute la masse sera alors défini par celui des molécules situées dans le plan vertical des coordonnées.

Si, à un moment quelconque, on suppose menées, dans

la masse liquide, les surfaces de niveau, qui seront des cylindres horizontaux, ou bien, ce qui revient au même, si Ton suppose tracées, sur le plan vertical des coordonnées, les bases de ces cylindres, qui seront des courbes de niveau^ chacune de ces courbes considérée comme immobile représentera la trajectoire des molécules liquides qu'elle rencontre ; car, une molécule quelconque ne peut s*écarter de celte ligne qui est une ligne d'égale pression en tous ses points.

tut. H^ule. — L'hypothèse de surfaces de niveau immo* biles dans l'espace parait en contradiction avec celle de la houle, dans laquelle la surface libre, qui est une surface de^ niveau, change de forme à chaque instant. Mais la propriété des surfaces de niveau subsiste si Ton attribue à ces surfaces et à toute la masse liquide un mouvement de translation commun. Il est alors possible, comme nous le verrons, de représehter les ondes houleuses avec de telles surfaces.

SoitÂMB (fig. 98) Tune des courbes de niveau, trajectoire des molécules, A son point le plus élevé. Menons l'horizontale

Ax et la verticale Ay que nous prendrons pour axes de coordonnées.

Soient M,M' deux positions infiniment voisines d'une molécule sur sa trajectoire; appelons m la masse de cette molécule, Vo sa vitesse lorsqu'elle était au point A, v sa '^' vitesse en M, s la longueur de l'arc

AM et ds l'élément MM'. Appliquons le théorème des forces vives à cette molécule entre les deux points A et M, nous aurons :

(30) v' = Vo' + 2gy.

Si Ro est le rayon de courbure de la trajectoire au point A, la force verticale qui sollicitait la molécule, lorsqu'elle était

en ce point, a pour expression mg —==m[g — — ),

Celle masse m, qui s'est écoulée pendant le temps dû avec la vitesse Vo, occupe sur la trajectoire une longueur v^dlj de sorte que la force verlicale, rapportée à Tunité de longueur est :

v^dt V Ro/

Cette force verticale par unité de longueur, appliquée au point Â, représente la pression en ce point, et puisque AMfi est une courbe de pression, elle représente aussi la pression normale par unité de longueur au point quelconque M. La même masse m^ écoulée pendant le temps dt, y occupe une longueur (/s = t?(//, de sorte que la pression normale sur

celle molécule est—- (g — ^V La pression normale au

point M fait avec Thorizontale un angle dont le cosinus est— > et par suile la composante horizontale de cette pression est —jlç — r^j-r. La somme des impulsions de celte composante horizontale, depuis  jusqu'à M est égale à la différence des quantités de mouvement projetées sur Taxe des a? ou à

m (- Voj. Or cette somme des impulsions a pour exprès-

ou enfin - (g — ~ )y. Ecrivant cette égalité et divisant par m, il vient :

dx y / V\

Désignons, pour abréger par -(6 étant une longueur), la

quantité :

Téqualion précédente s'écrira simplemenl :

Pour avoir une relation entre y et le temps /, nous exprimerons, en fonction de y, la composante verticale ~ de la

vitesse, qui est égale àt/t;* — (t ) * Mettant pour v et pour

j- leurs valeurs données par les équations (30) et (32), nous trouvons :

ou, après réductions :

L'intégration de cette équation se fait facilement en séparant les variables* ; on trouve, en comptant le temps t à partir du moment oîila molécule était au point A, ou en faisant^ = 0 pour / = 0 :

,3», , = £(,-co,^!),

ce qui donne :

4. Il est plus simple, au lieu d'effectuer Tintégration, de vérifier le résultat ci-dessus. La substitution de la valeur (34) de y dans Téquation (33) donne en effet :

dy . /ÏFT^ ÎM\ &v] ^*

dt ' V Ro«\ b J Ro»\ b )

OU précisément l'équation (35).

— sm-—

dx Substituant la valeur (34) de y dans celle (33) de ~,il

vient :

OU bien, en raison de la signification de b :

et, en intégrant depuis Tépoque <= 0 où Ton a a? = 0 :

(37) j: =-/ — -- sin -f •

tOft. Forme des surfaeett de ulveau. — Les deux valeurs de a: et de y en fonction du temps définissent la trajectoire des molécules ou la forme des surfaces de niveau de la masse liquide en fonction des quantités t?o, Ro et b qui varieront de Tune à l'autre. Pour étudier plus facilement ces courbes, nous allons remplacer ces quantités Vq, R© et b qui sont constantes pour une même courbe, par trois autres, r, V et T liées aux premières par les relations :

^ Ro Vo «0

Alors les expressions de ar, y* -r ^^ -r- prennent la forme :

a: = V^ — rsin^, y = r(^ — cos^ .

V^9) J (te , irr irr dtf irr . tt*

-=V--cos-, ^ = t"'^T Considérons une circonférence de cercle (fig.99) tracée dans

Qoo^^

A un plan vertical avec un rayon r, et par-

® courue par un point mobile avec une

vitesse angulaire constante - == 7 ; si , à l'époque ^ = 0, ce point mobile était au point A, à Textrémité supérieure du diamètre vertical, Fangle AOM corres- ^^^' ^' pondant à sa position M à Tépoquc

quelconque / sera égal à — et Ton aura :

AP=OA— OP=r— rcos ^' = y, MP = rsin^'= Vf — a:.

Et si nous supposons qu'en même temps que le point M décrit la circonférence, le centre de celle-ci se meuve, dans la direction OC des x positifs avec une vitesse V, le diamètre vertical OA aura parcouru, depuis Tépoque ^==0 où son abscisse était nulle, un espace horizontal Vf, et le point M aura alors pour abscisse V/ — MP, c'est-à-dire précisément l'abscisse x de la courbe de niveau.

Ainsi, une courbe de niveau quelconque est engendrée par un point mobile parcourant, avec une vitesse angulaire constante, une circonférence de cercle placée dans un plan vertical et animée elle-même d'un mouvement de translation horizontale avec une vitesse constante. La courbe ainsi définie est une trochoïde, se transformant en une cycloïde lorsque la vitesse de translation horizontale est égale à la vitesse linéaire du point mobile sur la circonférence.

9IM. Belatiou entre la lonipiear et la vitestie d'une onde. — Pendant le temps 2T que met le point mobile à décrire la circonférence entière, celle-ci s'est avancée horizontalement d'une quantité que nous appellerons 2L et qui est égale à 2T. V ; nous en déduirons :

L=TVi

et si nous observons que, d'après les deux dernières (38) :

V— ?I nous pourrons écrire, entre toutes ces quantités, les relations:

Et il nous suffira de connaître une des quantités L,T, V pour en déduire les deux autres. Ces relations, entre la demi-longueur L et la demi-période T des vagues, nous montrent que les vagues de même longueur 2L sont décrites dans le même temps 2T quelle que soit leur hauteur ; la vitesse de translation

V et la vitesse angulaire - ne dépendent que de L *.

tai. €)oiiditiou de eoutinullé. — Si donc nous superposons des courbes de niveau ayant la même longueur 2L, en les plaçant de manière que tous les sommets soient sur des verticales distantes de 2L, ces trajectoires seront toutes parcourues, dans le même temps 2T, par les diverses molécules liquides. Mais, pour qu'elles puissent l'être simultanément, par des particules faisant partie d'une même masse liquide, il doit exister entre les dimensions de ces courbes et leur espacement des relations nécessaires, que nous allons déterminer en tenant compte de l'invariabilité du volume des éléments de cette masse.

Soient AM, A'M' (fig. 100) deux courbes de niveau infiniment voisines ; BC, B'C les trajectoires horizontales des centres des cercles générateurs dont les rayons r et r + c?r sont BA et B'A'. Au bout du temps tj lorsque les centres des circonfé-

1. Les quantités auxiliaires h, Vq, Ro dont nous nous sommes servis pour établir les équations peuvent être, si on le veu(, calculées d'après les équations (38) en fonction de L, V, T et de r, mais leur connaissance ne présente aucun intérêt.

Qoo^^

Fig. 100.

rences sont venues de BB' en CC, les points mobiles M, M' ont parcouru des angles égaux, de telle sorte que les rayons CM, CM' joignant ces points aux centres C, C sont parallèles et font avec la verticale CCD le même

angle - que, pour simplifier, nous

appellerons 9.

Soit Zq la profondeur de la ligne BC au-dessous de celle qui correspond à la surface libre, z^ + dz^ celle de la ligne B'C. Menons par M une horizontale MP et par M' une verticale rencontrant aux points R, Q, P, la trajectoire AM, le rayon MC et rhorizontale MP ; enfin, abaissons M'N normale sur la trajectoire AMN. Le volume d'eau qui, dans Tunité de temps, passe entre les deux surfaces de niveau est égal à r X M'N et il doit être indépendant de la position du point M', c'est-à-dire de Tangle (p. Les deux triangles semblables M'HN et MRP donnent :

M'R.^^^M'R^A MR ds

D'autre part :

M'R = M'Q+QP

dy

PR= ce + MQ cos ff-m sio <p 5^.

ce = cIzq et MQ = — dr, ce qui donne :

M'R = dZfy — dr cos ç + dr sin cp — ^ ,

et par suite

dx

M'N = M'R^--=(rf5o

dx

dr cos ?) T- -H rfr sin 9

'ds

ds'

multipliant les deux membres par v et remarquant que les produits t? — et v-r- sont respectivement, puisque rf5 = t;rf^,Ies

dx dy ^ , , composante» JT ©^ ^ "^ ^^ vitesse, il vient

diC dv

V X M'N = (dz^ — dr cos t^) — + dr sm<f f \

(te ai

ou bien, en niellant pour t- et 7- 'eurs valeurs (39) avec ? au

lieu de - :

uXM'N = (rf3o — drcQs <p)( V — •=rC0S(pj + rfr sin <p. — sin(p

= V [rf^o+^rf^— (dP'+'Y-dzA cos 9I .

II faul, d*aprës ce qui vienl d'ôlredit, que cetle quantité soit indépendante de Tangle <p, ce qui exige que :

(44) rfr + l"rf,. = 0 ou ± + "1^ = 0

c'est-à-dire que :

Log r 4- "T = constante .

Pour déterminer celle conslante, appelons 2/i la hauteur de3 vagues, ou Aie rayon de la circonférence décrite par les molécules de la surface libre, pour laquelle ^0= ^t la constante sera

" hog hf et Téquation précédente deviendra :

ou bien, en passant des logarithmes aux nombres :

(42) r^he ^'

I^orsque la profondeur Zq croit en progression arithmétique, le rayon r des circonférences décroissent en progression géométrique.

t*9, Rtiil «niliilatoira d'one maMe liquide. — De co

436 GHAP. VIII. ~ MOUVEMKNTS OiNDULATOlRES.

qui précède il résulte que si Ton place les unes au-dessus des autres des irochoïdes de même longueur 2L et dont les hauteurs 2r varient suivant cette loi, les molécules liquides pourront les parcourir simultanément pendant le même temps 2T en constituant toujours une masse liquide continue.

Cela restera vrai, évidemment, si Ton imprime à Tensembie de toutes ces courbes et de la masse liquide un mouvement de translation horizontal commun avec une vitesse quelconque — W, et en particulier si cette vitesse est précisément égale et contraire à V. Alors les sommets des vagues, en tant que formes géométriques, marchent avec cette vitesse V vers les a? négatifs et les centres des circonférences, trajectoires des points décrivant les troclioides, sont immobiles. Les molécules liquides décrivent précisément ces circonférences et tournent ainsi constamment autour de points fixes, avec des vitesses angulaires constantes et les mêmes pour toutes.

On voit d'ailleurs que le sens du mouvement apparent de propagation des vagues est le même que celui de la vitesse des molécules liquides quand elles passent aux points les plus élevés de leurs trajectoires circulaires.

Pour que la masse liquide puisse rester continue dans toutes ses parties et que ses molécules puissent en même temps avoir le mouvement qui vient d'être défini, il faut qu'à une profondeur Zo quelconque, ces molécules décrivent une circonférence de rayon r donné par l'équation (42). Cette condition est incompatible avec celle d'un fond solide, aussi les lois que nous venons d'établir ne s'appliquent-elles rigoureusement que dans le cas d'une profondeur indéfinie. Si la profondeur est très grande, les rayons des circonférences que devraient décrire les molécules du fond sont très petites et la perturbation que leur immobilité forcée dans le sens vertical apporte aux lois du mouvement est négligeable.

Sous cette restriction, les formules précédentes sont applicables aux ondulations liquides présentant l'aspect de houle ou de vagues courantes. Ainsi, une houle dont les vagues se

succèdent à des intervalles 2T ^i^deux secondes, par exemple, se propage avec une vitesse V = - = r^ = 3"12 par seconde