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et, les seules pressions ayant une projection sur Taxe des x étant celles qui s'exercent sur les faces AF et BE, lesquelles ont toutes deux pour surface dydz^ la somme des projections, sur Taxe des x, des pressions qui s'exercent sur les six faces de

Télément sera \p — \P ~^T' ^^) ^V^^ ^" — "T dxdydz^ et cetle somme ajoutée à la composante pXdxdj/dz des forces extérieures doit être égalée à zéro, ce qui donne, après avoir divisé par dxdydz^ la première des trois équations suivantes dont les deux autres s'obtiennent en considérant les deux autres axes :

dp Y.

Multiplions ces trois équations respectivement par dxy dy, rf^;* ajoutons-les et remarquons que le premier membre devient alors la difl^érentielle totale de la pression p considérée comme fonction des coordonnées x, y, «, nous obtiendrons l'équation générale de l'hydrostatique

(1 ) dp^p (Xdx -h Ydy + Zdz).

Si Ton imagine, à la place du fluide, un point mobile d*une masse égale à l'unité, parcourant l'espace occupé par le fluide

ci soumis, en chaque point, aux mêmes forces extérieures que ce fluide, la variation du potentiel do ce point, lorsque! passera d*une position à une autre, sera égale et de signe contraire h la différence de pression dans le fluide aux points correspondants.

V. fiarfifteeii de niireao. -^ Par suite, les surfacesde niveau des forces extérieures agissant sur le liquide, définies par Téquation

(2) Xdx + Ydy + Zrfz = 0, ou rf/? = 0,

représentent les surfaces sur lesquelles la pression est la même en tous les points. Si, en particulier, on considère la surface libre d'un liquide, en tous les points de laquelle la pression est égale à la pression atmosphérique supposée constante, Téquation précédente définira la forme de cette surface libre ou le niveau du liquide en chaque point. G^est à celte propriété qu*est due la dénomination de surfaces de niveau^ appliquée aux surfaces d'égal potentiel, et usitée en mécanique générale.

On sait qu'en tous leurs points les surfaces de niveau sont normales à la force extérieure, et que celle-ci est dirigée dans le sens vers lequel le potentiel diminue, ou bien vers lequel la pression augmente. La pression, comme le potentiel, est la même en tous les points d'une môme surface de niveau, puisque l'équation de c#s surfaces est dp = 0.

Nous supposons que le trinôme Xdx + Ydij-^ Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées x^ y, Zj et nous laissons de côté le cas où cette condition ne serait pas satisfaite^ lequel n'a pas d'applications pratiques. Si l'on a

Kdx -f- Ydy + Zdz = df(x, y, z),

on on déduit, d'après l'équation (1)

dp