I 2. — ÉQUILIBRE DES FLUIDES

L'équation des surfaces de niveau est /(a?, y, z) = C, la fonction /, comme la pression p^ est constante sur une même surface de niveau et varie d*une surface à une autre.Ces deux quantités sont ainsi fonction Tune de Tautre, et par suite p ne peut être que constant ou fonction de p. Dans les liquides homogènes, p est constant ; il est fonction de p dans les fluides élastiques à température constante où Ton a, en supposant exacte la loi de Mariotte, p^=ikç,

La densité p étant constante lout le long d*une même sur* face de niveau, il en résulte que les surfaces de séparation des couches de densités différentes coïncident avec les surfaces de niveau. Il est du reste facile de vérifier que si Ton a un fluide de densité variable, ou des fluides de densités différenles, Téquilibre ne peut être stable que si les densités vont en croissant dans le sens dans lequel est dirigée la force extérieure qui agit sur le fluide ; il est instable dans le cas contraire.

s. Applioatlonaum flvlden pesants. — Si l'on consi* dire un fluide pesant soumis uniquement à Taclion de la pesanteur, et si Ton prend Taxe des st vertical et dirigé de bas en haut, on aura

X==0, Y = 0, Z=-j7; et par suite Téqualion (1) devient

(3) rf/} + p^rfz = 0.

L'équation (2), des surfaces de niveau, se réduit à cbcx=0, ou jj = const : les surfaces de niveau sont des plans horizontaux.

Examinons d'abord le cas d'un liquide^ dans lequel la densité p est constante.

L.*équation (3) intégrée depuis une limite inférieure (^oi Po) jusqu'à un point quelconque {z, p), donne

(4) p—p^^^pg{z^to) = — U{z — Z,\

en désignant par II le poids spécifique du liquide. La différence

de pression entre deux points est égale au poids dune colofme liquide ayant une section horizontale égale à îunité^ et une hauteur égale à la différence de niveau des deux points consi^ dérés.

Nous avons vu, n" 6, que cette différence de pression était égale au signe près à la variation du potentiel d'un point mobile d*une masse égale à Tuuité et soumis aux mêmes forces que celles qui agissent sur le liquide. Le poids de la colonne liquide dont il s*agit est donc aussi la mesure de cette différence de potentiel.

L'équation précédente peut se mettre sous la forme :

en appelant H une quantité constante. La quantité ^ , rapport

de la pression au poids spécifique du liquide, est dite la hauteur représentative de la pression p. Si en chaque point d'un liquide pesant en équilibre, on élève une verticale égale à la hauteur représentative de la pression en ce point, les extrémités de toutes ces verticales se trouveront dans un même plan horizontal, défini par Tordonnée H. Ce plan s'appelle le plan de charge. On voit que si le liquide pouvait s'élever jusqu'à ce plan de charge, la pression sur sa surface libre serait nulle. Si p^ représente la pression atmosphérique qui s'exerce sur la surface libre réelle, le plan de charge est placé à une

hauteur ~ audessus de cette surface.

NN' (fig. 2) représentant la surface libre d'un liquide, HH' le plan décharge, si, aux différents points tels que M d*une verticale ABC, on mène des horizontales MP proportionnelles aux pressions en ces points, c'est-à-dire à MA, le lieu des points? sera une droite AD, dont Tinclinaison sur la Fig. *• verticale dépendra du rapport que l'on

g 2. - KQUILIBRE DES FLUIDES. 9

aura adopté enlre MP et MA. Ce mode de représentalion des pressions est fréquemment employé.

Si au lieu d*un liquide, nous avons un fluide élastique à température constante, dans lequel (n^ 7) la densité soit liée à la pression parla relation />=A:p, Téquation (3) devient, en divisant tous ses termes par p :

ou bien, en Tintégrant entre les mêmes limites que ci-dessus :

LogÇ = |fz-..).

Cette équation, complétée pour tenir compte des variations de température,e8t employée, comme on sait, dans le nivellement barométrique.

•. liiciaide penant tournant autour d^unav^eTertleal.

— Consijdérons un liquide pesant animé d*un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe vertical que nous prendrons pour axe des s, et supposons ce liquide arrivé à sa position d'équilibre ou de repos relatif par rapport à des axes mobiles animés du même mouvement de rotation. Quel que soit le point M (fig. 3) dont nous étudions Téquilibre, nous pouvons prendre pour plan des zx le méridien qui le ^y contient, et le point M est en équilibre, dans \^^^\\ i^ ce plan, sous l'action de la force réelle, son b'---^C poids, et de la force apparente due à l'inertie

X dans le mouvement d'entraînement. Les gran-

P>g. 3* deursdeces forces rapportées à l'unité de mas-

se sont respectivement g et <o*a7, en appelant ^ la vitesse angulaire du mouvement de rotation et x la distance MP du point M à Taxe ; et elles sont dirigées suivant MB et MA. On aainsi :

et l'équation (1) réduite à deux coordonnées or, z^ devient

d/)= f{iù*xdx — gdz).

Los surfaces de niveau ont ainsi pour trace sur le plan mé^ ridien zx les courbes représentées par Téquation

(^^xdx — gdz=0, ou bien w* -r gz = C.

Ce sont des paraboles ayant pour axe vertical Taxe de la rotation. Les surfaces de niveau sont les paraboloïdes de révolution engendrés par le mouvement de ces courbes. Elles sont, en chaque point, normales à la résultante MC des deux forces MB=y, et MA = («)*jr appliquées àTunilé de masse au point M. Cette résullanle a pour grandeur \g^-fw^~x^] elle est toujours supérieure à y et ]a diOerence est d'autant plus grande que la vitesse angulaire de la rolation, (o, çst plus grande. L'élément de la masse liquide au point M, et en tous les points situés à la même distance œ de Taxe, se trouve ainsi dans les mômes conditions que si la gravité était accrue dans le rapport de ^ à v/^»-f.w*a?V Si deux de ces éléments ont des densités dif-* férontes, la différence des efforts qui agiront sur eux, à égalité de volume, sera également accrue dans le même rapport, et elle sera la môme que si, dans un liquide en repos, la différence des densités était aussi augmentée dans la môme proportion. Il en résulte que la séparation de liquides de densités peu différentes s'effectuera plus facilement et plus rapidement lorsqu'on les fera ainsi tourner qu'en les laissant immobiles, ces liquides se plaçant d'ailleurs, pour la stabilité de l'équilibre, de telle façon que les densités aillent on croissant dans le sensMC, c'est-à-dire en s'éloignant de l'axe.

Cette propriété est usitée dans l'industrie et l'opération & laquelle elle conduit porte souvent le nom de iurbinage : le vase animé d'unmouvementderotalion vertical étant appelé turbine. On applique le turbinage,notammentàIafabricationdubeurre, opération qui n'est autre chose que la séparation des parties les plus denses du lait, à la fîltration des eaux ou des liquides industriels, etc. Le turbinage du sucre, bien qu'étant opéré dans

§ 2. — ÉQUILIBRE DES FLUIDES. il

des appareils analogues, n*est que rapplication de la force centrifuge : la paroi latérale delà turbine est percée de trous assez fins pour retenir les cristaux de sucre en laissant passer la mélasse qui s'écoule au dehors.

10. Licialde penaiii toarnant antoup d'an ame hori« contai. — Soit encore une masse liquide animée d'un mou- P vement de rotation autour d'un axe

horizontal projeté en 0 (fig. 4). Une molécule M décrit une circonférence Nj^ MN d'un rayon r, avec une vitesse an- \ gulaire constante <ù. A la force réelle y MB 5= g appliquée à l'unité de masse, \^ ^y/ nous devons encore ajouter, pour ra- \ mener cette question à un problème d'é-

P*8' *• quilibre, la force apparente due à Ti-

nortîe du mouvement d'entraînement, laquelle, égale à wV, est dirigée suivant MA, prolongement du rayon OM. La résultante de ces deux forces, MC, sera la normale à la surface de niveau du point M. Prolongeons cette normale MC jusqu'à sa rencontre en P avec la verticale du point 0; les deux triangles semblables MCB, PMO nous donnent :