ÉCiide ftominnire des toarliillon* liquides

Nous avons déjà parlé de Tagitation dite tourbillonnaire, ou des mouvements irréguliers, presque toujours gyratoires, qui s'observent dans les courants liquides, (^es tourbillons n'ont, en général, qu'une très faible durée, mais cependant paraissent se reproduire à peu près périodiquement au même lieu, sous l'influence d'une même cause qui, bien que continue ou permanente, produit ainsi des cflets intermittents ; ils ne peuvent être étudiés facilement, mais on en tient compte dans toute la mesure possible^ eu égard aux ressources actuelles de l'analyse, en substituant^ aux vitesses réelles des molécules, les vitesses moyennes locales, définies comme nous l'avons fait plus haut (n® 16, page 30). Ces tourbillons ont souvent leurs axes de gyration horizontaux et ils se présentent sous la forme de rouleaux partant du fond, qui grossissent ou s'élèvent à travers la masse liquide et viennent s'épanouir à la surface. Ceux qui ont leurs axes verticaux persistent plus longtemps, mais se dissipent également à une certaine distance du point où ils ont pris naissance pour reparaître un instant après.

Indépendamment de ces tourbillons, accidentels et irréguliers, il se produit quelquefois, sous rinflucncc de causes déterminées, des mouvements gyratoires réguliers, permanents,

m CriAP. III.— GIRGOxNSTANCES ACCIDENTELLES DU MOUVEMENT.

dans lesquels les molécules liquides décrivent, autour d'un axe sensiblement vertical, des trajectoires à peu près circulaires. Ces mouvements, dont nous allons faire une étude sommaire, sont de deux sortes : ou bien la matière liquide tourbillonnante se renouvelle sans cesse par un écoulement le long de son axe, ou bien elle reste formée des mêmes particules.

93. ToarMlloïKi de première espèce. — Le premier cas se présente dans toul écoulement par un orificô, sous des charges assez peu considérables pour que la surface libre du liquide devienne sensiblement concave, et lorsqu'il existe quelque dissymélrie tendant à produire une rotation de la masse autour d'un axe vertical. Les tourbillons de cette première espèce se produisent dans des réservoirs dont le fond est percé d'un trou, ou bien près des vannes entr'ou vertes d'où Teau s'échappe par le bas. Ils se produisent encore, par exemple, lorsqu'un coup d'aviron, plongeant à une certaine profondeur et imprimant aux molécules liquides situées à cette profondeur une vitesse plus grande qu'à celles de la surface, tend à former un creux où le liquide de la surface doit descendre pour le remplir.

Dans tous ces cas, l'entonnoir se creuse autour d'un axe vertical et le mouvement est descendant. Considérons, dans un pareil tourbillon, une particule voisine de la surface ; admeltons que sa trajectoire soit sensiblement un cercle horizontal de rayon r ; appelons z son ordonnée au-dessus d'un plan horizontal inférieur, \ ai p la vitesse et ja pression de cette particule. Soit po la pression atmosphérique constante, et Vo la vitesse également constante avec laquelle les molécules fluides arrivent au bord du tourbillon considéré comme limité à un rayon r^ que rien n'empêche de supposer infini. Si nous regardons le mouvement comme permanent et si nous admettons que la composante verticale u^' de l'accélération soit négligeable, la dernière des équations (i) de la page 28, se réduisant

g 9. - TOURBILLONS. i3r>

à -- = — py, montre que la pression varie, sur une même

verticale, suivant la loi hydrostatique. D'après le théorème de

Bernoulli, la somme - +2: + — est constante tout le long de

trajectoire d'une molécule, et par suite, sa dérivée par rapport à r est nulle, ce qui donne :

^P-L.^^^ n ndr gdr

D'autre part, l'équation générale de Thydrostatique, appliquée au mouvement supposé circulaire d'une molécule, nous

montrera que la dérivée ^, de là pression par rapportau rayon,

est égale à l'inertie de l'unité de volume suivant le rayon,seule force agissant dans cette direction sur la molécule considérée, c'est-à-dire à p — . En susbtituant cotte valeur à -^ dans l'équation précédente, celle-ci devient :

p Y» VdV ^ V dV ^

^- + -- j-=0, ou-+7- = 0, n r gdr ' r dr ^

OU, encore, en exceptant le cas r = 0 :

^dV ^ rf.(Vr) ^

v + ^=o. ou4:-'=o,

ce qui revient à :

Vr = Voro=C,

en appelant C une quantité constante.

La vitesse des molécules est inversement proportionnelle à leur distance à Vaxe.

Si l'on applique à une molécule de la surface libre le théorème de Bernoulli, p ayant alors la valeur constante po on a :

^ ce qui, en appelant h la profondeur z^ — z de la surface libre au-dessous du plan horizontal contenant le bord du tourbillon, de rayon ro, donne, pour le profil de cette surface libre :

Qoo^^

136 CHAP.IIl. — CIRCONSTANCES ACCIDENTELLES DU MOUVEMENT.

V»-Vo«

Ce profil est asymptote à Taxe vertical ; mais celle analyse ne s'applique pas aux parties trës voisines de l'axe, comme nous l'avons dit.

L'énergie d'un pareil tourbillon ^st considérable. Celle d'une couche fluide comprise entre deux plans horizontaux distants de lunité et entre deux circonférences de rayons r^ et fo a pour expression :

r°^ P V'(2^r)dr=7rpC« T'- =7r|.G«Log. ^ . M 2 Jr, r ^ r,

quantité qui devient très grande lorsque r, est très petit et qui deviendrait même infinie si la formule s^appliquait encore àr, = 0.

74. Toarliilloii0 de seconde espèee. — Les tourbillons de la seconde espèce, dans lesquels la masse en mouvement ne se renouvelle pas, seproduisent toutes les fois qu'une masse liquide annulaire est animée d'un mouvement de rotation qu'elle communique de proche en proche à d'autres masses annulaires contiguës. Le mouvement des premières peut leur être imprimé, soit par exemple par le frottement d'un cylindre solide et creux, immergé dans le liquide, soit par deux courants horizontaux, de sens inverse, agissant à la manière d'un couple sur deux points opposés des masses annulaires considérées. Le mouvement dépend alors évidemment du coefficient de frottementintérieur des couches liquides les unes sur les autres. On trouve facilement* que lorsque le mouvement est permanent la vitesse V, à une distancer de Taxe d'un pareil tourbillon est exprimée, A et B étant deux constantes, par:

V = Ar-h5,

1. Le froUement est égal, d*aprôsla note du no 16, à un certain coefficient I mulLipliô par la vitesse de glissement. Si dans ces masses annulaires en