Hydraulique, Tome I, pages 42 et suirantes

§ 2. — PROBLÈMES DIVERS. I6i

Nous pouvons ensuite, sous le signe (rinlégralion, remplacer

U par sa valeur en fonction de Q c'est-à-dire par — =- et observer

que Q, étant indépendant de s^ sortira de ce signe; nous obtiendrons alors, en faisant cette substitution et groupant les termes d'une façon différente :

Sous cette forme on voit que rabaissement du plan de charge ou la perte de charge entre deux sections données se

compose de deux parties : 1* le terme —^ j -r^ qui est dû

au frottement contre la paroi ; et 2^ le terme (a' — 1)( ^ 1

dû àl'accélérationouà Taccroissemement de vitesse moyenne, c'est-à-dire à Tinertie de la masse liquide en mouvement.

r* . 1 I -v .• 64Q« /•« B^ds ., . .

Pour évaluer la première partie —^ f "m ^ ^^ ^^^* ^^^*

naître d'abord la loi de variation de D en fonction de s que Ton suppose donnée, et aussi la loi de variation du coefficient Bi. Or on n'a, sur ce coefficient, aucune notion exacte. On peut supposer, approximativement, qu'il est à peu près le même, dans le cas d'une conduite à diamètre variable que dans une conduite à diamètre constant et lui attribuer alors soit une valeur constante 6i soit une expression variable, ou bien en fonction de U comme Ta proposé Prony, ou bien en fonction du diamètre D comme Ta fait Darcy. Eu égard au peu d'importance pratique de la question, rien n'empêche d'admettre la première hypothèse et de faire ce coefficient constant, ce qui permet de le faire sortir du signe d'intégration.

Pourlasecondepartiedelaperledecharge (a — 1) f — r — -j

son évaluation exige la connaissance du coefficient a', dont la valeur dépend de l'excès, sur le produit U'co, de l'intégrale

/ u^diù. Nous avons établi plus haut la loi des variations de

la vitesse u en fonction de la distance de chacun des filets liquides au centredutuyau,danslecasdu mouvement uniforme. Si nous admettons, bien que cela semble assez peu probable, que la répartition des vitesses dans une section soit la même lorsque le diamètre de la conduite est variable, la valeur pra-

tique à attribuera a' serait d'environ 1,111 soit - ; de sorte

que (a' — 1) serait égal à - \

Nous pourrons alors écrire définitivement la formule applicable aux conduites à diamètre variable de la façon suivante :

Le dernier terme est positif ou négatif suivant que Uo est plus grand ou plus petit que U, c'est-à-dire quele diamètre de la conduite augmente ou diminue. Dans le premier cas, ce terme correspond non pas à une perte, mais & une augmentation de la charge, et il représente un relèvement du plan de charge, c est-à-dire qu'il vient en déduction de la perte de charge mesurée par le terme précédent.

Il convient d'ailleurs de remarquer que le dernier terme, très petit, est presque toujours négligeable par rapport aux autres. Si nous nous étions contentés, comme on le fait quelquefois, d'appliquer le théorème de Bcrnoulli à Télude de

1. En réalité, la valeur du coefficient a déduite de la loi de la réparlition des vitesses dans une môme section transversale est beaucoup plus faible et ne dépasse guère 1,03; mais comme nous l'avons dit plus haut (p. 50, en Dole), la substitution, dans le terme précédent, du coefRcient 6, relatif au

[jî u î

régime uniforme équivaut à négliger un terme en — , de sorte que

^9 pour corriger cette erreur, on est conduit à augmenter le coefficient «' de près de quatre fois son excès sur Tunité. et à adopter par suite la valeur donnée a' nr: 1,111 (voir le mémoire de Saint-Venant sur les eaux courantes ; Annales des ponts et chaussées, 1er semestre, 4881, pages 148 et suiv.).

§ 2. — PROBLKMES DIVEKS. i63

récoulement dans le cas dont il s'agit, nous n'aurions pas eu à écrire ce dernier terme, et nous aurions eu simplement:

Cestsous cette forme que Ton donne ordinairement Téquatiou des conduites à diamètre variable.

Le plus souvent, les pressions p et po sontégales toutes deux à la pression atmosphérique et dans la plupart des problèmes

pratiques les deux termes —et --^ diffèrent assez peu Tun de

Taulre pour que Ton puisse négliger leur différence. La perte de charge totale z^ — z vaut alors simplement:

(>46,Q« rsds

H9, Coudulte à débit variable. Service en rouie. —

Au lieu de supposer le mouvement varié par suite d'un changement progressif du diamètre de la conduite, on peut supposer qu'il le soit par suite d'une modification du débit. Soit donc une conduite que nous supposerons à section constante, ayant à son origine un débit Qo, mais laissant sortir par des orifices, répartis d'une manière continue, un débit q par unité de longueur, de telle sorte qu'à une distance s de l'origine le débit de cette conduite ne soit plus que Qo — qs, Cesl ce que Dupuil appelait le service en roule.

Admettons que Téqiiation précédente, soit applicable, à la condition de considérer Q comme variable et égal à Qo — qs et de le faire entrer, par suite, sous le signe d'intégration ; nous obtiendrons en intégrant :

ou bien

Si ron suppose que, au bout de lalongueur Ii de la conduite, le débit soit réduit à Q,c'esl-à-dire sil'on poseQo = yL + Qi» on trouvera, en remplaçant 5 par L et réduisant:

Cette relation entre D, Q,, y, L et 2o — z servira à calculer Tune de ces quantités, les autres étant connues.

On peut se demander quel serait le débit de la même conduite, sous la même charge, s^il n'y avait pas de service en roule. Ce débit Q' sera évidemment donné par la relation

qui donne à peu près, d'après Bresse :

Si tout le débit Qo se fait en route de manière que le débit Qi àlexlrémité soit nul, la charge est

^« ^-7.«D= 39^ — -^îôl • 3V0-

Si, au contraire, il n'y avait pas de service en route, pour porter le même débit total Qo à l'extrémité, il faudrait une charge

'^— ir«D» ^"'

triple de la précédente.

90. Conduite formée de plusieurs parties de diamètre dilTérents. Uëgle de Dupuit- — Au lieu de conduites à diamètre graduellement variable on emploie, en pratique, des conduites formées de portions plus ou moins longues, chacune de diamètre constant, ce diamètre étant différent pour les diverses portions. Si Von applique, à cha-

s 2. — PROBLÈMES DIVERS. iô:>

cune d'elles, la formule simplifiée (6), ccst-à-dire si, pour chaque porlion de longueur L,, L,, Lj,... et de diamètre D„ Dj, D,..., on calcule rabaissement du plan de charge exprimé

par le second membre de celle formule, — 7- / -- ,

trouvera, pour la perle de charge due à la première partie:

— , ; faisant le même calcul pour les autres parlies et

additionnant, il viendra pour la perle de charge totale :

on

La longueur L', d'une conduite d'un diamètre donné D qui

pour le môme débit Qproduiraitla même pertedechargequela

. , , ,w .. 646|Q*L' 6Wi,Q«L,