Conduite» branchées. — Considérons trois conduites

Qoo^^

i66 CHAP. IV. — TUYAUX DE CONDUITK.

AD, BD, CD (fig. 56) aboutissant à un même point Del mettant en

Fig. 56.

communication trois réservoirs A,B, C, dans chacun desquels nous supposons le niveau maintenu constant, et proposonsnous d'étudier les conditions de Técoulemenl dans un pareil système. Faisons abstraction des pertes de charge secondaires à rentrée de chacun des tuyaux, aux coudes s'il en existe et au point d'embranchement D ; supposons que chacune des conduites AD, BD, CD soit d'un diamëtre constant. Appelons respectivement Zj, 2„ z^ les altitudes supposées données des trois niveaux des réservoirs au dessus d'un plan horizontal inférieur, Zo l'ordonnée du point d'embranchement D au-dessus du même plan de comparaison, et L,, Lj, L, ; D,, Dj, D, les longueurs et les diamètres des trois conduites, Qi,Qî,Qs leurs débits, et enfin/) la pression inconnue au point d'embranchement D. Supposons, pour fixer les idées, que le niveau du réservoir B soit intermédiaire enire celui des deux autres ou que lïi > 2, > Z3. Si po est la pression atmosphérique s'exerçant sur les niveaux des trois réservoirs, les hauteurs piézo-

métriques aux points A et D étant respectivement z, + — et Zo"\ — , la perte de charge, dans la conduite AD, sera

Izi — 2o ? I et Ton exprimera les conditions de l'écoulement de celle conduite par l'équation :

Zt Zn „

De même, on aura, pour les deux autres conduites, on supposant que le niveau piézométrique en D soit plus élevé qu'en B, c'est-à-dire que l'écoulement ait lieu, dans ces deux conduites, dans le sens DB et DC :

p-Po 646^ Q,»L,

équations auxquelles il convient d'ajouter, d'après l'hypothèse que nous venons de faire, la suivante :

Qi = Qi + Q.,

ce qui donne quatre équations pour déterminer quatre inconnues qui pourront être, suivant les cas, p^ Di, D^, D^ ou bien

;^,Qi, Q., Q,.

Si le niveau piézométrique en D était moins élevé qu'en B, l'écoulement dans la seconde conduite aurait lieu de B vers D et les deux premiers réservoirs alimenteraient le troisième ; la seconde équation serait alors :

et la quatrième :

Qi+Q,=Qs

Ces équations se résolvent par tâtonnement. Supposons, par exemple, donnés les diamètres et soit à déterminer les débits. On prendra pour p une valeur arbitraire et l'on choisira celle qui mettrait le niveau piézométrique au point D à la même hauteur que le réservoir intermédiaire, c'est-à-dire qu'on annulera le premier membre de la seconde équation, et par suite Q,. On aura, d'après les deux autres :

Qoo^^

Si ces deux valeurs sonl égales, la qualrièmc équation sera satisfaite, puisque Q, -0 et le problème sera résolu. Si elles sont inégales, cette dernière équation n'étant pas vérifiée, on aura Qi>Q3 ou Qi<03. Dans le premier cas, on augmentera la valeur dep, ce qui aura pour conséquence de diminuer Qi, d'augmenter Q, et de donner k Q, une valeur correspondant à un écoulement dans le sens BD. Dans le second cas, on diminuera au contraire /?, ce qui augmentera Q,, diminuera Q, et donnera^ pour Q,, une valeur correspondant à un écoulement dans le sens DB. On calculera, d'après la nouvelle valeur arbitraire de/?, les valeurs correspondantes de Q,, Q,, Q, qui devront vérifier la quatrième équation sous Tune ou l'autre de ses deux formes, et Ton corrigera la valeur de p jusqu'à ce que cette vérification ait lieu.

Si, au lieu des diamètres, ce sont les débits Qi, Q„ Qj qui sont donnés, et si Ton doit en déduire les diamètres des conduites, la quatrième équation devant être vérifiée par les données et ne contenant pas les inconnues, il n'y a, en réalité, pour calculer celles ci que les trois premières, ce qui laisse le problème indéterminé. On doit alors avoir recours à une nouvelle condition à laquelle on astreindra les diamètres des conduites. On peut, par exemple, chercher quels seront les diamètres qui rendront minimum la dépense en argent, ce qui, en admettant que le prix d'une conduite soit proportionnel à son diamètre, revient à rendre minimum la somme

En substituant àDi,D|, D, leurs valeurs en fonction de Qi^Qt, Qs et égalant à zéro la dérivée de cette expression prise par rapport à la variable indépendante p, on établit des équations du

degré - dont la résolution laborieuse ne saurait être considérée

comme pratique. Généralement, on se donne arbitrairement l'un des diamètres à déterminer et les deux autres se déduisent des équations précédentes, ainsi que la pression p au point D.

Celle-ci doit toujours être positive et au moins égale à la moitié de la pression atmosphérique, pour que Fécoulement ne soit pas troublé par le dégagement de Pair contenu en dissolution dans Feau.

•9. C'aleul d'une eondoile élé^atolre. — En général, Teau destinée à la distribution dans les villes doit être puisée au moyen de machines qui seront étudiées dans un autre volume de V Encyclopédie, et refoulée dans un réservoir élevé. Le calcul du diamètre de la conduite de refoulement donne lieu à une remarque intéressante. Désignons par p le prix du cheval-vapeur de la machine élévatoire, y comprit la dépense d'entretien et d'exploitation capitalisée, et par;)' le prix de l'unité de longueur d'une conduite ayant pour diamètre l'unité. Si N est le nombre de chevaux-vapeur de la machine, D le diamètre de la conduite et L sa longueur, la dépense en argent de la machine et de la conduite représentera un capital P=;,N+/DL.

Soit Q le volume d'eau à élever par seconde et H la hauteur d'élévation. Le travail utile de la machine, par seconde, serallQH ; mais elle devra en outre vaincre le travail de frottement dans la conduite, ce qui revient à dire que la hauteur réelle d'élévation H sera augmentée de la perte décharge qui, pour la longueur L sera, d'après ce que nous venons de voir,

— ;n[^« ^^ travail réel à développer par la machine sera

ainsi riQj HH n^" T ^^ nombre N de chevaux- vapeur s'obtiendra en divisant ce travail, exprimé en kilogrammètres, par le rendement m de la machine et par 75. Il en résulte que le capital aura pour expression :

Si l'on veut choisir le diamètre D de la conduite de manière

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que P soil minimum, il faut égaler à zéro la dérivée »:.,ce qui

donne :

D'où Ton tire :

D« 64ft|pn

ou bien :

;.oubiea?.*=*^5r£;.

Q TT V iSm p'

Le coefficient de v^Q ne dépend ni de la longueur L, ni de la hauteur H, ni du débit, il ne dépend que du rendement m de

la machine et des prix p et p\ Le rapport variable —,^ ne

figure d'ailleurs que par sa racine sixième, c'est-à-dire que ses variations n'ont pas beaucoup d'influence sur la valeur du coefficient qui multiplie yQ. Soit, par exemple, 6, = 0,0004 ; m = 0,75; jo == 5,000 fr.^/?' = 100, il viendra:

D = 1,50 vQ.

Si, au lieu de ces valeurs, qui peuvent être considérées comme moyennes, on avait, dans des circonstances exceptionnelles, le rapport -,=100, au lieu de 50, on trouverait

D=^1.70v/Q; et si, au contraire, ce rapport n'était que de 25, au lieu de 50, la valeur de D serait D==1.35 v^Q» ce qui confirme bien ce que nous venons de dire au sujet de l'influence des variations des quantités qui entrent dans la formule. La valeur moyenne 1.50 y^Q, qui a été indiquée par Bresse, peut donc toujours être adoptée.

1. Ce prix de 5.000 fr. peut être ainsi justifié : acquisition de la machine, i.OOO fr.; frais annuels, par cheval, consommation de combustible, 4 tonnes à 30 fr., 120 fr.; entrelien et réparation, 30 fr.; amortissement, 50 fr.. Total 200 fr., représentant un capital de 4.000 fr.

On peut remarquer que la vitesse moyenne U, dans la con-

4Q duite ascensionnelle, qui est égale à — , a pour valeur, d'a-

D* près l'expression ci-dessus de — :

ce qui, avec les valeurs précédentes de 7/2, p eip\ donne :

Et cette valeur moyenne de la vitesse U peut, pour les mêmes raisons qui viennent d*ètre développées, être considérée comme à peu près constante ou applicable à tous les cas pratiques. En tout cas, quelle que soit cetle vitesse la plus économique (7), d'après les valeurs locales de m.p eip\e\\e restera la même si, au lieu d'une seule conduite réunissant la machine au réservoir, il y en a deux ou un plus grand nombre. Alors, en effet, s*il y a tî conduites, par exemple, le débit de chacune étant Q et son diamètre D, le débit total sera wQ, mais la hauteur correspondant à la perte de charge, à ajouter à H pour

calculer la puissance de la machine, seratoujours — —^ . L'expression de la dépense totale P sera alors :

et Téqualion à résoudre pour obtenir le minimum de P sera exactement la môme que ci-dessus. On en tirera donc toujours

D* la même valeur de - ou de U.

Celte circonstance, de deux ou plusieurs conduites ascensionnelles, se présente fréquemment et en particulier lorsque la ville qu'il s'agit d'alimenter se trouve placée entre la machine élévatoire et le réservoir. La vitesse la plus économique est indépendante du nombre de ces conduites, et elle a une valeur déterminée dans chaque localité par celles de m, p et p\

Celle conclusion, ainsi que les précédentes, suppose toutefois que Ton fait abslraclion des variations du coefficient 61 avec le diamètre et avec la vitesse. Elle est assez exacte pour une première approximation et cette approximation est généralement suffisante, car le diamètre à adopter pour les conduites ascensionnelles n'a pas besoin d'être déterminé avec une exactitude absolue eu égard à la nécessité économique où Ton se trouve de n'employer que des conduites ayant les diamètres existant dans le commerce.

•8. Caleul d^ne conduite en dérlTation. — M. So-

rel, ingénieur des ponts et chaussées, m'a fait remarquer qu'une analyse semblable peut être faite pour le cas où, au lieu d'avoir recours à une machine élévatoire, on veut prendre Teau directement dans une rivière dont la pente I, aux abords du point où doit se faire la prise d'eau, est donnée.

• Soit h la hauteur, également donnée, du niveau que doit atteindre Teau dans le réservoir, au-dessus de la ligne de pente I supposée prolongée jusqu'à la verticale de ce réservoir. Si L est la longueur de la conduite véritable inconnue du problème, et J la perte de charge par mètre on aura, d'après ces définitions :

Si l'on appelle encore D le diamètre fonction déterminée de la longueur L de la conduite, p' le prix de l'unité de longueur d'une conduile ayant un diamètre égal à l'unité, ladépense d'établissement sera />'DL, et il pourra y avoir lieu d'y ajouter une dépense pour acquisition de terrains sur tout ou partie de la longueur L. Si p" est le prix, par unité de longueur, des terrains nécessaires et si l'on suppose que, sur une longueur L', l'acquisition ne soit pas nécessaire, la dépense dont il s'agit sera />''(L — L') et la dépense totale P, à rendre minimum, sera exprimée par :