P=/?'DL-|-/?''(L— L') = (/?'D+/)L— /L

D'autre part, Q étant le débit donné de la conduite, on a entre D et J, la relation :

tt'D-

Dans l'expression de P, substituons à L sa valeur — , après avoir posé, pour simplifier :

cette expression devient :

I * D« - ds /^ ^ •

Et la dérivée de P par rapport à D étant égalée à zéro donnera l'équation :

Lorsque p" = 0, ou qu'on ne tient pas compte de la dépense d'acquisition des terrains, cette équation fournit immédiatement :

ou encore :

on en déduira

Lorsque p'' n'est pas négligeable, le rapport ^ du prix du

terrain à celui de la conduite d'un diamètre d est toujours inférieur à l'unité, et alors la résolution de l'équation du 6" degré, en -, peut se faire au moyen du tableau suivant, dressé pat M. Sorel, qui donne les valeurs correspondantes des deux-rapports ^ ^t -7^ :

Digltized by

EL

pd

On obtient, en général, une approximation suffisante en

prenant pour D et par suite pour L la valeur ci-dessus, cor-

respondanl à J = - I, trouvée pour le cas où il n'y a pas

d'acquisition de terrains. On voit en effet que, môme pour des terrains très chers, où Ton aurait/?" =:^'rf, le diamètre D serait porté seulement à 1,58 d au lieu de 1,43 d, c'est-àdire augmenté seulement d'un dixième environ. L'augmenlation résultant de la prise en considération du prix des terrains sera toujours inférieure à ce chiffre.

•4. Consolidation de« eoade« dei» eottdaile«* —

Lorsque Ton établit une conduite d'eau, il ne faut jamais négliger de tenir compte de la pression qui s'exerce dansles coudes et qui tend à y disloquer les tuyaux. Si Ton considère une conduite présentant un coude tel que AB(fig.

57;etsi l'on y suppose l'eau en repos, la masse liquide comprise entre les sections extrêmes AA', BB' du coude, recevra, de l'eau contenue dans le reste de la conduite, des pressions qui se transmettront à la paroi AB du coude et qui tendront à le séparer des parties rectilignes. Les assemblages des tuyaux ne sont

Fig. 57

Qoo^^

pas, en général, en élal de résister à de pareils efforls, et les tuyaux se séparerout effectivement si Ton n'a pas eu la précaution d'appuyer la partie convexe AB du coude sur un massif très résistant, ordinairement en maçonnerie ou en charpente. Dans l'état statique, Teffort auquel ce massif doit résister est simplement la résultante des pressions qui s'exercent sur les deux sections extrêmes AA', BB'. Lorsque Teau est en mouvement il faut ajouter à cette pression l'action due à la force cenlrifuge que Ton pourra calculer approximativement en supposant que la masse d'eau comprise dans le coude est concentrée en son sommet. Alors l'action de la force centri-

fuge sera égale ô cette masse multipliée par — en appelant U

la vitesse moyenne et p le rayon de courbure du coude. Cette action est souvent assez petite, et négligeable par rapport aux pressions statiques.

•&. Lois de la variation de« ▼itevses à rinlérieur d'un tuyau de conduite. — D'expériences faites sur le mouvement de l'eau dans les tuyaux publiées en 1857, Darcy avait conclu que dans une conduite circulaire de rayon R, la vitesse t; d'un filet liquide, à une distance r du centre, était liée à la vitesse V du filet central et à la différence de charge J par la relation :

V — t; = -«r« yj;

K étant un coefficient numérique.

Celte équation, différentiée par rapporta r, donne :

dv SK r-T

Multipliant les deux membres par ^, élevant au carré et mul-

tipliant encore par 7:r, on obtient :

9K« \ dr

f^\ 27rr = 7rr'J;

et sous cette forme on reconnaît l'équation d'équilibre d'une masse liquide cylindrique de rayon r, à la condition que le frottement, par unité superficielle de son contour, soit exprimé

par — ( R 7- j . En effet le premier membre représente alors

la force retardatrice sur Tunité de longueur, et le second membre, la force accélératrice. D'après cela, le frottement mutuel des couches liquides serait proportionnel au carré

de r- ou de leur vitesse relative, et en même temps au carré du

rayon R du tuyau considéré. Ce résultat déduit de l'expérience était en contradiction avec l'hypothèse généralement admise depuis Newton et surtout depuis Navier et Poisson, qui avaient supposé, avec tous les hydrauliciens, que le frottement intérieur des liquides était simplement proportionnel à la vitesse

relative —. Mais M. Bazin, en observant des canaux décou-

dr

verts de forme demi-circulaire et de dimension bien plus grande que les tuyaux sur lesquels Darcy avait opéré, a reconnu que la loi de la variation des vitesses était plus exactement représentée par l'équation :

et il a expliqué que si Darcy n'avait pas trouvé une expression de cette forme, cela pouvait être attribué à ce que ses observations, à raison des dimensions relativement faibles des conduites sur lesquelles elles avaient porté, ne s'étaient pas étendues à une distance du centre supérieure aux deux tiers du rayon. Dans la partie voisine du centre les courbes repré-^

i H. — ÉTUDE DÉTAILLKE DE L'ÉCOULEMENT.

sentant les deux lois de variation des vitesses ne diffèrent pas beaucoup Tune de Tautre : elles sont en effet toutes les deux normales au filet central qui a la vitesse maiimum. Elles ont donc, en ce point, même tangente, et en leur donnant un autre point commun, elles ne peuvent pas s'écarter beaucoup dans la partie intermédiaire. Ce n'est donc que dans la région la plus éloignée du centre que peut se manifester la divergence des deux courbes et c'est précisément celle que Darcy n'a pas observée. « Il ne serait donc pas impossible, dit M. Bazin, que, dans un tuyau fermé, la décroissance des vitesses dans le voisinage de la paroi s'opérât plus rapidement que ne l'indique la formule obtenue par M. Darcy. »

La formule de M. Bazin, différentiée par rapport à r, donne :

(lo;

dv R»

^r 3Kv^RJ

Multiplions-en les deux membres par 7:5 y et remplaçons, dans le premier membre, y^RJ par UVôî déduit de RJ = ftiU* ; nous obtiendrons :

/R v6| R .. (fp\ , ,

La parenthèse du premier membre exprime encore, pour les mêmes raisons que toutàl'heure, la force retardatrice sur l'unité de longueur, ou le frottement par unité superficielle du liquide sur lui-même. On voit que ce frottement est alors proportion-

iin

nelà la première puissance de la vitesse relative --, conformé-

ment aux liypotlieses anciennes, au rayon moyen -, et inverse

de la distance proportionnelle - de la couche considérée au

centre du tuyau.

Nous avons indiqué plus haut (n** 28, page 55) les raisons

478 CHAP. IV. — TUYArX DE CONDUITE.

qui pouvaient être invoquées en faveur de l'introduction de ces deux derniers facteurs : ils sont destinés à tenir compte du manque de parallélisme des filets, qui engendre les tourbillonnements et mouvements compliqués ou obliques absorbant une portion de force vive non utilisée pour l'écoulement proprement dit. Ce manque de parallélisme est d'autant plus prononcé que les dimensions de la section transversale sont plus grandes et que le filet considéré est relativement moins éloigné de la paroi solide. Darcy avait reconnu, par ses observations, rinfluence des dimensions absolues du tuyau, puisqu'il avait signalé la présence, dans l'expression du frottement intérieur, du facteur R* proportionnel au carré du rayon; facteur qui se retrouve, en réalité, dans loxpression résultant de la formule de M. Bazin.

Cette dernière formule donne des résultats identiques à ceux que nous avons trouvés plus haut ; l'expression ci-dessus, pour le frottement intérieur, ne diffère de celle que nous avons adoptée (page 55), d'après M. Boussinesq, que par le facteur U (vitesse moyenne) au lieu de Uo (vitesse à la paroi), et aussi par le facteur numérique.

Dans sa formule (9) ci-dessus, M. Bazin a déterminé expérimentalement la valeur du coefficient numérique K; il a trouvé, dans quatre séries d'expériences, des nombres variant entre 18 et 23, et généralement assez voisins de 2d, et c'est ce dernier chiffre qu'il a adopté La formule, écrite alors :

donne :