Répapiitlon des ¥iiefi»es sur une verileale
Quoi qu'il en soit de la véritable cause du phénomène, le fait n'en est pas moins avéré : il est très rare que, sur une verticale, la vitesse la plus grande se trouve à la surface. Les expériences de M. Bazin lui ont permis d'affirmer que la loi des variations des vitesses, sur une même verticale, pouvait être représentée par une parabole du second degré à axe horizontal dont le sommet^ correspondant à la vitesse maximum, était placé à une certaine profondeur au-dessous de la surface libre. Cette loi de répartition des vitesses a été retrouvée par tous les observateurs, et en particulier par M. Allan Cunningham, qui a dirigé des expériences très nombreuses et très exactes sur le canal du Gange, c'est-à-dire sur un cours d'eau régulier de dimensions exceptionnelles, beaucoup plus grandes que celles de tous ceux qui avaient été l'objet d'observations du même genre en Europe*. Cette loi parabolique peut être exprimée par une équation de la forme :
dans laquelle v est la vitesse d'un filet fluide, Y la vitesse maximum, 0 un coefficient numérique, z la profondeur audessous de la surface du filet, considéré et z^ la profondeur du filet dont la vitesse est maximum. Différentiée par rapport à
i. Il a été donné un résumé des expériences de M. Gunningham dans les Annales des ponts et diaussées, 1882, 2« semestre, page 43.
g 2. — ÉTUDE DKTAILLÉE DE L'ÉCOULEMENT. 497
z, celle équation donne :
Si nous considérons, dans la masse liquide en niouvement, un prisme rectangulaire de longueur et de largeur égales à Tunilé et limité par deux plans horizoulaux dont les ordonnées soient z et -Sj, le poids do ce prisme sera ÏV[z^z^) et la composante de ce poids, accélératrice du mouvement du prisme considéré, aura pour valeur, en appelant I la pente du cours d'eau que Ton peut prendre égale à sin I :
La force retardatrice ne s'exerce pas sur les faces latérales du prisme si l'on suppose que les vitesses y soient les mêmes de part et d'autre, et par conséquent qu'il n'y ait pas de vitesse relative. Elle ne s'exerce pas non plus sur la face dont l'ordonnée est z = Zt, car la vitesse étant maximun sur cette
face, — y est nulle, il n'y a pas non plus de vitesse relative
des molécules situées de part et d'autre. Elle ne s'exerce donc que sur la face du prisme dont l'aire est égale à l'unité et l'ordonnée égale à z, et elle doit équilibrer la force accélératrice qui vient d'être écrite. Cette action retardatrice, due au frottement du liquide sur lui-même, est ainsi égale à :
liU(z—zA= — —T--
^ *^ 2Bdz
Elle est donc proportionnelle à la première puissance de -r,
comme nous l'avons déjà dit à propos des tuyaux de conduile. D'autre part, les expériences de M. Bazin lui ont montré que le coefficient que nous avons appelé 6 était lié à la pente I, et au rayon moyen ou bien à la profondeur h dans le cas d'un canal de largeur indéfinie, par la relation :
Cette valeur étant portée dansTexpression précédente du frottement moléculaire par unité superficielle lui donne la forme : nW dv n f /If <^v
ou bien encore, en mettant pour h\ sa valeur 6U* :
2k dz
Expression du frottement intérieur identique à celle que nous avons supposée au chapitre II, n"" 28, à la seule différence que la vitesse à la paroi tio est remplacée par la vitesse
moyenne U ; le coefficient ^ remplaçant en même temps ce-
lui que nous avions appelé IIA ou p^A. Nous trouvons ainsi une confirmation expérimentale des hypothèses qui ont été faites alors sur le frottement intérieur.
iOS. Formuleii de M. Baain. — Reprenons alors Téquation générale (4) et mettons-y, pour le coefficient 6 la valeur
— y/hl trouvée par M. Bazin ; cette formule devient :
et en désignant, pour simplifier, par î[, î[i les rapports -, j-*,
c'est-à-dire les profondeurs proportionnelles, ou les rapports des profondeurs z ou Zik la profondeur totale A, et aussi par K le produit kyjhl :
La vitesse moyenne sur une verticale, que nous appellerons II, sera :
u^C t^ci^= V - K Q -Ci + Ci'), en supposant que le coefficient K soit constant.
Dans la même hypothèse, la moyenne des vitesses t?ç et vi-ç, en deux points symétriques par rapport k la surface et au fond, diffère peu de la vitesse moyenne u sur la même verticale, car l'équation (5), en y faisant successivement ^ = ^ et ?^ = 1 — J[, donne :
et Ton voit facilement que lorsque T^ varie de 0 à -, le trinôme varie de - à — tt î la moyenne des deux vitesses considérées
diffère de la vitesse moyenne de moins de - de K, lequel est toujours une petite fraction de cette vitesse moyenne. La vitesse au milieu de la hauteur, pour ^= -, est :
elle diffère donc peu de la vitesse moyenne sur la même ver-
ticale. Mais la vitesse aux - de la profondeur, obtenue en fai-
sanl 2^ = r, diffère encore moins de la vitesse moyenne w ; o n
a en effet :
Or, ^t, en pratique, ne dépasse presque jamais -et lorsqu'il
varie de 0 à -, le second terme de cette expression, qui ropré-
sente la différence entre v. et u, varie, de — à — . On peut
donc presque toujours, avec une approximation suffisante,
écrire :
n = Vt.
Cette formule approximative, donnée par M. Bazin, a été remarquablement vériBéc par les expériences de M. Cunningham qui lui ont montré que la vitesse moyenne, sur une verticale, élait la môme que colle d'un point dont la profondeur variait de 0,577 à 0,667 de la hauteur. La moyenne de ses observations lui a donné, pour la profondeur de ce point,
2^ =::: - = 0,625, au lieu de 2^== 0,60. Mais cela lient à ce qu'il a
fait entrer, dans cette moyenne, les observations faites sur des verticales rapprochées des rives, sur lesquelles la distribution des vitesses est différente de ce qu'elle est dans un canal de largeur indéfinie. Près des rives, en effet, la profondeur où se rencontre la vitesse maximum s'abaisse et la vitesse moyenne se trouve plus bas que vers le milieu du canal. Le point où Ton rencontre une vitesse égale à la vitesse moyenne peut s'abaisser jusqu'à Ç— 0,728, mais alors il se trouve, près de la surface, à ^=:0,10,un autre point où la vitesse est la même. M. Cunningham a déduit, de la loi parabolique des vitesses, les valeurs de la vitesse moyenne sur une verticale en fonctions de celles de filets situés à diverses hauteurs. Voici quelques unes de ces valeurs :
etc.
Il n'est pas inutile de faire remarquer que Vo, dans ces formules, représente la vitesse pour ^ = 0, c'est-à-dire la vitesse à la surface, et Vi la vitesse pour ^=1 ou la vitesse au fond. Colle-ci est d'une détermination difficile.
§ 2. — ÉTUDE DÉTAILLÉE Dtl L'ECOULEMENT. 201
Oq peut, en adoplant Tune ou l'autre de ces formules, déterminer approximativement la vitesse moyenne sur une verticale au moyen de la mesure directe d'une seule, ou de deux, ou de trois vitesses sur celte verticale.
104. Bapport de la vitesse niax.iniuiii à la vitesse moyenne. — Tout ce qui précède suppose, d'après ce qui a a déjà été remarqué, que le coefficient désigné par K, qui exprime le paramètre de la parabole des vitesses, est constant. Au contraire, les expériences de M. Bazin ^ lui ont montré que ce coefficient devait être remplacé par - — — , c'està-dire qu'il est d'autant plus grand que ^,, profondeur relative au-dessous de la surface libre du point où la vitesse est maximum, est plus petit ; la courbure de la parabole est d'autant plus prononcée à son sommet que ce sommet est plus bas, ou que la vitesse maximum se trouve plus loin de la surface libre. L'équation qui exprime la loi de variation des vitesses devient alors :
et le coefficient M a pour valeur :
M = 20 v^^ Dans un courant rectangulaire de largeur assez grande pour que rinfluence des rives pût être considérée comme négligeable, h pourrait être confondue avec le rayon moyen R et la vitesse moyenne sur une verticale, désignée ici par w, ne différerait pas sensiblement de la vitesse moyenne U dans toute la section transversale. L'équation précédente s'écrirait alors, en divisant tous ses termes par u ou par U et en remplaçant A par R :
1. Annales dea ponts et chaussées, 2« semestre, 1875, p. 309.
Qoo^^
Nous avons trouvé plus haut :
la décroissance des vitesses sur une verticale est, toutes choses égales d'ailleurs, d'autant plus prononcée que la résistance opposée par les parois à Técoulement du fluide est ellemême plus considérable. Le coefficient K ou plutôt le rapport
- qui mesure cette décroissance, doit augmenter avec la résistance. Remplaçons, en effet, ce coefficient K par sa valeur en
RI M, et remarquons que 7Z = by nous obtenons :
Nous avons déjà dit que ^t était généralement inférieur à
-. Dans les canaux très larges, comme ceux dont nous par-
Ions maintenant, il est rare que ^1 dépasse 0,20 ; alors, avec la valeur moyenne \/é = 0,02 qui correspond au coefficient de Tadini, et qui est applicable aux cours d'eau tranquilles
et à vitesse modérée, le rapport — varie entre 1,10 et 1,13.
Pour les autres valeurs de b applicables aux grands cours d'eau de forme et de vitesse moins régulières, ce rapport peut varier entre 1,09 et 4,19. Cela veut dire que la vitesse maximum, dans un cours d'eau rectangulaire très large, ne
dépasse la vitesse moyenne que de- à — de sa valeur.
L'expression précédente de - peut d'ailleurs, en effectuant
la division indiquée par le dernier facteur et en négligeant les termes du 3* ordre en J^i, se mettre sous la forme :
^=h-20vT.1(i-î:.)
/il
ou bien encore, en remplaçant b par — :
Dans les limites qui viennent d*ëlre rappelées pour la variation ordinaire de ^i, c'est-à-dire lorsque celte quantité varie de 0, sa limite inférieure qu'elle n'atteint presque jamais, à 0,20, le coefficient numérique du second terme, qui affecte V'AI, varie de 6,67 à 5,33. La moyenne de ces deux valeurs, qui correspond à î[ = 0,10, est exactement 6. On peut donc écrire, en moyenne et à titre d'approximation :
(7) V = U + 6 sjTÂ,
le coefficient 6 pouvant varier de 5,33 à 6,67.
Avec la formule de Tadini : U — SOy^ÂI, cette expression prend la forme V=l,12 U, ce qui est précisément ce que nous venons de dire^ d*aprës les observations de M. Bazin sur les canaux rectangulaires très larges.
Dans les mêmes conditions, la parabole des vitesses a pour équation :
«?V 20vl ,r r\i
et son paramètre ^ est compris entre 0,40 et 0,60.
106. Vitesse au fond. — La vitesse au fond, pour ^ = 1, que nous représenterons par u?, est alors :
= V — 20 w v^6 = V — 20 V AI ;
et la différence V — m? = 20v'^AI varie, dans les canaux artificiels, entre 7 V et - V. Elle augmente avec la rugosité de la
paroi, puisqu'elle est proportionnelle à la racine carrée du coefficient 6, lequel mesure la résistance à cette paroi.
Qoo^^
204 CHAP. V. — GANArX DKGOUVEHTS.
Cet écart, entre la vitesse maximum V et la vitesse au fond
w reste, on le voit, aux environs de 5 V, et c'est cette valeur
moyenne qu'il conserve dans beaucoup de cours d'eau naturels, où la résistance des parois présente des conditions à peu près moyennes et peu différentes. Toutefois, sur le Rhin, à
Bâle, sur un fond formé de gros galets produisant une résis-
sistance extraordinaire, cet écart a atteint presque - V ; mais
on doit considérer ce résultat comme exceptionnel.
Nous avons vu, que dans les tuyaux, au contraire, l'écart entre la vitesse maximum et la vitesse à la paroi était peu in-
férieur à - V, lorsque les parois étaient d'une rugosité moyen-
ne. Celte différence tient à Tinégalité de la répartition des vi^ tesses, déjà signalée, entre les tuyaux et les canaux découverts.
L'étude qui précède, sur la répartition des vitesses dans un courant, est empruntée à M. Bazin, et les résultats expérimentaux ont été déduits en outre des expériences personnel les de ce savant ingénieur, des expériences faites sur la Saône, à Raconnay, sous la direction de M. Léveillé, de celles qui ont été dirigées par M. Emmery sur la Seine, à Meulan, de celles de Baumgarten sur la Garonne, d'une expérience de Defontaine sur un bras du Rhin, à Kehl, d'une expérience sur le Rhin, à Bâle, par une commission d'ingénieurs, des expériences de MM. Humphreys et Abbot sur le Mississipî et enfin de celles de Robert Gordon sur llrrawaddi.
Les expériences de M. Allan Cunningham, sur le canal du Gange, sont postérieures au travail de M. Bazin; elles en ont confirmé les conclusions.
iOS. Oa» d'an eanal de dimensloiis restreintes. —
Lorsque les dimensions transversales du canal ne sont pas très grandes par rapport à la profondeur et que l'on ne peut plus, sans erreur sensible, prendre pour le rayon moyen R la profondeur /*, les résultats précédents ne sont plus applicables.
Qoo^z
La répartition des vitesses sur une môme verticale suit toujours la loi parabolique exprimée par Téqualion (6); mais Ton ne peut plus, comme nous Tavons fait, remplacer la vitesse moyenne w sur une verticale par la vitesse moyenne U dans toute la section transversale. Celle-ci n'est évidemment qu'une fraction de la vitesse moyenne sur la verticale du milieu, à laquelle s'appliquerait peut-être, au moins approximativement, la relation (7) qui deviendrait :
V = w -f 6 V AT.
La vitesse moyenne U étant alors notablement inférieure à w, le coefficient numérique doit augmenter, en même temps que l'on remplace A par R. En effet, lés expériences de M. Bazin lui ont permis d'établir, pour des canaux de dimension restreinte, la formule
(8) v=u + i4VRr,
mais le coefficient 14 semble, dans bien des cas, trop élevé.
On n'a, pour les cas intermédiaires, c'est-à-dire pour ceux où la largeur du cours d'eau, sans pouvoir être considérée comme indéfinie, est cependant assez grande, aucun renseignement expérimental. M. Cunningham a simplement constaté que dans une formule de la forme :
V=U+KVFl
le coefficient K devait varier avec les dimensions de la section transversale ; mais il n^a pas dégagé les lois de cette variation qui paraissent compliquées.
Il a d'ailleurs fait observer qu^une pareille formule ne pourrait avoir d'utilité pratique que si, au lieu de renfermer la vitesse maximum V qu'il est difficile d'observer directement, elle contenait la vitesse la plus grande à la surface libre, laquelle est toujours inférieure à V.
Lorsqu'il s'agit de canaux dont la largeur n'est pas îndéfinie> il devient impossible de déterminer la vitesse à la paroi.
206 GttAP. V. — CANAUX DÉCOUVERTS.
Celle vitesse esl alors variable suivant une loi qui n'est pas connue. Elle a ordinairemenl son maximum au milieu du fond horizonlal du canal el elle va en diminuant jusqu^aux angles formés par le fond el les parois où se trouvent les plus petites vitesses de toute la section. Elle augmente ensuite jusque vers le milieu de la hauteur de ces parois et diminue enfin jusqu'à la surface libre. A défaut de toute autre indication, on pourra admettre que dans ces canaux limités, comme dans les grands cours d*eau, la vitesse maximum sur le fond est comprise entre la moitié et les deux tiers de la vilesse maximum V afférant à la section entière.
iOY. Pormales emplrliiae». — D'après cela^ on comprendra que nous nous bornions à rappeler sans discussion, la relation empirique entre la vitesse maximum V, la vitesse moyenne U et la vitesse au fond w^ qui avait été trouvée par Prony et que Ton emploie encore quelquefois :
Prony avait même exprimé la vitesse moyenne en fonction de la vitesse maximum seule, par la formule :
On emploie aussi quelquefois l'expression plus simple et qui souvent n'est pas plus inexacte :
(H) U-=0,80V, ouV = l,25U,
laquelle, mise dans Téquation précédente (9), donnerait :
Quelques ingénieurs adoptent encore la formule déduite par M. Sonnet d'une analyse spéciale, mais qui, malgré cela, doit être considérée comme aussi empirique que les précédentes :
Qoo^^
§ 2. — ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LicOULEMENT. -207
Avec U ^ 0,80 V, elle donne iv = 0,50U== 0,40V. Mais, comme nous venons de le dire, la vilesse au fond, w, n'a pas de signification précise dans les cours d*eau de faible largeur.
