Courfii d'eau à faible pente. — Remous d'ex
haussement. — Étudions d'abord le premier cas, r- <;i ou
ir< H, celui d'un cours d'eau à faible pente, ou dans lequel la profondeur critique II' est plus petite que celle H du régime uniforme, et supposons en premier lieu que la profondeur h soit, en un certain point, plus grande que II. Alors A est, à plus forte raison, plus grand que IF, les deux termes delà fraction sont positifs, dh a le même signe que ds et la profondeur h va constamment en augmentant à mesure que 5 augmente ou que Ton descend le cours d'eau ; il y a remous d'exhaussement. Lorsque A devient très grand, la fraction tend vers Tunité et dk
Flg. 62.
tend à devenir égal à ids : la surface libre lend vers l'horizontale : la courbe superficielle présente, vers Taval, une branche infinie, asymptote à une horizontale. Si Ton remonte, au contraire, vers l'amonl, en faisant décroître s, la profondeur A diminue en se rapprochant de II, et lorsqu'elle vient à en différer peu, la diminution de profondeur, rfA, devient très pelile par rapport à ids y la profondeur tend à devenir constanle et égale à II. La courbe superficielle est asymptote» vers Tamont, à la ligne correspondant au régime uniforme. Le régime du cours d'eau est sous l'influence de son extrémité d'aval.
L'intégration de l'équation différentielle peut s'effectuer; il suffit de l'écrire :
(21) ids==
dh.
et d'effectuer le développement en série du quotient ;
série convergente, puisque h est plus grand que H. En faisant l'intégration depuis un profil défini par son abscisse «o ot dans lequel la profondeur est Aq jusqu'à un profil quelconque, on obtient, après avoir tout divisé par H :
H H '^"V H)\%\k h^J^sW f^'J J
Au lieu de développer en série le quotient - — , on peut,
comme Bresse Ta fait, le décomposer en fractions simples en
240 CUAP. V. — CANAUX DÉCOUVEUTS.
appliquant la méthode générale de la décomposition dos fraclions rationnelles. On a, en effet, en appelant pour abréger A'
le rapport — :
puis, en multipliant par dh' et intégrant, il vient, après réductions :
Bresse a calculé et donné, dans son volume d'hydraulique, une table des valeurs de la fonction :
laquelle est le second membre changé de signe. On a ainsi :
D'ailleurs Téquation différentielle (19) peut s'écrire :
dh
^\ bgj H^ ^ u.n-r-yi hgjh'^-i
Et par suite, en intégrant, mettant pour l'intégrale du dernier terme la valeur qui vient d'être écrite, et limitant l'intégration à deux profils d'abscisses ^o et 5, laconstante disparait et il vient :
'-^•='-T-'+('-i)[K5)-Hïï)]-
Le problème se trouve ainsi résolu de la manière la plus générale.
Pour se servir de cette équation, ou pour déterminer le
Qoo^^
§ 5. — HEMOUS. 241
profil longiludioal de la surface libre d'un cours d'eau dont on connaît la pente de fond, î, et le débit q par unité de largeur, à partir d'un profil d'origine où l'on a constaté une profondeur Ao, on commencera par calculer H au moyen de Téquation (18) donnant :
puis, prenant une profondeur arbitraire A, différente deAo, on la mettra, ainsi que les autres quantités, dans la formule précédente qui donnera alors la distance s à laquelle se rencontrera cette profondeur A. Les valeurs de la fonction ^(- )
seront prises dans la table de Bresse, ou bien dans la table n^ XUI à la fin du présent volume qui en est extraite.
Soit par exemple q= 5 me. 66 ou y» = 32,0 ; et t = 0'"0002 ou 0°20 par kilomètre. Si l'on peut prendre pour b la valeur
moyenne 6 = 0,0004, on aura -f = 64 et par suileH= 4"00 ;
avec a= , on a aussi -■ = 0,056. Supposons qu'en un point
h. fi
donné la hauteur h^ s«t égale à 6""00, le rapport rj sera - ri
1,50 ; cherchons à quelle distance en amont la profondeur sera réduite à 5 mètres : A = 5" ou - = 1,25. La table XIII
donne | (^^ = 0,257, <{' (^ = 0,420 el la formule précédente devient^ en y mellant ces valeurs :
d'où
= 8.080 mètres.
C'est à cette distance, en amont du point où la profondeui' est de 6°00,que l'on rencontrera celle de 5 mètres. On trouvera
242 GIIAP. V. - CANAUX DÉCOUVERTS.
de même les abscisses de profondeurs intermédiaires aussi rapprochées qu'on le voudra. Il suffira, en général, pour avoir une idée suffisante deTallure de la courbe, d'en calculer deux ou trois points ; on voit combien ce calcul sera facile.
itO. Cas où la pente est Irèa faible — Il arrive fréquemment, lorsque la pente est faible, que Ton peut négliger
le terme 7- devant Tunité. Ainsi dans Texemple qui précède
ce rapport ne vaut que 0,056, pour une pente de 0*20 par kilomètre. On ne commettrait, môme dans ce cas^ qu*unc erreur de
— de la valeur du dernier terme en le laissant de côlé. La solution générale peut alors se simplifier.
En y effaçant le terme en -- » Téqualion différentielle (19) devient :
Appelons y la hauteur du remous ou la quantité dont la profondeur réelle h dépasse celle du régime uniforme II, ou posons :
et remplaçons // par cette valeur, nous obtenons :
OU bien, en faisant la division :
»*=H(3i + 3li + 9T.-9-¥.+ )^^'
puis, en intégrant et divisant par H :
i(8^So)i /y\ 2(y^yo) y«-t/o» y'-yp^
Dans les circonstances dont il s'agit, les hauteurs du remous,
i 5. — REMOUS. ^ 243
y et yo9 sout généralement assez petites par rapport à H pour que Ton puisse négliger le carré du rapport ^ , réduire le second membre à ses deux premiers termes et écrire :
(22) i(5,.)="Log(f-)+?(y-y,).
Le logarithme qui figure dans cette formule est le logarithme népérien. Elle n'est applicable, il convientde le rappeler, qu'à des cours d'eau de largeur indéfinie et de pente très faible. Mais, dans ces cas particuliers, elle peut être employée utilement pour étudier les variations de hauteur des remous.
Appliquée à l'exemple numérique qui précède, c'est-à-dire en y faisant i= 0,0002, H =4, y = 1, yo= 2, elle donne, en changeant les signes :
0,0002 {so-s) =^ Log.2-h l (2-1) = ^x0,693-+-^ = 1 ,590; d'où So— « = 7950 mètres au lieu de 8080.
Lorsque y diffère pou de t/o et que Pon peut négliger les
puissances supérieures de ^^ ■", on a, à ce degré d'approxi-
mation :
y« Vo y»
ce qui permet d'écrire l'équation précédente :
H + yo^st la profondeur du cours d'eau en amont, au point où elle est le plus faible, 11 + 2^0 peut être regardé comme différant peu de la profondeur moyenne, dans l'étendue du remous, que nous appellerons â», et alors :
(23) i(s-So) = TLo&!--
244 CHAF. V. — CANAUX DKCOUVERTS.
Celle formule du remous n'est, bien enlenda, qu'approximative et son emploi, bien qu'il ait été proposé par Dupuil^ pourrait conduire, dans certains cas, à des résultats numériques assez éloignés de la vérité ; mais elle n'en est pas moins précieuse, en ce qu'elle exprime, d'une manière simple, la loi du remous cl qu'elle permet, bien mieux que les formules exactes plus compliquées, d'en apprécier toutes les particularités. Elle permet d'établir les propriétés suivanles de la courbe de remous, qu'il faut regarder non comme absolument rigoureuses, mais comme approchées :
1** Ladistance entre deux hauteurs de remous déterminées est en raison inverse de la pente du cours d'eau ;
2"* La diminution du remous entre deux points est due non pas à leur distance, mais à leur différence de niveau ;
3° La distance entre deux hauteurs de remous est proportionnelle à la profondeur du courant, pour des penteségales ;
4° La dislance entre deux hauteurs de remous est proportionnelle au carré de la profondeur du courant pour des vitesses égales ; ^- ou en raison inverse du carré de la vitesse pour des profondeurs égales ;
5^ La dislance entre deux hauteurs de remous est proportionnelle ail carré de la vitesse, pour des pentes égales ; — ou en raison inverse du carré de la pente pour des vitesses égales * ;
G"" En général, ce qui augmente la longueur du remous, c'est la profondeur ; ce qui la diminue, c'est la pente du courant.
1* Ces deux dernières propriétés, 4o et 5^, se déduiseat de la formule
précédente en remarquant que i est sensiblement proportionnel à — f, ce
Afit,
qui établit la proportionnalité entre le produit U* (i — ^o) et /im* Log ( - ); ou bien que hm est proportionnel à -r ce qui établit de même une proportionnalité entre i* (s-^Sq) et U* Log ( — j .
§ 5. - HEMOUS. 24.^
Il en résulte qu'un remous produit dans un cours d'eau par une cause déterminée et qui, à Tétiage, cesse d'être sensible à une certaine distance en amont, peut, en temps de grandes eaux, ou lorsque la profondeur est augmentée, se faire sentir d'une façon appréciable à une bien plus grande distance.
La formule approximative (23) est commode pour obtenir une donnée rapide de l'étendue de la courbe du remous. Elle peut servir, par exemple, à donner une réponse approchée à la question suivante : A quelle distance, dans un canal de pente et de profondeur moyenne données, un remous se réduit-il à
la moitié de sa hauteur? Il suffit d'y faire - = 2 etde calculer
la valeur correspondante de s — 5q. Si, pour continuer le même exemple numérique que plus haut, on prend î= 0,0002 et /*„,= 5"50 profondeur moyenne entre le point où elle atteint 6 mètres et celui où elle sera réduite à 5, le remous étant alors diminué
5 50 de moilié, on trouve i {s — Sq) =-^ Log. 2 = 1,270 et par
suite* — So = 6350 mètres au lieu de 8080 que nous avait donnés la formule exacte et de 7950 qu'avait fournis la formule approchée (22).
On voit donc avec quelle réserveilfaut accepter les résultats de cette formule (23) qui doit plutôt servir à étudier sommairement les lois du remous qu'à en calculer les valeurs exactes.
