MOUVEMENT VARIE

confondre avec son sinus, nous écrirons définitivement l'équation du mouvement varié :

w ds \2gJ

Dans cette équation, I représente Tinclinaison, sous Thorizon, des trajectoires superficielles. Il ^st plus commode d'y faire figurer explicitement rabaissement superficiel que nous appellerons dz, en désignant par z la hauteur du niveau de la surface libre au-dessus d'un plan horizontal passant par l'origine du cours d'eau, en amont, au point où 5 = 0. On écrira ainsi :

ou bien, en multipliant par ds et effectuant la différentiation indiquée au dernier terme :

(16) dz=^^-t^bms.

La pente superficielle I ou l'abaissement superficiel dz sont généralement plus difficiles à mesurer que la pente du lit que nous appellerons ?', ou la variation dh de la profondeur h du

cours d*eau. Si Ton consi-

fi -;- lizîi ^^^^ ""® longueur infini*

Ib ment petite du cours d*eau entre les sections AC et BD, la ligne ÂB étant le fond, Fig. 61. CD la surface libre, et si Ton

mène, par le point C, une horizontale CF et une parallèle CE à AB, on voit que FD = FE — DE, c'est-à-dire, ds étant la longueur AB :

dz = id$ — dh.

Et par conséquent, nous pourrons encore donner à Téquation générale la forme :

(47) ids - dh = ""— +^-b UWy.

g fk»

tm. Applieatioii à an oanal reetan^alaire très larirc^. — Nous l'appliquerons d'abord au cas d'un canal rectangulaire très large, dont les dimensions transversales soient suffisantes, par rapport à la profondeur, pour que Ton puisse,

sans erreur sensible, substituer au rayon moyen - la profon-

deur A, et nous admettrons que lesl ois de l'écoulement sont les mêmes sur toute la largeur d'une même section transversale. Alors, le débit total Q se répartit également sur toute la largeur / à raison de y =- par unité do largeur; la vitesse

moyenne U dans toute la section est la même que la vitesse moyenne u sur une verticale^ et entre ces quantités existe la relation :

qui, difierentiée par rapport à s, donne, puisque le débit est le même dans toutes les sections :

ArfU+UrfA = 0.

Nous pouvons, au moyen de ces deux équations, éliminer U et rfU de la précédente qui devient :

ids — dh = — — h * T ^'^**

Appelons, avec Dupuit, à qui nous empruntons en grande partie cette analyse, H la profondeur qui correspondrait au régime uniforme, c'est-à-dire une profondeur déterminée par cette condition que le produit Hi de cette profondeur par la pente i soit égal au produit de b par le carré de la vitesse

moyenne, laquelle serait alors-, nous aurons, pour déterminer cette profondeur H, Téquation :

(18) Hz=ô^, ou H' = *f.

Nous pouvons alors remplacer, dans Téquation précédente,

s 4. — MOUVEMENT VARIÉ.

q^ par sa valeur en fonction celte quantité nouvelle H, et récrire :

(19) ids —dh=—'^ î^' dh + i n ds.

ttV. Divliiioii de« eoap« d'eau en deu^K eaté|forie«.

— Nous diviserons la discussion de celte équation en deux

parties, correspondant aux valeurs du coefficient - el suivant que ce coefficient sera plus petit ou plus grand que l'unité.

En mettant pour 6 les valeurs moyennes qui conviennent à diverses natures de parois, M. Bazin a trouvé les valeurs suivantes de la pente du fond i pour lesquelles ce coefficient est égal à Tunité :

Nature des parois

Pentes pour lesquelles

cet

le coefficient 7- est

égal à l'unité

Observations

Parois très unies (cinienl).

Parois unies (pierres de taille, briques)

Parois peu unies (moellons)

Le coefficient b dépend en même temps du rayon moyen Les pentes limites* indiquées ci-contre ne peuventdonc être considérées que comme des moyennes. Pour cliaque nature de parois la pente limite s'abaisse à mesure que le rayon moyen grandit.

Parois en terre

Nous appellerons cours d'eau à faible pente ceux pour lesquels la pente sera inférieure au chiffre de ce tableau, les autres étant des cours d'eau à forte pente.

Nous avons vu plus haut (n" 68) que le ressaut superficiel ne pouvaits'obscrverque dans lescours d'eau danslesquelslaquan-

tité . - est supérieure à Tunilé, et que nous avons ap-

^coBt w *^ '1 r

pelés cours d'eau torrentueux ou torrents. Si Ton remarque que cos i est sensiblement égal à Tunité, que dans un canal

rectangulaire - est égal à la profondeur h et que le carré de

la vitesse moyenne U' est égal, dans le mouvement uniforme,

à -, on constate que cette quantité est précisément

h ^ ^ ^ ^cos» w ^

égale à r-. C'est pourquoi Ton appelle souvent torrents les

cours d'eau à forte pente et rivières ceux à faible pente. Mais ces dénominations supposent que la vitesse moyenne U est liée à la pente i par la relation du régime uniforme hi — 6U', ce qui est souvent inexact. En réalité, comme nous le verrons, il peut se trouver et il se trouve souvent, dans les cours d'eau à faible pente, des ressauts superficiels. Il suffit pour cela que la condition générale de la production de co phénomène soit satisfaite, c'est-à-dire que la vitesse moyenne soit assez grande

pour que . - soit supérieure à l'unité, ou plus simple-

■^ ^ ^ COS I w * » r r

ment que aU* soit plus grand que gh. Cela arrive, quelle que soit la pente, lorsque la vitesse moyenne est grande et la profondeur faible.

fis. Bernons d'ei^hausaement ou d'abalMement. —

Quelle que soit la valeur du coefficient r-, désignons par une seule lettre H' le produit :

V bg

La profondeur H', que nous appellerons profondeur critique^ sera plus grande que celle H correspondant au régime uniforme dans les cours d'oau à forte pente; elle sera infé-

Qoo^^

s 5. — HE.MOUS. 237

rieurc dans ceux à faible pente. Avec celle nouvelle nolation, Téqualion (<9), résolue par rapport àrfs,se met sous la forme:

Lorsque h différera peu do II, le dénominateur de la fraction étant très petit, dh sera très petit par rapport à ids; la profondeur ne variera donc que d'une manière insensible sur de grandes longueurs, lorsqu'elle sera voisine de celle qui correspond au régime uniforme. On pourra, en général, dans ces parties du cours d'eau, considérer le régime comme uniforme avec une approximation suffisante. Ce régime uniforme, ou sensiblement uniforme, existant sur de grandes longueurs, se trouvera modifié, soit vers Tamonl, soit vers Taval, dans des parties où h différant de H de quantités appréciables, la surface libre présentera une forme courbe définie par Téquation précédente et que Ton appelle la courbe des remous ; le remous sera dit d*exhaussement ou d'abaissement suivant que la courbe du remous se trouvera au-dessus ou au-dessous de la droite correspondant au régime uniforme. D'autre part, suivant que la courbe de remous se trouvera en amont ou en aval de la partie où elle se raccorde asymptotiquement avec la droite du régime uniforme, le régime varié du cours d'eau sera sous Tinfluence de son extrémité d'amont ou de son extrémité d'aval où se produiront les causes qui ont pour conséquence la transformation du régime uniforme en mouvement varié.

Suivant que les deux termes de la fraction seront de même signe ou de signe contraire, il en sera de même pour dh et (fo, la profondeur ira en croissant ou en décroissant à mesure que s augmentera, c'est-à-dire que l'on ira de l'amont vers l'aval. Le dénominateur ne peut changer de signe que pour A = 11, ce qui correspond au régime uniforme, et d'après ce qui vient d'être dit, à des valeurs infinies de s. Mais le numérateur change de signe en s'annulant lorsque h devient égal

^38 CtlAP. V. - CANAUX DÉCOUVERTS.

à la profondeur critique H'— II y- . Pour celle valeur,

le rapporl --- esl infini, la courbe représentant la surface

libre a sa tangente perpendiculaire à la direction du fond du lit du cours d*eau^ ce qui est incompatible avec l'hypothèse fondamentale que nous avons faite pour établir nos équations et qui consiste à admettre le parallélisme au moins approximatif des iilets fluides. Il y a donc, pour la profondeur A = ir une discontinuité dans le régime permanent que nous étudions et les formules nV sont pas applicables. Elles ne le sont même pas à une petite dislance au-dessus et au dessous de cette profondeur critique, dans les parties où la direction de la courbe superficielle fait des angles trop prononcés avec celle du fond. D'après M. Boussinesq, Téquation (20) cesserait d'être applicable lorsque le rapport

r- — rjT-serail inférieur, en valeur absolue, à 0,03. Aux envi-

rons de la profondeur critique, c'est généralement un ressaut soit d'abaissement, soit d'exhaussement qui se produit, et la profondeur h passe brusquement d'un côté à l'autre de cette profondeur critique H', dont la dénomination se trouve ainsi justifiée.