KI.)J

Dupuit arrive à une formule analogue dans laquelle le terme négatif, d'ailleurs très petit,— n'existe pas, et où, au dernier

terme se trouve, au numérateur et au dénominateur, la fraction

7 au lieu de celle - donnée ici.

On peut encore, lorsque y et y© sont petits par rapport à H, 2 2j/o

remplacer Log — =Log — — par - — - , et la for-

mule prend la forme plus simple :

(25) .•(5-*.) = (t/-y.)(i -^)+vW '-,

analogue à Téquation (22) que nous avons trouvée plus haut pour les canaux de largeur indéfinie. Elle contient, en plus, le rapport :

m ' bg ' l -h2H

Si, par exemple, - = - , cequi alieuàpeuprèspour/=2H, elle s'écrit :

(26) i(^s.)=?l(y-y,)+gH Log'- •

Le coefficient -: remplace -ou -et le coefficient ^est à la 4o * 45 3 5

s o. - REMOUS. 249

place de - , comparativement à la formule des canaux très lar-

ges. Toutes choses égales, le remous s'étend donc plus loin dans un canal de faible largeur que dans un cours d'eau de lar^ geur indéfinie.

!••• Construction de la eonrbedu renton». — Il n^est pas inutile de faire remarquer que la courbe du remous, dont nous avons donné Téquation en série pour les canaux très larges et sous une forme approximative pour les autres, est déterminée, pour un cours d'eau donné, lorsque Ton en connaît le débit, qui permet de calculer la profondeur H répondant au régime uniforme. Si donc on a construit un gabarit représentant cette courbe avec une ligne 4roite figurant le fond du lit, il suffira de connaître un point de cette courbe pour^ en faisant glisser le gabarit sur cette droite et en amenant un point du gabarit en coïncidence avec le point donné, tracer immédiatement la courbe du remous dans toute son étendue.

Si, par exemple, en un point A d'un cours d'eau à pente régulière (fig. 63) et de débit supposé constant Q, on établit un barrage transversal formant déversoir, on peut se proposer de chercher la modification qui sera produite par cet ouvrage dans le niveau de la surface libre en amont. Cette surface libre était

Fig. 63.

primitivement une droite NN parallèle au fond du lit et à une profondeur H correspondant au régime uniforme. On calculera d'abord au moyen de la formule des déversoirs la charge K qu'il sera nécessaire d'avoir, sur la crête du déversoir, pour débiter le volume Q : cette charge H donnera la hauleur du

QiOo^z

niveau au-dessus de la crête, en amont du déversoir, c'est-àdire l'ordonnée du point C, si la hauteur BA. est également connue. Le point C étant ainsi déterminé, le reste de la courbe du remous se tracera comme il vient d'être dit.

D'ailleurs, comme celte courbe est asymptote h la ligne NN' on peut, sans changer sensiblement les ordonnées de ses divers points, la déplacer longitudinalement dans un sens parallèle au fond du lit. Il importe donc peu de savoir exactement à quelle distance, en amont du déversoir, doit être placé le point C; on peut le supposer soit verticalement au-dessus de lacrète, soit, ce qui vaut mieux, à une dislance^ vers Tamont, égale à cinq ou six fois au moins l'épaisseur de la lame déversante.

Il est rare que, dans la pratique, on ait besoin de calculer exactement la courbe du remous. Une pareille exactitude ne pourrait d'ailleurs avoir d'application que dans un canal parfaitement régulier comme le supposent les équations du mouvement. Le plus ordinairement, cette régularité parfaite n'existe pas et les inégalités du lit rendent la formule simplement approximative. On peut alors, puisque l'on doit nécessairement se contenter d'une approximation, en choisir une autre, peut-être un peu plus éloignée de la réalité, mais qui a l'avantage d'être beaucoup plus simple, et remplacer la courbe du remous soit par un arc de cercle, facile à tracer s'il s'agit d'une construction graphique, soit par un arc de parabole dont les ordonnées se calculent immédiatement. La position du point

C(fig. 6i)par où passe la courbe du remous étant déterminée comme il vient d'être dit, on .^ suppose qu'en ce point la tangente est horizontale et que, Fig. 64. par suite, la courbe du remous

est tangente à la ligne CD, menée horizontalement parle poin^ C. De plus, au lieu de la supposer asymptote à la ligne AB représentant le niveau du régime uniforme, on la suppose tangente à cette ligne. Si l'on adopte, pour la courbe du remous,

§ 5. - REMOUS. 2Sl

un arc de cercle, cet arc sera entièrement déterminé par la condition d'êlre tangent au point C à la ligne CD et d'être également tangent & la ligne AB. Il en résultera que le point de contact de Tare de cercle avec cette ligne se trouvera k anedistanceDA = DC du point D. Si Ton prend, pour courbe du remous, un arc de parabole dont le sommet soit en C, cet arc sera également déterminé par la condition d*ètre tangent à la ligne AB; mais alors la distance DA du point de contact A, au point D, sera égale à DB, c'est-à-dire à très peu près la même que dans le cas de Tare de cercle.

Toutes les observations faites sur des cours d'eau à pente modérée s'accordent pour reconnaître que le remous cesse d'être appréciable au-delà d'une distance double de celle qu'atteindrait le niveau tenu horizontalement c'est-à-dire que, pratiquement, BA est double de BD, comme nous venons de le supposer.

Dans la seconde hypothèse, si l'on appelle yo la surélévation CB du point C au-dessus de la ligne du régime uniforme et y la surélévation du niveau en un point quelconque situé à une distance s, comptée en remontant en amont du point C, on aura :

(27) y=y,-is(^i-^y

Cette formule approximative peut, bien souvent, être suffisante en pratique ; cependant, elle ne tient aucun compte de la profondeur H du régime uniforme : elle donne par conséquent la même forme pour la courbe du remous d'un cours d'eau de pente donnée, quelque soit son débit, ce qui est manifestement inexact. Je ne l'indique, par conséquent, qu'en raison de la facilité qu'elle donne pour le calcul de la surélévation y en amont d'un barrage qui a produit la surélévation y©; maisilne faut en accepter les résultats que sous réserves, c'est-à-dire pour une première approximation. Si l'on ne veut pas recourir à la formule exacte qui, lorsque l'on n'a pas sous la main les

^c2 GHAP. V. — CANAUX DÉCOUVERTS.

tables de Bresse, donne lieu à des calculs extrêmement laborieux, il sérail peut-être préférable de prendre la formule de Dupuit (22) pour les canaux 1res larges, ou la formule (25) pour les canaux rectangulaires de largeur modérée dans lesquelles

on remplacerait le logarithme népérien Log~ par ^^^^ . Par

exemple, en mettant dans celle dernière formule (25), pour

tn 2

- la valeur moyenne - on aurait, en définitive, et en adoptant

pour y, yo et s les significations qui viennent de leur être données :

équation un peu plus compliquée que la précédente, mais qui serait sans doute plus approchée.

198. Coumi d'eau à faible pente. Bemous d'abaissement. — Reprenons la discussion générale de Téquation

différentielle (19), et considérons le cas où, —étant toujours

plus petit que Tunité, c'est-à-dire le cours d*eau élant & faible pente, on aurait A < H : c'est-à-dire une profondeur d'eau inférieure à celle du régime uniforme. L'équation (19) s'applique d'ailleurs à un cours d'eau de largeur indéfinie.

Si nous supposons que h soit très peu inférieur àH, il pourra être en même temps supérieur à la profondeur critique H', et alors le numérateur de l'expression (20) sera positif, le dénominateur négatif; dh sera de signe contraire à ds^ la profondeur décroîtra lorsque l'on marchera dans le sens du courant, de l'amont vers l'aval. En remontant, h augmentera ei s'approchera indéfiniment de H. La courbe du remous est encore asymptote, vers l'amont, à la ligne du régime uniforme, mais elle est au-dessous de celte ligne : il y a remous d'abaissemenl. La profondeur 7i, continuant à décroilre à mesure que Ton descend, s'approchera de la profondeur critique H' et finira par Talleindre.

Le régime varié du cours d'eau est alors sous l'iaflueuce de son extrémité d'aval et Ton peut se représenter les circonstances qui doivent se produire à cette extrémité pour y obtenir un abaissement rapide ou brusque assimilable à la discontinuité que signalent les équations. Cela arrive^ par exemple, lorsqu*il se trouve, dans le fond du lit, une solution de continuité par laquelle le liquide s'écoule et peut prendre une vitesse se rapprochant de la verticale, et en particulier lorsqu'un canal à pente régulière débouche dans un réservoir plus profond, dans lequel le niveau de l'eau est plus bas que le fond du lit du canal alimentaire (fig. 65).La surface libre, dan s

Fig. 65.

ce canal, se tient alors au-dessous de la ligne correspondant au régime uniforme et s'en rapproche indéfiniment à mesure que l'on remonte le courant. La courbe du remous peut donc la représenter depuis l'infini, en amont, jusqu'aux abords du poinl oii commence le déversement.

L'intégration de Téquation différentielle peut se conduire de la même manière que précédemment. Nous pouvons d'abord lui donner la forme (21), ou bien, en changeant le signe du dernier terme pour mettre en évidence celui du dénominateur:

ids=

du facti

dh.

donne :

io4 CHAP. V. — CANAUX DÉCOUVERTS.