Z = OL
H! /i!JË! i\
~^2g Vr«(H-2)« V'
ou, en développant après avoir multiplié par (H — zf :
H'z - 2Hz* + ^' = « ^ (^-^ - H* -f- 2Uz - z'^ ,
équation du troisième degré en z qui aura toujours une racine positive et souvent trois racines positives réelles.
Deux do ces racines, au moins, correspondent à des états d'équilibre possibles pour la surface libre. M. Vauthier, in-
1. C'est l'application de la formule générale du mouvement permanent varié. On peut, en particulier, déduire cette équation de celle (16) établie au n* 115, page 233, en l'intégrant et en négligeant le dernier terme qui représente le frottement sur retendue comprise entre les deux profils considérés.
génieur des poQls et chaussées, a fait à Roanne une série d'expériences dans lesquelles il a réalisé ces deux positions d'équilibre, et il a constaté que la supérieure seule était stable *.
La profondeur dans la section B' étant calculée d'après la valeur de z, la surface libre affecte, à Tamont, de D' en D, la forme de la courbe du remous d'abaissement étudiée au n®123. Si l'étranglement est assez long, cette courbe se rapproche de Tasymptoto située à une profondeur H' et correspondant au mouvement uniforme dans la partie rétrécie. C'est ce que nous avons admis tout à l'heure.
181. Effet d'an élaririiiiieuieiit da Ht. — Si, au lieu de présenter un rétrécissement, le lit présente un élargissement d une grande longueur ou bien d'une longueur modérée, il se produira des phénomènes analogues susceptibles d'être calculés par les mêmes équations.
Lorsque l'élargissement pourra être considéré comme ayant une longueur indéfinie, de telle sorte que le régime uniforme y soit établi, il se produira, au passage de la partie plus étroite à la plus large, un abaissement du niveau qui sera mesuré par Téquation (33), dans laquelle on fera t plus grand que /. Le niveau de l'eau, dans la partie élargie, se relèvera successivement en approchant de l'extrémité de l'étranglement, la surface libre aura la forme de la courbe du remous d'exhaussement et se raccordera, comme il est dit au n9 129, à la profondeur plus grande correspondant à la partie rétrécie qui y fait suite. Si l'élargissement est court, il pourra arriver que l'étendue du remous soit notablement plus longue que lui et que la surface libre se trouve encore relevée à l'origine de l'élargissement ; il se produira alors, en ce point, un relèvement brusque analogue à celui qui vient d'être étudié et dont
1. Indication sommaire des résultats d'expériences faites à Roanne pour Vé-^ ttide de quelques conséquences du mouvement permanent, —Annales des ponts et chaussées» 1848^ i^t semestrei page 429»
le calcul doaaera lieu à la résolulioQ d'une équation du 3® degré. Dans ce dernier cas, d'un élargissement relaliveraent court, le profil longitudinal des eaux présente la forme indiquée
dans la figure 69.
Fig. 69.
LaligneHH est celle du régime uniforme qui correspond àla section rélrécie et qui existe en aval de la section A' et asymplotiquement en amont de la section A. De D' en C, il se pro-
duit une différence de niveau a — - — et cette différence cor-
respond à une profondeur plus grande en D\ puisqu'il y a accroissement de vitesse entre les deux sections. A partir de D', en remontant, commence la courbe de remous d'exhaussement qui serait asymptote à la ligne H'H' du régime uniforme dans la portion élargie si cette portion était assez longue. Mais si en D, à l'origine de l'élargissement, elle est encore au-dessus de la ligne HH ou du niveau dans la portion rétrécie d'amont, le niveau s'abaissera en C, de telle manière qu'entre C et D, se produise la différence de niveau z donnée par l'équation du 3* degré ; puis en amont du point C la surface libre aura la forme d'un remous d'abaissement et se raccordera asymptotiquement à la ligne HH du régime uniforme.
Ce dernier exemple met en évidence une conséquence intéressante au point de vue pratique : un élargissement de longueur modérée pratiqué sur un cours d'eau peut être accompagné d'une surélévation du niveau. Cela résulte en effet de la comparaison du niveau HCDD'C'H que prend la surface libre
Qoo^z
§ 6. - ÉTRANGLEMENT OU ÉLARGISSEMENT DU LIT 27i
dans le cours d'eau lorsqu'il existe un élargissement, avec le niveau rectiligne IIH correspondant au régime uniforme qu'il prendrait si la section restait partout la même ou si le lit, au lieu d'être limité par les rives ABB'A',rôtait simplement par les
rives rectilignes AA'. Cette surélévation, dont le maximum au
point D' est a — — , peut être assez grande. Si, par exemple, comme l'indique Dupuit, Ton a U=5°,00, ce qui u'a rien de trop excessif en temps de crue pour certains cours d'eau, et
si U'=2'", 50, ce qui ne correspond qu'à un doublement de la
LIî-U'« 25.00—6.25 . , section transversale, on a — r — = — TZTZTr' = 1 mètre en- ' 2(/ 2X9,8
viron.
Des approfondissements ou des relèvements partiels du fond conduiraient à des résultats semblables que Ton calculerait de la manière suivante. A chaque changement de section,
la formule z = — donne la différence de niveau. Si, en-
suite, sur une certaine étendue en amont, le canal conserve sa section, la surface libre prend la forme d'u)ie courbe de remous d'exhaussement ou d'abaissement suivant que le point de départ se trouve au-dessus ou au-dessous de la ligne du régime uniforme.
tSt. Effet d'an étraiii^lemeiit irradael, maiM pea Ions. — Dupuit a calculé aussi l'effet produit sur un cours d'eau par un étranglement, dans lequel les sections transversales varieraient graduellement et diminueraient proportionnellement à leur distance à l'origine, puis augmenteraient ensuite suivant une loi analogue.
Désignons par Oio, coi, wi, Uo, Ui, U, les sections transversales et les vitesses moyennes dans les trois sections AoBo, AjBi, AtBi (fig- 70), situées respectivement en amont de l'étranglement, dans la partie la plus étranglée^ et en aval de l'étranglement, où la section a repris sa dimension normale. Soient aussi Li, L|les distances mutuelles de ces trois sections elL la
GHAP. V. — CANAUX DÉCOUVERTS
longueur totale de rélranglemenl : L=Li+L,. Si o esl Taire d'une seclion transversale située à une distance s en aval de
la section étranglée, nous supposons que Gi = (Oi+ * "' s, et celle d'une seclion située à une distance s en amont de la
même seclion étranglée (oi serait (i) = (i)i -
&>0 Mt
s. Le débit
Fig. 70.
est conslant et la vitesse moyenne U dans la section quelconque (ù est liée aux autres quantités par la relation :
U = (Oo Uo = 0)1 U^== (0 jUj .
Étudions d'abord ce qui se passe dans la partie aval de Tétranglemenly entre les sections A|Bi et A^Bs et supposons que dans cette section A,Bi le régime soit uniforme ; nous pourrons d'abord écrire, en appelant t la pente constante du canal et R le rayon moyen de celle section :
Appliquons l'équation générale du mouvement varié sous la forme (17) ci-dessus, que nous écrirons :
dh'^
et intégrons-la entre les deux sections considérées ou sur la longueur L,. Appelons y, la différence de niveau entre la surface libre dans Tune et l'autre de ces deux sections, ou bien
faisons yt=J \'^dh)y ^ons obtiendrons :
8 6. - ÉTRANGLEMENT OU ÉLARGISSEMENT DU LIT àl7a
Le rapport ~ sera, en géaéral, comme (o elle-même, une fonction de s et Ton devra Texprimer ainsi poar effectuer l'intégration. Ponr simplifier, et dans Timpossibilité de laisser ia question indéterminée, on doit faire une hypothèse simple sur la loi de cette variation ; on peut supposer, ou bien x cons-
tant, ou bien - constant ; ces deux suppositions conduisent à des résultats différents. Prenons la seconde^ - constant, et égal, par conséquent, à Tinvorse — du rayon moyen de la section ÂsB,. Remplaçons t par -, puis U' par * ^* , et enfin --^* par i ; l'équation deviendra :
ri
ds.
Mettons pour o sa valeur en s et faisons l'intégration, nous obtiendrons, toutes réductions faites :
Uj« — Ui« .T /«a A
Exprimons maintenant Ui en fonction de Us et de -r , ainsi que des sections oi, a>sf il viendra définitivement :
Le coefficient — a les valeurs suivantes pour les diverses natures de parois :
Parois très unies ... r-: = 340 ,
2gb '
Parois unies 270 ,
Parois peu unies . . • 210 ,
Parois enterre . . • . 180.
èU CHAP. V. ^ CANAUX DÉCOUVERTS.
Tant que Lj est plus petit que 9"^ ^ (* + "" j' V* ^'^^ négalif, il y a dépression dans la section rétrécie et cetle dépression est d'autant plus considérable pour un étranglement
donné f-îj que le rayon moyen de la section transversale
d'aval est plus grand et que la ponte du ooura d'eau est plus forte. Lorsque L, est précisément égal à cetle quantité, il o'y a, dans la section rétrécie, ni dépression, ni exhaussement. Lorsque, au contraire, L, est plus grand, il y a exhaussement.
Appliquons la même équation et le même calcul à la portion de l'étranglement de longueur Li, comprise entre les seclions AoBo et A,B,; nous obtiendrons, en appelant j/i la différence de niveau dans ceB section» et Supposant toujours
Vi^OL
par suite la différence de niveau totale due à rétranglement el mesurée entre les deux sectiona extrêmes AoBe et A^Bt sera, en la désignant par y = yj +2/1 :
L \ft>oW4 / , * \w, yj*
Le premier terme peut encore prendre la forme -^ Rt(i — ~ j
ce qui ne. laisse subsister, dans l'expression de y, que les sections transversales (Oo, 0)1, 0)5. Comme approximation, il est souvent suffisant de supposer ti>o = <i)s, Je premier terme se trouve alors annulé, et dans la parenthèse on peut mettre
en facteur (- — 4 j. L'expression dey devient alors, en remarquant que L représente la longueur lolale Lj-rl-L» :
-Hx-^y
Sous cotte forme approximative simple, on voit que le gpnflement total produit p^r un étranglement graduel est toujours positif et représente une surélévation à Tamont. La pente du lit sur la longueur L considérée étant t'L, le premier terme
iL ~ représente ladiiïérence d'altitude de la surface libre dans
les deux sections extrêmes.
Il n'est pas inutile de faire observer que le calcul de coj suppose connue la dénivellation désignée plus haut par y, dans l'expression de laquelle ligure aussi la quantité (Oa, que l'on devrait y exprimer en fonction de y,; Téquation ne pourrait être résolue que par la méthode de fausse position.
133. Effet d*un é trn noient c ni bruiiqae. — Passade de l*eau soas un pont. — Si TcfTet d'un étranglement graduel peut à la rigueur se calculer au moins d'une façon £^p-
JQl
