li
A l'aide de ces valeurs, les équations (4) deviennent
/ Az^ -\- Q^i -f- /Wq r= o,
(6) I A(2i— 2o/) + Q(2â — ^l/)-^'"l~ /Wo/==0,
[ A/iZo + Q^Zi H- P-^ï •+- «'"o — /»î == o.
l46 CHAPITRE lY. — PIÈCES DB FORME QUELCONQUE.
On tire des deux premières, qui ne renferment pas P explicitement,
Zq Z^ 2j
et, en remplaçant dans la troisième A et Q par ces valeurs, on en tire
et la seconde équation (i') donne
(9) L = Q/- aP -+. -— — .
La valeur de P, donnée par l'équation (8), se réduit, dans le cas de la symétrie des charges, à la demi-somme de ces charges. La démonstration est la même que celle du n«30.
En effet, la valeur de m2 est celle de I — -^ ds; celle de
M' est M-={g — x)Z'^ Tl étant la résultante des forces appliquées à la partie mB de la pièce (^g". 7); g^ sa distance à la verticale du sommet, et M' le moment de cette résultante par rapport au point /w. En désignant par Z'' et M'', comme au n** 30, les quantités analogues relatives au point m', symétrique du point m et par ail le poids total de la pièce et des charges qu'elle supporte, on a
M" = (g- + x)Z' + 2(n — Z')jr.
La somme des deux éléments de l'intégrale m2, corres-
DÉTERMINATION DE P, Q, L. t/^'J
pondant aux deux points m et m!, qui ont pour coordonnées j: et — Xy est donc
M' — M" ^ an ,^ xas = =- x^cts,
et, en intégrant cette expression seulement depuis x = o jusqu'à X = a, on formera évidemment l'intégrale mj. Or,
Il en résulte
et par conséquent
Ce résultat donne lieu aux mêmes observations que celui du n» 30.
En éliminant rrit entre les équations (7) et (9), on obtient
Si l'on voulait tenir compte, dans le calcul de P, Q,L, des termes en X et Z des deux dernières équations (i) du n°25, il faudrait remarquer que ces deux composantes normale
et parallèle à la section normale en m | le cosinus de
l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des x étant
-—- et le sinus du même angle — j sont exprimées par les
équations suivantes :
dx dz
ds ds
r, ^ ^^ r.// dX
l48 CHAPITRE lY. — PIÈGES DE FOHMB QUELCONQUE.
V étant le poids de la partie de la pièce et de sa charge située entre le milieu O et le point m {Jig' i5). Substituant ces valeurs dans la deuxième équation (i)et intégrant depuis x = — a jusqu'à a: = a, on obtient, en désignant par les termes complémentaires de cette équation ,
^ ' J^\0-ds H €Ls ) J.\^^* adsjG
Cette expression est de la forme
(A) /wQ-h/i-4- 2aET
et doit être ajoutée au premier membre de la seconde des équations (6), qui, combinée avec la première, donnera pour Q une valeur différant de la valeur ( y ) par le changement de ^2 enz2-\-m et celui de mj enm< -i-/i-l- aaEr, savoir
^i — ^0 h n-{- 2aET
)d) Q= zi^
Or chacune des quantités m et n est petite par rapport à ^2 ^ et à m« — m© — • Pour le reconnaître, il faut
faire une hypothèse sur la forme de la fibre moyenne AmB. Supposons donc que la courbe OmB soit un arc de parabole, et que Taxe O^ soit la tangente au sommet O. Son équation sera
dans laquelle
Supposons en outre que la charge par mètre courant de
DÉTERMINATION DE P, Q, L. l49
l'abscisse soit une quantité constante -• Le moment M^
qui entre dans l'intégrale m^, est donné par l'équation [voir formule (i4), n*^ 35]
La charge par mètre courant d'abscisse étant égale à la constante - > les quantités M^ , M'' et V seront
il en résulte
Ml~
Tla
ia
équation qu'on aurait pu écrire immédiatement, sachant que M' est le moment par rapport au point m [fig» i5), ayant pour abscisse Xj de la charge de la partie m B de la
pièce. Multiplions par -- et intégrons depuis x = — a jusqu'à x= a; nous aurons, en supposant I constant et <f5
égal à dx^
rrit
Multiplions ensuite M' par — et intégrons entre les mêmes limites ; nous aurons
4 na*
l5o CHAPITRE IT. — PlfiCBS DE FORME QUELCONQUE.
Les valeurs de Zoy z^ et Zs que l'on obtient de même
sont
Il en résulte
Z, 2 llrt'
/»! — Wo - = 7-^ -TV = N,
les lettres N et M étant employées pour abréger.
Les valeurs de m et w, calculées dans les mêmes hypo-
thèses, sont
4 na»
On en conclut, pour la valeur absolue des rapports ^^ ' t: >
la lettre p désignant le rayon de gyration de l'aire de la section normale, dont le carré est - • Les valeurs numériques de ces deux rapports dans le cas traité au n° SI , où
USAGE DB l'épure DE HÊRT. l5l
la valeur de p est égale à o, 77, sont
~ =Lro,oo3, ^z=o,o44.
Ainsi se trouve confirmée de nouveau l'observation que nous avons faite plusieurs fois sur la faible importance des termes en X et Z des équations (i) du n^ 25. Nous en ferons donc abstraction, en sorte que nous prendrons l'équation [d) pour représenter la valeur exacte de Q [*). Les valeurs (e) de M et N donnent, t étant supposé nul,
formule identique à celle qui donne la tension horizontale
des câbles dans les ponts suspendus. Le moment L donné
par l'équation (10) est nul, et il en est de même de la
valeur (i) de M, qui est constamment nulle, en sorte que
la courbe des pressions passe par le centre de toutes les
sections normales, puisque w= — :ç- est constamment
nul.
§ II. — Usage de l'épure de Méry.
Laissons de côté les hypothèses particulières qui précèdent et cherchons, pour le cas général dont il s'agit dans ce Chapitre, à déterminer les intégrales qui entrent dans les valeurs de Q et L, après quoi nous déterminerons
(•) Foir les n" 60 et suivants.
l5a CHAPITRE lY. — PlfeCBS DR FORME QUELCONQUE.
la composante normale X de la résultante des forces appliquées à une section quelconque, le moment M de cette résultante par rapport au centre de la section et la distance, fv = — —î de la courbe des pressions à ce centre,
distance qui servira à déterminer ensuite les valeurs de la pression ou traction normale par unité de surface
R = — (14--7) en un point situé à la distance ^ du centre
de la section, cette distance étant comptée positivement dans le sens mG {fig* i5).
La valeur de X est donnée par la première équation (a), page 1 4 7 • La quantité Z'^ s'obtiendra graphiquement au moyen de l'épure de Méry. Cette épure est une coupe longitudinale de la pièce par le plan de la fibre moyenne. On y trace celte courbe, que l'on partage en un certain nombre de parties, et par les points de division on lui mène des normales. Soit m (fig* i5) l'un des points de division; on porte sur la normale des longueurs égales m H, m G telles qjie le produit de GH par ds soit proportionnel à la charge appliquée à l'élément ds. On obtiendra ainsi pour le lieu des points G et H des arcs tels que KGD, LHF.
Cela posé, la quantité U' correspondant au point m sera mesurée par l'aire KGHL, comprise entre la normale à la clef et la normale en m. On formera le Tableau de ces valeurs pour tous les points de division m de la courbe.
Remplaçons, dans les expressions (/) de /Wq et /Wj, M' par sa valeur [g) ; posons
USAGE BB L'ÉPURB DE MÉRT. l53
et nous aurons
/w, = Mi «1 4- f*i .
Mettons ces valeurs dans les expressions de Q et L [formules (7) et (lo)]; nous obtiendrons
f*i — f*o - + 2flET ^- i? '
(II) ri^,,
La valeur de M est donnée par l'équation (4); remplaçons-y L par la valeur précédente, M' par sa valeur [g) y et il viendra
(12) M rir — M" -h Z"a7 4- Qz — Q -i — Î-"
En faisant x =0 dans cette dernière équation , on obtient, pour la valeur Mo du moment M dans la section normale à la clef,
Zi
En y faisant x == a, on retombe sur la valeur (11) du moment M, désignée par L dans la section normale aux naissances.
L'épure de Méry servira à déterminer les valeurs de M'', moment de l'aire KGHL par rapport au point O. Ce moment est égal à la somme des moments par rapport au même point des différentes parties de la pièce.
La même épure fournira les éléments des intégrales fioy [jLi qui entrent dans les expressions (11). A l'aide de ces
l54 CHàPITBB 1Y. — PIÈCES DB FOEHB QUELCONQUE.
éléments, on calculera les intégrales par la formule de Thomas Simpson, indiquée au n^ 49. Ces intégrales sont au nombre de cinq. Leurs moitiés, que Ton obtient en remplaçant la limite inférieure x = — a par a: = o, peuvent leur être substituées, conformément à Tobservation du n® 39. Conservons les mêmes lettres Zq^ z^, ... pour représenter ces moitiés, et nous aurons
Cds
Po-j^ — ï ^^'
pi= / — j — 2«^»
§ III. — Exemple de Tapplication de la méthode précédente.
Appliquons la méthode que nous venons d'indiquer à la voûte qui nous a déjà servi d'exemple dans le n® 50.
Les données qui serviront à tracer l'épure de Méry sont les suivantes :
Corde de l'arc d'intrados il' z=i i5i ,oo
Flèche de l'arc d'intrados f ::= 12 ,3o
Épaisseur de la voûte à la clef ie =1 2,00
Épaisseur de la voûte aux naissances ie' z=: 4»^®
Épaisseur proportionnelle à la charge à la clef. . . Eq = 2,3o Épaisseur proportionnelle à lacharge aux naissances Ej = 6,00
USA6B DE l'ÉPURB DE HÉRT. l55
Les opérations numériques effectuées dans le n« 50 seront remplacées en partie ici par des opérations graphiques. Traçons sur l'épure {fig* 12), à l'échelle de o, oo5 = 2^, les courbes d'intrados, d'extrados et de fibre moyenne. Ces courbes sont ici des arcs de cercle, mais pourraient avoir une forme quelconque, anse de panier, ellipse, etc., sans qu'il y eût rien de changé dans la méthode. Traçons ensuite la courbe limitant les épaisseurs proportionnelles aux charges; soit AB cette courbe. Menons aux points ii^Z^ ^j 5 eX.6 AeXdi fibre moyenne les normales dont les angles avec la verticale croissent de 3^ en 3°. Nous adoptons cette division, qui nous a déjà servi dans l'application du n° 50 et qui correspond à des valeurs de la variable s, qui est la longueur de l'arc, croissant en progression arithmétique, ainsi que l'exige l'application de la formule de Thomas Simpson. Si la fibre moyenne n'était pas un arc de cercle, il faudrait donc partager la courbe en arcs de longueur constante, en sorte que les angles des normales aux points de division avec la verticale croîtraient de quantités inégales . Mesurons les longueurs des normales comprises entre l'arc d'intrados et la courbe AB, et inscrivons-les dans la deuxième colonne du Tableau cî-après. Dans ce Tableau, les nombres de la colonne 6 doivent être multipliés par io4oo pour représenter des kilogrammes. Ce nombre est le produit de la largeur du pont L'= 4™>oo psir 1^ poids 7r= 2600^^ du mètre cube de maçonnerie. Le dernier nombre de la colonne 6, qui représente le poids II = ZJ^ de la moitié delà construction,
est
Les nombres de la colonne 7 sont les bras de levier y des poids AZ'' mesurés sur l'épure.
l56 GHàPITRB IT« — PIÈGES DB FORHB QUELCONQUE.
La valeur de Q déduite des valeurs de pto> j^o -^o» ^o ^2 obtenues à Taide du Tableau doit être multipliée par le même facteur 10400, pour exprimer des kilogrammes; cette valeur est
' Nous avions trouvé, pour la partie principale de la poussée, la seule qui entre dans la valeur précédente,
Qi=— 7732510^».
Ainsi la nouvelle méthode donne un résultat très-peu différent de celui que donne la première.
Calcul de L.
L = - M« — P« -4- Q/+ Mo,
Mq. ii5,6
— Ma — P«= le derniernombre delà col. 22. 9082
et, en multipliant par io4oo,
L = 63i4ooo^*«».
Nous avions trouvé pour L (§ III du n** 50)
USAGE BB l'épure DE MÊRT. l57
Le nouveau résultat en diffère assez sensiblement ; mais
il a été obtenu avec la valeur principale de Q, et nous
avions effectué les calculs du n° 50 avec la valeur complète
de Q. Du reste, une différence semblable dans la valeur
de L n'a pas une grande importance pour les valeurs de R,
ainsi qu'on le reconnaît aisément dans le cas actuel ( * ) .
La valeur Mo du moment M à la clef est, en kilogram-
mètres,
Mo = 1 202 ooo^«"*.
Les valeurs de la composante normale X sont données par la première équation (a), page 147. Nous les déterminerons graphiquement par le procédé suivant. Traçons à réchelle de \ millimètre pour une unité une horizontale AB {Jig. i3), égale à Q = 748. Élevons à l'extrémité B une perpendiculaire BG à cette droite, égale à P = 285,7. Portons sur cette perpendiculaire des longueurs Bi,-B2, B3, . . . , B6 égales aux valeurs de 7/' inscrites dans la colonne 6 du Tableau suivant. Les projections des longueurs Ai, A2, A3, . . ., A6, AC sur les directions des tangentes à la fibre moyenne aux divers points de division de cette courbe seront les valeurs cherchées de X. Pour effectuer ces projections, menons par un point quelconque D le faisceau des parallèles aux tangentes. Menons par le point A des perpendiculaires à ces droites, et par chacun des points de division de BC abaissons une perpendiculaire sur la parallèle portant le même numéro que ce point de division. Une restera plus qu'à mesurer sur chaque droite du faisceau D les distances des pieds des deux perpendiculaires qui lui ont été menées.
Les valeurs numériques ainsi obtenues pour X sont in-
(*) 11 n'en est pas toujours de même. Foir les n^'GO et suÎYants.
l58 CHAPITRE lY. — PIÈCES DE FORME QUELCONQUE.
scrites dans la colonne 27 du Tableau. Celles de M données par la formule (12) sont inscrites dans la colonne 29 : ce sont les différences des nombres des colonnes 22 et 28, augmentées de la quantité constante Mq = i i5,6. Les colonnes suivantes renferment les calculs relatifs à la détermination de w et R. Les valeurs de cette dernière quantité qui correspondent à Tintrados sont inscrites dans la colonne 35, et celles qui correspondent à Textrados dans la colonne 36. Ces valeurs doivent être multipliées par deux coeflicients pour représenter des kilogrammes. L'un de ces coefficients est le nombre 10400, par lequel doivent être multipliées les valeurs de X (colonne 17) pour exprimer des kilogrammes, et l'autre est la quantité 2L', par laquelle il faut multiplier la demi-épaisseur de voûte epour obtenir Taire Q de la section normale. Ce dernier coefficient doit être pris comme diviseur, en sorte que le coef- . ficient définitif des colonnes 35 et 36 doit être
io4oo io4oo
Enfin, en prenant un coefficient dix mille fois moindre, c'est-à-dire o, 1 3, les produits obtenus représenteront des pressions ou tractions par centimètre carré. Ces produits sont inscrits dans les colonnes 37 et 38.
La construction de la courbe des pressions, effectuée par la méthode exclusivement graphique de Méry, n'a d'autre but que de déterminer les distances w de la courbe au centre de chaque section. Or, il est plus exact de déterminer ces quantités par la formule w = — — > car, à moins
de tracer l'épure à une très-grande échelle, l'épaisseur de la voûte est toujours représentée par une petite longueur; or il est évident que plus cette longueur est petite, plus sont
USAGE DE l'épure DE MÊET. iSg
importantes ' les erreurs matérielles des opérations graphiques dans le tracé de la courbe des pressions. Les
valeurs delà quantité w = — y ^® calculent d'autant plus
rapidement que celles de M n'exigent que le calcul des produits Qz (colonne 28), car M^, est une constante et la quantité 7/'x — M'^a été calculée pour servir à la détermination de Q. Quant aux valeurs de X, elles ont été déterminées graphiquement, comme nous l'avons indiqué plus haut.
Il convient de remarquer que les valeurs des coordonnées X et z^ qui entrent dans les calculs du Tableau, sont généralement connues a priori sans qu'il soit nécessaire de les relever sur l'épure, car, pour tracer avec précision la courbe de fibre moyenne, surtout à une grande échelle, on déterminera le plus souvent la position exacte d'un certain nombre de ses points par le calcul de leurs coordonnées.
l6o CHAPITtB IT. — PIÈGES BB FOtMB QUELCONQUE.
IT
•tf
OB
