CHAPITRE VI
VOUTES ET ARCS SURBAISSÉS
69. Les équations fondamentales (i) du n° 25, démontrées dans le Chapitre P*^, peuvent recevoir une simplification importante dans le cas très-étendu des voûtes et arcs à intrados surbaissé. En efiet, la résultante Z des efforts tranchants dans une section quelconque est alors très-petite, et la résultante X des efforts normaux est à peu près constante et égale à Q. On peut donc faire alors dans les équations (i)],Z = o, X = Q, ce qui les réduit à
(2) d^x=(^ -hAdx — âqdz,
(3) d^z z=(:^-{-Adz-h ^qd.v.
yEil J
dans lesquelles 5y, âx, $z sont les variations relatives au point m {Jig* 21).
Soient Z'' la résultante des forces appliquées à la pièce depuis l'origine O jusqu'au point m, M'' le moment de cette résultante par rapport au point O, Mo la valeur du moment M pour la section à la clef.
224 CHAPITRE Vf.
La valeur du moment M pour une section quelconque est
[a) M = Z"ar — M" -+- Q3 4- Mo — Px — Z^ x.
Intégrons l'équation (i) depuis le poijit A jusqu'au point m ; nous aurons
Mettons cette valeur dans les équations (a) et (3), elles deviendront
^l^^ = {^,+-)dz + d^f |rf,.
Intégrons maintenant les équations (i) et (4) entre les deux extrémités de l'arc AB ; nous aurons
Or, en intégrant par parties, on obtient
VOUTES ET ARCS SURBAISSES
et les seconds membres des deux équations précédentes se réduisent à
El
ds^
en vertu de l'équation (5). Remplaçant M par sa valeur (a) dans les deux équations (5) et (6), elles deviennent
\ Qm 4- 2ûEt -h Q^j + Mo^i -+- f/j 1= o,
dans lesquelles les lettres Zq, z^, Zo, jioi (^< et m ont les valeurs suivantes :
C'ds
Pi
zds^
2^6 CHAPITRE YI.
On tire des deux équations (8)
f*i — fAo — ^- 2ûEt
Zj i -h m
(il) Mo = -Q^-^°.
Zq Zq
Substituons maintenant la valeur (a) de M dans l'équation (7); elle devient
dans laquelle X2 et m2 ont les valeurs suivantes :
C TJ'x — M" ^ iWj 1= I X as.
La résultante X des eflforts normaux dans une section
quelconque passant par le point m est donnée par Téqua-
tion
X = Q cos« — Z"sinft),
(ù étant l'angle que la tangente à la fibre moyenne au point m fait avec l'axe des x, La quantité M donnée par l'équation (a) est le moment de cette résultante par rapport au centre m de la section. Si donc on désigne par u la distance de son point d'application au point m, u étant positif au-dessous de l'arc, on aura
L'effort normal R par unité de surface en un point quel-
VOUTES ET ÀRGS SURBAISSER. 227
conque de la section normale, dont la diclance à l'axe mené par le point m perpendiculairement au plan de la figure est désigné par ç', sera donné par l'équation suivante :
p2 étant le carré du rayon de gyration de la section normale en m ou le rapport - •
Dans le cas d'une pièce à fibre moyenne parabolique de section constante et où la charge est répartie uniformément suivant la corde, les intégrales (9) se calculent immédiatement.
70. Lorsque la fibre moyenne est circulaire, la section constante et que la charge par unité de longueur de l'arc va en croissant de la clef aux naissances, suivant une loi
représentée par la fonction de w, -[A-t- B(i — cosw)], où
r est le rayon de l'arc, A et B deux coefficients constants, en sorte que les valeurs de Z/^ et M'' en fonction de o) soient données par les équations suivantes :
Z" = Aw 4- B ( w — sinw),
M"=rA I — coswH-''B ^^ '-^
les intégrales (9) deviennent
2i = j A, zt = j A',
