Interpréiatl^n ^temétrique des résvltets

Nous allons chercher à interpréter géométriquement ces résultats.

L'ellipsoïde d'inertie du système pour le point rapporté à ses axes principaux 0<r, Oy, Oz a pour équation :

(1) A;i:' + By*H-G3r'=l.

Les coordonnées x\ y\ z' du point L où Taxe instantané de rotation 01 rencontre cet ellipsoïde sont, en désignant par / la longueur OL ; / cos a, / cos ^, / cos y ou bien

Mais, le rayon vecteur 0L=/ de Tellipsoîde est l'inverse de la racine carrée du moment d'inertie I du système par rapport à Taxe 01 ; on a donc

VAco8»a + Bcos«p + Ccos«7 VAp« + B^« + Cr« V^

D'où

Par conséquent, la vitesse angulaire de la rotation du système est proportionnelle au rayon de F ellipsoïde d'inertie dirigé suivant taxe instantané autour duquel elle s'effectue.

Menons au point L (a:\ y\ z') la normale à l'ellipsoïde d'inertie ; les cosinus directeurs de cette normale seront proportionnels à Ax', By', Ça' ou, puisque - est constant, à A/>, B^', O.

Or, la ligné 0K= A* a pour projections s;ur les axes précisément les longueurs A;?, B^, Cr ; ses cosinus direcleurs sont tfinsi les mêmes que ceux de la normale en L à Tellipsoïde, laquelle est parallèle k OK ; le pian mené par le point perpendiculairement à OK est parallèle au plan tangent à Tellipsolde en L. Donc, puisque OK a une position fixe dans l'espace, il en est de même du plan qui lui est perpendiculaire. Ce plan est, on peut le remarquer en passant, celui du maximum des aires, et il coïncide avec le plan diamétral de Tellipsolde d'inertie, conjugué à la direction de Taxe instantané de rotation.

Projetons OKsur la direction de 01, soit t l'angle de ces deux directions, la projection k cos i est la somme des moments des vitesses par rapport à 01. Le moment d une de ces vitesses étant

(3" équation, page 277)(i>r% la somme est wl ou -, nous aurons

ainsi

Oi . u

(5) k cos i= - ou * = „ ^ ' /- i*cosi

Désignons enfin par ^ la dislance du point au plan tangent à Tellipsoïde d'inertie en L, cette distance, étant portée sur OK, est la projection sur cette direction du. rayon vecteur/, et nous avons encore

(6) i = l coîi i=Y =^ = consi.

kl ^.

Ainsi, le plan tangent à T ellipsoïde d inertie, inenè à F extrémité du rayon qui coïncide avec l'axe instantané de rota" fion, conserve une position fixe dam repace.

L'ellipsoïde d'inertie du système, pour le point 0, est donc, pendant toute la durée du mouvement, tangent à un même plan fixe, et comme son déplacement élémentaire est, à chaque instant, une rotation autour d'un axe passant par le point de contact, on peut dire qu'il roule sur ce plan tangent.

Si la rotation s'effectue autour d'un des axes principaux de cet ellipsoïde, c'est-à-dire autour d'un axe principal d'inertie du système par le point 0, l'axe instantané de rotation étant alors porpondîrnlaire au plan langent, le point de contaol ne

i 2. - SYàTKMKS LNVAHlABLIiS 301

se déplacera ni sur ce plaa ni sur reilipsoîde ; le syslèmc continuera donc à tourner autour de ce même axe. C'est ce que nous avons déjà trouvé plus haut (n"^ 146) el qui a valu aux axes principaux d'inertie la dénomination d'axes permanents de rotation.

Le plan invariable, ou du maximum des aires, est alors perpendiculaire à Taxe de la rotation.

Dans le cas général, le mouvement du système qui a un point fixe peut donc être assimilé au roulement de son ellipsoïde d'inertie, par rapport à ce point fixe, sur un plan également fixe dans Fespace. Poinsot, qui a découvert cette remarquable propriété de l'ellipsoïde d'inertie, a donné le nom de /;o/oe]{/e au lieu des points de contact sur Tellipsoïde el celui A' herpolocUe au lieu des points de contact sur le plan fixe. Ces deux courbes roulent l'une sur l'autre pendant le mouvement du système ou de son ellipsoïde d'inertie, et elles peuvent être considérées con^me les bases des deux cônes ayant leur sommet au point fixe el dont l'un, celui de la polodie, lié au système mobile et à Tellipsoïde d'inertie, roulerait sur l'autre, celui de Therpolodic, lié au plan fixe.

La polodie, lieu des points d'un ellipsoïde où le plan langent est à une distance constante S de l'origine, est une courbe fermée (qui peut se réduire à deux ellipses ou à un cercle) qui entoure le sommet du petit axe ou celui du grand axe suivant que la distance S est plus petite ou plus grande que l'axe moyen de l'ellipsoïde.

L'herpolodie est une courbe dont la concavité regarde toujours le pied de la normale abaissée du point fixe sur le plan où elle est tracée. Cette courbe ne peut avoir ni points d'inflexion, ni rebroussements. Lorsque la polodie se réduit à une ellipse, elle est une spirale ayant pour point asymptotique le point fixe dont on vient de parler.

On pourra consulter sur ce sujet un mémoire de M. le comte de Sparre publié en 1885 dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles ; M. Mannheim a traité la question d une façon purement géométrique dans les Comptes-rendus des séances de l'Académie des sciences des 6 et 13 avril 1885.

TROISIËMË PARTIE