LOIS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES

SOMMAIRE

1 1.-- Systèmes quelconques: 128. Généralités. — 1'^. Vitesse et accélération du centre de gravité. ~ 190. Déplacements et vitesses translatoires et non-translatoires. — 131. Accélérations réciproques. — 182. Expressions des composantes de l'accélération moyenne. — 183. Relations entre les vitesses et les accélérations. Premier théorème général.

— i84. Second théorème général. —135. Troisième théorème général.

— 186. Principe de la conservation des aires. — 137. Systèmes à liaisons. — 138. Equations de liaisons. — 180. Accélérations de liaisons. — 140. Assimilation h un système libre.

2 2. — Systèmes invariabtes: 141. Translation. — 142. Rotation autour d'an axe. — 148. Expression des projections et des moments de la vl> tesse et de Taccélération d'un point quelconque. — 144. Somme des projections et des moments des accélérations de tous les points. — 145. Discussion. Loi du mouvement. ~ 146. Axes permanents, axes naturels de rotation. — 147. Système dont deux points sont assujettis à rester fixes. — 148. Conditions pour que les deux points restent naturellement fixes. — 149. Condition pour que les accélérations de tous les points aient une résultante unique. —150. Centre de percussion. — loi. Pendule composé. — 152. Rotation autour d'un point fixe. — 153. Projections, sur les trois axes mobiles, de l'accélération d'un point. — 154. Equations d'Euler.— 155. Définition de la position des axes mobiles. — 156. Autre démonstration des équations d'Euler. — 157. Application au cas où les sommes des moments des accélérations extérieures, par rapport au point fixe, sont nulles. — 158. interprétation géométrique des résultats.

tts. Générftlitéa. — La position dans Tespace d'un système de points est déterminée, si l'on suppose trois axes rectangulaires fixes, par les trois coordonnées jt, y, z de chacun

de ces points. Si le système est au repos, ces coordonnées suffisent pour en faire connaître Tétat.

Si le système est en mouvement, il y a à connaître, outre la position de chaque point, la direction et le sens de son déplacement ainsi que la rapidité avec laquelle ce déplacement s'effectue, c'est-à-dire la vitesse de ce point, laquelle est déterminée pour

chacun par ses trois composantes ou projections — >—,—•

Si n est le nombre des points, la connaissance des 3n coordonnées a?, y, z^ et des 3;i composantes des vitesses constitue la définition de Vétat du système àTépoque considérée.

Les 6n quantités, savoir : 3w coordonnées a:, y, z, et 3« composantes de vitesses — » t ♦ t » s'appellent les éléments sta-

fU dt at * *

tiques. Leur connaissance est nécessaire pour déterminer l'état du système à chaque instant.

Si nous cherchons à envisager la manière dont ces éléments varient avec le temps, c'est-à-dire à trouver la loi du mouvement, il est nécessaire que nous connaissions \qs accélérations de chacun des points ou, ce qui est la même chose, leurs composantes suivant les trois axes exprimées par les dérivées se-

condes — ♦ t^ > j", des coordonnées par rapport au temps.

De même que, pour un point isolé, la connaissance de l'accélération en fonction du temps, jointe à celle de la position et de la vitesse initiales de ce point, nous a suffi à déterminer la loi du mouvement de ce point, de même, pour un système de n points, la détermination du mouvement exigera, outre la connaissance des 6n éléments statiques, à une époque quelconque considérée comme initiale, celle des 3n composantes de l'accélération en fonction du temps.

Ces 3n quantités définissant le mouvement du système en sont appelés les éléments dynamiques.

Le problème à résoudre consiste donc, connaissant Vétat mitial d'un système et ses éléments dynamiques, à exprimer en fonction du temps les 6n éléments statiques, de manière à ce que Tétat du système soit connu à chaque instant. Ce problème n'est pas susceptible d'être traité d'une manière gêné*

raie ou, plutôt, sous sa forme géaérale il n'est que la répétition de n problèmes analogues pour chacun des points.

Nous nous bornerons à établir, entre les diverses quantités entrant dans les calculs, des relations utiles destinées à le simplifier.

i99. Witense et aeeélération du centre de irravlté.—

Considérons un système d'un nombre quelconque, n, de points

rriiy ^Ws, W3 (fig. 117) qui se sont déplacés d'une manière quelconque dans l'espace, fUi étant venu en m\, m, en m',, etc. Soit le centre des moyennes distances de ces a|,^^ points dans leur position primitive et 0' ce

\^ même centre après leur déplacement. Si

^ nous considérons^ d'une part, la somme

Fig. 117 géométrique 0W| (+) Wi m\ de la ligne

Omi joignant le centre des moyennes distances primitif à l'un quelconque mt des points et du déplacement nii m\ de ce point ; d'autre part, la somme géométrique 00' (+) 0'm\ du déplacement 00' du centre des moyennes distances et de la ligne 0' m' joignant ce centre, dans sa nouvelle position, au point déplacé, ces deus sommes géométriques sont évidemment égaies et représentées toutes deux par la ligne Om\ joignant le centre primitif des moyennes distances à la position définitive du point. Écrivons cette égalité pour tous les points du système :

i . Ow,(-+-)m.m'»(=)00'(+)0'm', ,

(1) j . Om.(H-)t»,w'.(=)00'(-f)0'm'. ,

additionnons géométriquement membre à membre ces équipoUences et observons que, par la définition même du centre des moyennes distances,les sommes 0mi(+)0m,(-t-)0»î3 (+). . . etOWi(+)0'm', (+)... sont identiquement nulles, il viendra

(2) nii m\ {-+•) m, m\ (+) m, m\ (+) . . . . = n. 00'.

Par conséquent, le déplacement du centre des moyennes di$^

tances d'un système de points est égal k la somme géométrique des déplacements de ces points, divisée par leur nombre, ou à la moyenne des déplacements des points du système.

La démonstration analytique de ce théorème se fait immédiatement en écrivant les valeurs des coordonnées du centre des moyennes distances avant et après le déplacement.

Le centre de gravité d'un système jouit de la même propriété, diaprés ce que nous avons dil de son assimilation au centre des moyennes distances.

Ce qui précède est vrai quel que soit le déplacement des divers points et Test encore lorsque les déplacements deviennent infiniment petits et qu*on les rapporte à l'unité de temps, c'est-àdire qu'on les divise par le temps infiniment petit pendant lequel ils se sont effectués. Il en résulte que la vitesse du centre de gravité dun système de points est égale à la moyenne des vitesses de tous les points, c'est-à-dire à la somme géométrique des vitesses de tous les points divisée par leur nombre.

L'accélération d'un point n'est autre chose que la vitesse gagnée par ce point, rapportée à l'unité de temps. Si Ton considère les vitesses de tous les points, et celle du centre de gravité à deux époques infiniment voisines^ la vitesse du centre de gravité, à la fin de cet intervalle de temps sera, d'après ce qui vient d'être dit, égale à la ?i° partie de la somme géométrique des vitesses de tous les points au même instant, vitesses dont chacune se compose de la vitesse à l'instant précédent et de la vitesse gagnée pendant l'intervalle de temps. La vitesse considérée, du centre de gravité, sera ainsi la«° partie de la somme géométrique des vitesses des points au commencement de l'intervalle de temps, et des vitesses gagnées, c'est-à-dire qu'elle sera égale à la vitesse primitive du centre de gravité augmentée de la n^ partie de la somme géométrique des vitesses gagnées. L'accélération du centre de gravité est donc égale à la w° partie, ou à la moyenne des accélératiotis de tous les points.

Il est d'ailleurs superflu de faire remarquer que, si le système de points peut se diviser en plusieurs groupes, on pourra, dans l'évaluation de la vitesse ou de l'accélération du centre de gravité de l'ensemble du système, remplacer chacun des groupes partiels par sou centre de gravité^ ù, la couditiou d'affecter

§ 1. — SYSTKMKS QUELCONgUliS 257

la vitesse ou raccélération de ce centre de gravité parliel d'un coefficient proportionnel au nombre de points que renferme le groupe auquel il appartient ; ou bien, s'il s'agit d'espaces continus, volumes, surfaces ou lignes, comme ceux que Ton a considérés aux n**' 32 et suivants, d'un coefficient proportionnel à retendue de l'espace partiel dont le point considéré est le centre de gravité, ou plus généralement au nombre de points que contient cet espace.

Si, par exemple, l't, Vt, v,.... sont les vitesses, j„ y,, j\,, les accélérations des centres de gravité de ces groupes partiels composés respectivement de n^, n„ /t,... points, on aura, en appelant N = «i 4-^2 + ^3+.... le nombre total despoints'du système, V et J la vitesse et l'accélération de son centre de gravité :

(4) NJ (=) n, j\ {+)nj, (-+-) n,j, (+)....

ou bien en projetant sur trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz et en appelant X, Y, Z les coordonnées du centre de gravité de Fensemble^ a?i, yi, ^j, x,, ya,.... ou en général x, y, z celles des centres de gravité des divers groupes partiels :

^ dt dt * dt dt ^ dt dt '

Ces formules pourraient être déduites de celles qui expriment les coordonnées du centre de gravité du système, qui sont :

(7) NX=:2«jr, NY=i:Hy, i\Z=v:wz,

et qu*il suffit de difFérentier une ou deux fois par rapport au temps pour trouver celles qui viennent d'être écrites.

ISO. Déplaeementu et rHemuem tpanslatoires et neit

Iraniilatelpes. — Ce qui précède est susceptible d'une autre

258 CHAP. Vil. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. LOIS GÉNÉRALES

interprétation. Si mi, mt, m„...(fig. 118) sont toujours les positions initiales des points du système, ^>^\ m jn; 0, celle de son centre de gravité et

^ '^ \ 7 «w'i, m',, w,',.-*- 0' les positions de ces

ô' V' points -après le déplacement, menons,

j^^. ~..ai^ ^« par chacune des positions initiales des

\ / points, des lignes niim/, mjnft^^

V m^m^'y . . . équipollentes au déplacement

00' du centre de gravité et joignons ^*^* ***• les extrémités de ces lignes aux posi-

tions finales des points; c'est-à-dire amenons chacun des points de sa position initiale à sa position définitive en lui attribuant d'abord un déplacement équipollent à celui du centre de gravité que nous appellerons translatoire et qui serait celui que prendrait le point si le système tout entier était animé d'un mouvement de translation, puis un déplacement spécial à chaque point destiné à Famener à sa position définitive et qui sera son déplacement non translatoire. Chacun des déplacements totaux, mjn\y par exemple, sera la somme géométrique du déplacement translatoire mim"^ (=) 00' et du déplacement non translatoire m^'im'i. On a ainsi :

Faisons la somme géométrique de toutes ces équipoUences, nous aurons :

(8) m,w',(+)m,m',(+). ..(=)n.OO'(H-)m^m',(H-)mW.(H-). ..

ou bien, puisque d'après (2) le premier membre est égal au premier terme du second :

La somme géométrique des déplacements non-translatoires des points d un système est nulle.

Par un raisonnement analogue à celui qui précède, nous démontrerions de même que :

La somme géométrique des vitesses non-translatoires des points d'un système est nulle ;

La somme géométrique des accélérations non-translatoires des points d'un système est nulle ; en appelant vitesse ou accélération non-translatoire d'un point la différence géométrique de la vitesse ou de l'accélération de ce point et de la vitesse ou de Taccélération du centre de gravité.

Rapportons le système de points à trois axes de coordonnées rectangulaires, appelons x^, yi, Zj, x^^ ^sv ^^s coordonnées de ces points, X, Y, Z celles de son centre de gravité, «j, Vj, v,... V leurs vitesses, et v\yV\^v\.... leurs vitesses non-translatoires, c'est-à-dire les différences géométriques v\{=)Vi{ — )V, v',(=)v, ( — )V.... Représentons de même les projections de ces vitesses

, . da?, dy^ dz^ , . da^i difi dz'^

sur les trois axes par -r' T-' -r pour la vitesse Ui ; -rr ' "7"' ^7

^ dt dt dt ^ ^' dt dt dt

pour la vitesse v\f et ainsi de suite, les quantités dx\y dj/iydz\... sont les projections, sur les trois axes, des déplacements infiniment petits non-translatoires, et l'on a, évidemment :

dxi dX dxfi dyt dY dy'i dzi dZ dz't

It Tt'^lt * IF It'^'dt ' d7 '^'^'^

et de même pour tous les autres points.

Elevons au carré toutes ces équations, et additionnons-les membre à membre ; nous aurons, dans le premier membre la

somme de termes tels que( — j + ("r ) + (-r ) c'est-à-dire

la sommes des carrés des vitesses v* + t?," + v,"+ .... des divers points. Dans le second membre nous aurons d'abord les sommes analogues

'ir ^ Qï A^)' - m + m' + m.

(iX\

OU bien V pour la première, v'* pour la seconde, et, au total, n\*-\-v'*-{-v't* -f- «V +... ; et ensuite la somme des doubles

j ...„(« /(te', , (te', N , -rfY /dj'i djf, ' \

^ dt\dt ^ dt +-7*

260 CHAI*. Vn. - MOUVEMEiNT DES SYSTÈMES. LOIS GÊ.Ni^HALES

Or la somme géométrique des vitesses t''i(+)t'i(+)... étant nulle, d'après ce que nous venons de dire, il en est de même des sommes algébriques des projections de ces vitesses sur les

trois axes ; les parenthèses telles que l'ir + "T"* +••••) sont

donc égales à zéro, et disparaissent de la somme des seconds membres. Il reste ainsi

v,' + iV + c,' + ..,=n\' + tV + tV + t''/ +...

ou bien

La somme d^s carrés des vitesses de tous les points du systètne

est égale à n fois le catré de In vitesse du centre de gravité plus

a somme des carrés des vitesses non translatoires de ces points.

Cela peut se démontrer d'une façon beaucoup plus simple :

Dans chacun des triangles comme mim\m'\ nous avons

tV==V^-+-r/^ — 2V(xy..

Ecrivons toutes les autres égalités semblables et ajoutons membre à membre; la somme des produits géométriques — 2^y(X)v est identiquement nulle, d'après ce que nous avons dit plus haut (n° 5) des produits géométriques, puisque la somme géométrique des vitesses v est nulle. La somme de toutes ces équations se réduit ainsi à

^c' = n\' + :Zv\ c'est-à-dire à celle que nous venons de trouver autrement.

fSf. Aocélérations réeiproqtte«, — Si le système de points se réduit à deux, se mouvant sur une même droite, la vitesse moyenne ou Taccélération moyenne est la demi-somme algébrique des deux vitesses ou des deux accélérations indivi« duelles des deux points, c'est-à-dire leur demi-somme ou leur demi-différence selon qu'elles ont le même sens ou des sens opposés»

§ I. - SYSTÉMK5 OUELCONQl'KS 261

Si les deux accétéralions individuelles sont réciproques^ c'est-à-dire égales et directement opposées, l'accélération moyenne est nulle.

Imaginons un système d'un nombre quelconque de points dont les accélérations soient, pour chacun d'eux, la résultante d'accélérations réciproques à celles des autres points du sys* tëme ; c'est-à-dire que si l'on considère l'accélération de chacun des points comme décomposée suivant toutes les directions joignant ce point à tous les autres, les composantes des accélérations des points suivant les lignes qui les joignent deux à deux soient égales et directement opposées. Nous dirons que le système n a que des accélérations intérieures réciproques j et que par conséquent son accélération moyenne est nulle.

La vitesse moyenne d'un pareil système est donc ou nulle, ou constante en grandeur et en direction. Cette vitesse moyenne est toujours celle du centre de gravité du système, comme nous l'avons démontré plus haut.

Considérons maintenant deux systèmes de points n'ayant dans leur ensemble que des accélérations réciproques. Ce sera, par exemple, le système précédent divisé en deux grou* pes de points par une surface idéale quelconque. Désignons par A et B ces deux systèmes. Si l'on prend un point quelconque du système A, toutes les droites qui le joignent à tous les autres points peuvent être partagées en deux groupes : celles qui le joignent aux autres points du méime système A, et celles qui le joignent aux points de l'autre système B. Toutes les composantes de l'accélération de ce point, dirigées suivant ces droites et à chacune desquelles correspond, sur la même droite et à son autre extrémité, une autre composante d'accélération réciproque, seront de même divisées naturellement en deux groupes : les composantes dont les réciproques sont celles des points du même système, et les composantes dont les réciproques sont celles des points du système B. Nous appellerons les premières intérieures et les autres ez/erieures; et cette délinition s'appliquera à chacun des deux systèmes.

Nous avons donc, en totalité, trois groupes de composantes d'accélérations : les accéléralîons întériouros du système A,

les accélérations intérieures du système B et les accélérations extérieures à chacun des deux systèmes. Chacun de ces groupes se compose d'accélérations réciproques, c'est-à-dire dont la somme totale est nulle.

Il en résulte, d'abord, que l'accélération moyenne de chacun des systèmes, A ou B, est la même que si les accélérations extérieures existaient seules. Et ensuite, que les occ^/erations moyennes de ces deux systèmes sont directement opposées et en raison inverse du nombre de leurs points.

Nous appellerons accélération moyenne de A vers B Taccération moyenne du système A, due aux composantes d'accélération réciproques aux points du système B, et inversement. Il est bien entendu que cette dénomination : accélération de A vers B, ne préjuge en rien le sens réel de Taccélération dont il s'agit, qui peut être dirigée de A vers B ou dans le sens directement opposé.

189. Expressions des coniposaiites de raecélération moyeiiiie. — Considérons maintenant^ abstraction faite du système B, le premier de ces deux systèmes A. Les composantes d'accélération de ses divers points se divisent en deux groupes, les accélérations intérieures et les accélérations extérieures. Désignons par J», Jv, Jx, les composantes, suivant les trois axes, de l'accélération moyenne J de ce système, c'està-dire les quotients, par le nombre des points du système, des sommes algébriques des projections sur les trois axes de chacune des composantes extérieures des accélérations de ses points. Soient a;, y^ z les coordomiées de l'un quelconque des

• dx du dz • •■ 1 . 11*

pomts;-^, ^, jT les projections sur les trois axes de lavi-

, . d*x d^y dH , . . ,

tesse V de ce point, -^ , -^^ , -rr^ les projections de son accélération/, et soit N le nombre total des points. D'après ce qui vient d'être dit, l'accélération moyenne du système est la même que si les accélérations extérieures existaient seules, ce qui nous donne les trois équations

lesquelles résultent d'ailleurs évidemment de ce que les composantes intérieures d'accélération étant réciproques, leurs projections sur une axe quelconque sont égales et de signe contraire et disparaissent des sommes qui constituent les premiers membres ; sommes qui se réduisent ainsi à celles des projections des composantes extérieures d'accélération, c'està dire aux projections de l'accélération moyenne du système multipliées par le nombre des points.

Si d'ailleurs, dans le système A, on prend un groupe d'un nombre rii de points et le centre de gravilé de ce groupe dont les coordonnées seront Xi, y^, z^^ puis un autre groupe de n, points dont le centre de gravité aura les coordonnées x^^y^^z^^ etc., de manière que le nombre total N des points du système soit égal à la somme ni + nj-f-,..; la somme des projections

T^ sur l'axe des x des accélérations des points du premier groupe sera, d'après ce qui a été démontré plus haut, égal à

ni -^ ; demème,lasommedesprojectionsdesaccélérations des

points du second groupe sera n^ -^, et ainsi de suite ; de sorte

que si, en général, on désigne par Xy y, z, non plus les coordonnées d'un point, mais celle du centre de gravité d'un groupe de 71 points, on aura les trois équations :

(2) S«^=NJ. , Sn5.=NJ, , S»^=NJ,.

Appelons /« la résultante, pour un point quelconque, de ses composantes extérieures d'accélération, cette résultante, ajoutée géométriquement à celle des composantes intérieures d'accélération du même point, donnant son accélération j ; nous venons de dire que l'accélération moyenne J était la même que si les composantes d'accélération extérieures existaient seules,nous avons donc l'équipoUence NJ(=)SsJ« qui équivaut aux trois équations suivantes dans lesquelles /«^/«.y/^,! désignent les projections, sur les trois axes, de l'accélération jt :

(3) NJ:p = S;Vx , NJj,=2;.,j, , NJ,=S;\^ •

504 CliAP. VII. — MOUVExMENT DES SYSTÈMES. LOIS GÉNÉRALES

ou, en subslituant :

( i; s » — = S;,,^ , 2 n -^= S/,,, , Sn - = S;,,.

f SB. Belatiens entre leu wliemmem et les aeeélératlens» Premier tbéorème général. — Evaluons maintenant la vitesse moyenne V du système à une époque quelconque, V« étant cette vitesse à Tépoque / = 0. L'accélération moyenne, qui est celle du centre de gravité du système, étant désignée par J, représentons par i, la projection de J sur la direction de V, ou sur la tangente k la trajectoire du centre de gravité, nous aurons, en appliquant le théorème du n'^Ti au mouvement du centre de gravité, dont la vitesse est V, et Taccélération tangentielle J, :

3 s dt .

mais Jj, projection sur la direction de V de Taccélération moyenne, est égale au quotient, par le nombre N de points du système, de la somme des projections, sur la même direction, de toutes les accélérations y, ou, ce qui est la même chose, des accélérations extérieures y^* Si donc, pour chaque point, nous appelons yV, la projection, sur la direction de V de l'accélération extérieure je, nous aurons NJ, = S/<..« ce qui, en substituant dans Téquation précédente, donne

(2) V - V. = I f S;V. dt = ~ll r je., dt .

Si, pour un mtewalle de temps quelconque^ on fait^ pour chacun des points du système^ la somme intégrale des produits, par les éléments du temps, de la projection de son accélération extérieure sur la direction de la vitesse moyenne^ la moyenne de ces sommes, pour tous les points du système, sera égale à F accroissement^ pendant le même intervalle de temps, de la vitesse du centre de gravité,

une. Second théorème «rénéral. — Au lieu de projeter

g 1. -^ SYSTÈMES QUELCOiNQUES 265

sur la direction de la vitesse moyenne Y, projetons sur un axe Ox quelconque et appelons Wxy V^^^les projections, sur cet axe, des vitesses moyennes V et Vo, et de même J», jé^ celles des accélérations J et je. Nous aurons toujours NJa.= ^V«> ^^ si nous appliquons, au mouvement du centre de gravité, le second théorème général du n"" 76, nous aurons

L'accroissement, pendant un temps quelconque, de la projection sur un axe quelconque de la vitesse du centre de gravité dun système est égal à la moyenne des sommes ijilégrales, pendant le même temps, des produits, par les éléments du temps, des projections, sur le même axe, des composantes extérieures des accélérations des points.

Le théorème précédent peut être rattaché à celui-ci, en prenant, à chaque instant, pour axe de projection, la direction même de la vitesse moyenne du système.

Appelons t' la vitesse d'un point quelconque, Vx, tv« ^^^ projections sur Taxe des x de cette vitesse v et de sa valeur v^ à Tinstant initial, nous avons, d'après le n® 129 :

ou bien, en substituant dans Téquation précédente, multipliée par N :

2 t?x — i: Vo.a; = - / hx dt .

Si, comme plus haut, nous avons divisé le système en groupes contenant respectivement Ui, n^, n^,.... points et si nous

appelons ^,, Xi, x^ les abscisses des centres de gravité de

ces groupes respectifs, les projections sur Taxe x^ des vitesses

« . dxà dx^ dxn

de ces centres étant -7^» -7^> V-j---- nous avons aussi :

dt ' dt dt^ dxi dxi dxn ^ dx

et, en appelant en général | — j la valeur de — pour / = 0, nous pourrons écrire

L accroissement, pendant un temps quelconque, des produits, par leurs nombres de points respectifs, des projections sur un axe quelconque des vitesses des centres de gravité des divers groupes qui composent le système, est égal à la somme des intégrales, pendant le même tefnps, des produits, par les éléments du temps, des projections, sur le même axe, des accélérations extérieur es de tous les points.

On aurait pu déduire cette dernière équation de celle (2) du n^ 76 en récrivant pour chacun des points du système,

dt

et en additionnant toutes ces équations. Le premier membre aurait donné St?» — Svo,», c'est-à-dire, sous une autre forme, le premier membre de (3) ; en faisant la somme des seconds membres, on aurait eu la somme des produits, par les éléments du temps, des projections /«, qui se réduit bien, puisque les accélérations intérieures, réciproques, ont des projections deux à deux égales et directement opposées, à la somme des produits, par les mêmes éléments, des projections ye,^; des accélérations extérieures.

tS5. Troisième tliéorème néaéral. — Raisonnons de la même manière en écrivant, pour chacun des points du système en mouvement, l'équation (4) du n"* 77 :

(1) M^v — M^v = I ^zjdty

et additionnant toutes ces équations. Nous aurons, dans le premier membre, les sommes algébriques des moments des vitesses, par rapport à Taxe z, à la fin et au commencement de rintervalle de temps considéré. Dans le second membre, nous

aurons la somme des moments des produits jdt ; or, pour un point quelconque, le moment de son accélération j est la somme des moments de ses composantes, c'est-à-dire la somme des moments des composantes intérieures et des composantes extérieures. Lorsque nous ferons la somme de ces moments pour tous les points, les composantes intérieures, deux à deux égales et opposées, auront des moments égaux et de signe contraire et disparaîtront du total qui se réduira à la somme des moments des composantes extérieures. Nous aurons ainsi :

(2) SMx « — 2ilr V. = 2 r Mi dX.

Si, pour un intervalle de temps quelconque, on fait, pour chacun des points du système, la somme intégrale des moments par rapport à un axe des produits, par les éléments du temps y des composantes extérieures de l'accélération de ce point, la somme de toutes ces intégrales sera f accroissement^ penda7it le même temps, de la somme des moments, par rapport au même axe, des vitesses de tous les points du système.

La direction z étant quelconque, si Ton écrit la même équation pour deux autres directions rectangulaires x, y^ concourant en un point 0, le système des trois équations ainsi obtenues pourra être résumé par TéquipoUence :

(3) SffM, f) (— ) S«Mo Vo (=) S» r Mo/i dt

qui pourrait être également traduite en langage ordinaire. Prenons l'équation (2)

SMxt?— SMxt?,= S f^xl

édt

et appliquons-la à un intervalle de temps infiniment petit dty ce qui revient à différentier ses deux membres par rapport au temps, elle deviendra :

2()S CIIAP. Vil. — MOrVKMENT DES SYSTÈMES. LOIS GÉNÉRALES

Portons, sur l'axe des 5, à partir d'un point pris pour origine, une ligne Omz représentant SM^t; ou la somme des moments des vitesses par rapport à cet axe, la vitesse de Textrémité de cette ligne représentera la somme des moments, par rapport au même axe. des accélérations extérieures au svstëme. Et en raisonnant comme nous l'avons fait au n*^ 77, prenant le moment résultant des vitesses par rapport au point 0, et le moment résultant des accélérations extérieures par rapport au même point, nous aurons, entre ces deux lignes, la relation suivante :

Le moment résultant, par rapport à un point fixe quelconque, des accélérations ectérieures d'un système de povits en mouvement est équipollent à la vitesse de F extrémité de la ligne qui représente le moment résultant, par rapport au même point, des vitesses de tous les points du système.

Ce théorème pourrait êlre déduit, simplement, de la différentiation, par rapport au temps, de l'équipoUence (3).

180. Prlneipe de la oonserwatlon des aires. — Nous pouvons aussi, conformément à ce que nous avons fait au n** 78, désigner par t?A,z la vitesse aréolaire de la projection d'un point quelconque sur un plan perpendiculaire à la direction z, puis, dans les équations qui précèdent, mettre 2v^^z au lieu de MzV, et modifier en conséquence l'énoncé des résultats.

Supposons que le système en mouvement soit tel que la somme des moments des composantes extérieures des accélérations de ses points soit constamment nulle par rapport à un point déterminé C de l'espace. Cela veut dire que toutes ces composantes extérieures ont une résultante nulle ou passant par le point C, et ce fait se produira, en particulier, lorsqu'il n'y aura que des accélérations intérieures au système. Nous aurons alors, le second membre de l'équipoUence (3) étant

nul :

H^Mç V (=) «irMo t-o (=) const.

Le moment résultant des vitesses de tous les points du

g 1. - SYSTÈMKS gl KLCONuUKS 2^9

système par rapport au poiut C sera coaslant en g'raadeur, direclioa et sens.

Si Ton considère un axe quelconque passant par le point C, le moment résultant des vitesses par rapport à cet axe sera la projection, sur sa direction, du moment résultant par rapport au point C, il sera donc aussi constant. Et de tous les axes passant par le point G, celui dont la direction coïncidera avec celle du moment résultant par rapport à ce point sera celui par rapport auquel la somme des moments des vitesses sera la plus grande.

Si la somme des moments des vitesses par rapport à uu axe est constante, il en sera de même, d après ce qui vient d'être dit, de la somme des vitesses aréolaires, ou, ce qui revient au même, la somme des aires décrites par les projections des points sur un plan perpendiculaire à cet axe croîtra proportionnellement au temps. C'est le principe de la conservation des airesy et Ton peut Ténoncer ainsi : -

Lorsqu'un système de points est en mouvement de telle manière que lès composantes extérieures de leurs accélérations aie^it une résultante unique passant constamment par tin point fixe^ la somme des aires décrites dans T unité de temps par les projections sur un plan quelconque des rayons vecteurs joignant les points mobiles au point fixe est constante.

t4«. Plan du ma!iLiniain des aires. — Parmi tous les plans que Ton peut mener dans toutes les directions de Tespace, celui qui serait perpendiculaire à la direction du moment résultant des vitesses par rapport au point C donnerait, à la somme des vitesses aréolaires, une valeur plus grande que tout autre, puisque Taxe perpendiculaire à ce plan serait celui par rapport auquel la somme des moments des vitesses serait la plus grande.

Ce plan porte le nom de plan du maximum des aires. Il existe, et sa direction perpendiculaire à celle du moment résultant des vitesses, qui est constante, est invariable^ dans toQt système en mouvement satisfaisant à la condition qui

aîO CHAP. VII. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES. LOIS GÉNÉRALES

vient d'être énoncée en ce qui concerne les composantes extérieures des accélérations de ses points.

Le système solaire, dont les dimensions sont relativement petites par rapport aux distances qui le séparent des autres astres, peut être considéré comme tel : les composantes extérieures des accélérations de ses points, sensiblement égales et parallèles entre elles, ont une résultante qui passe toujours à très peu près par son centre de gravité. Pour ce système, le plan invariable ou du maximum des aires prend le nom de plan de Laplace.

tS9. Systèmes à, liaisons. — On dit qu'un système de points est à liaisons lorsque quelques-uns de ces points sont astreints à certaines conditions géométriques, qui sont ordinairement les suivantes :

1" Un ou plusieurs points peuvent être assujettis à rester absolument fixes, alors que les autres se meuvent.

2° Deux ou plusieurs points peuvent être astreints à rester à une distance invariable les uns des autres.

3"^ Un point peut être assujetti à parcourir une trajectoire déterminée, ou, comme on dit, à se mouvoir sur une courbe fixe.

4'' Ou bien sur une surface fixe.

Ces quatre genres de liaisons étant de beaucoup les plus usités, c'est à eux que nous bornerons notre étude.

tSS. Ei|iiatioiis de liaisons. — Chaque liaison se traduit géométriquement au moyen d'équations où figurent les coordonnées du point assujetti à la liaison, où peuvent figurer aussi celles d'autres points du système, et que Fou nomme équations de liaison.

Pour exprimer qu'un point reste fixe, il faut écrire que ses trois coordonnées x, y, z, sont constamment égales à trois quantités données a, 6, c. Ce premier genre de b'aison fournit donc autant de fois trois équations de liaisons qu'il y a de points assujettis à rester fixes.

Si deux points sont astreints à rester à une distance invaria«

8 1. — SYSTÈMES QUELCONQUES 27i

ble Tun de l'autre, cette condition s'exprime par une seule équation entre leurs coordonnées :

(a:, — x,y + (y, — î/,)' -+- {z^ — z.f = constante.

il y aura donc autant d'équations de liaisons qu'il y aura de groupes de deux points assujettis à rester à une distance constante l'un de l'autre.

Pour exprimer qu'un point doit se mouvoir sur une courbe fixe, on écrira que ses coordonnées z, y, z satisfont aux deux équations de la courbe, ce qui donnera autant de fois deux équations de liaisons qu'il y aura de points assujettis à parcourir une trajectoire donnée.

Enfin, si un point doit rester sur une surfaxe fixe, les coordonnées de ce point doivent vérifier l'équation de la surface, ce qui fera autant d'équations qu'il y aura de points assujettis à cetter dernière condition*. • • . « .

Nous avons vu plus baut, en étudiant le mouvement d'un point, que ce mouvement est complètement défini lorsque l'on connaît, exprimées en fonction du temps, des coordonnées de ce point ou des composantes de sa vitesse, les trois composantes, suivant les trois axes, de son accélération. Les trois équations ainsi obtenues déterminent, par leur intégration, les coordonnées x,^, z du point en fonction du temps^ c'est-àdire la loi du mouvement.

S'il s'agit donc d'un système de n points entièrement libres, c'est-ànlire pouvant se mouvoir dans toutes les directions et indépendamment les uns des autres, il faudra (n** 128), pour en déterminer le mouvement, 3n équations entre les 3n composantes de l'accélération, les coordonnées, les composantes des vitesses et le temps.

Mais si le système comporte k équations de liaisons, c'est-àdire k relations nécessaires entre ces coordonnées^ il suffira de 2n — k relations entre les composantes d'accélérations et les mêmes quantités.

D est facile devoir que, dans un pareil système, les déplacements de tous les points ne sont pas arbitraires et qu'entre les 371 projections, sur les trois axes, des déplacements des

272 CHAF. Vil. — MOUVKMEM DES SYSTEMES. LOIS GÉNÉHALES

points, il existe, comme entre les coordonnées elles-mêmes, k relations nécessaires.

Soient, en effet,

les k équations de liaisons d'un système, ou les k équations nécessaires entre les 3n coordonnées de ses points, dont les

coordonnées sont désignées par (d:,, y,, 2j), {Xf, y^, ^j),

(xn, ynj ^h)* Prenons les différentielles totales des fonctions N, lesquelles doivent être nulles, puisque ces fonctions sont ellesmêmes constamment nulles, nous aurons k équations

dNi dNi dSi dSt . , , <^i , a

j-^ dx, + — ^ rfy, + — dsi H- — d^sH h t- ^3;»= ,

dNk . , dNfc , , d^k j , dyk dNk , ^

cki dyi •^^ ' d^i * ' djTi ' ' dzn

entre les Sn projections dxi, dy^^ dzi, dx^^.,... dz^^ des déplacements des points du système, de sorte qu'il n'y en aura que 3w — k d'arbitraires.

Si, en particulier, il s'agit d'un système invanable, nous avons vu que la condition d'invariabilité de forme équivalait à 3n — 6 relations entre les coordonnées de ses points ; k est alors égal à 3w — 6 ou 3« — k = 6. 11 suffit donc, pour déterminer le mouvement d'un système invariable, de six équations entre les composantes d'accélération de ses points et leurs coordonnées.

!••• Aecélération» de liaisons. --Nous avons étudié, dans le chapitre IV, (n**" 85 et suivants), quelques exemples de mouvements de points assujettis à des liaisons : par exemple astreints à rester sur une courbe ou une surface fixe. Nous avons imaginé, pour ramener cette étude à celle d'un point libre, d'ajouter à l'accélération qu'aurait le point s'il était libre, une nouvelle accéltration que nous avons considérée comuie duo ù lu présence de lu courbe ou de la surftu^c. Et

§ l. — SYSTÈMES (jLELCOiNQUtS ^73

nous avons vu que les trois composaiiles de celte nouvelle accélération, que nous avons appelée La.,Ly,Lr, ne pouvaient être arbitraires ; il faut, pour que le mouvement du point soit déterminé, une relation entre ces composantes lorsque le point doit parcourir une courbe donnée, et deux relations lorsqu'il doit se mouvoir sur une surface donnée.

Nous avons dit aussi, qu'en général, ces relations étaient définies par la direction relative de Y accélération de liaison L avec la courbe ou la surface. L'on admet souvent que Tacccélération L due à la courbe ou à la surface fait un angle droit avec l'une ou l'autre, mais quelle que soit l'hypothèse faite sur la grandeur de cet angle, il y a, dans le cas où le point parcourt une courbe fixe une seule relation, et lorsqu'il se meut sur une surface deux relations entre les composantes Lx, L^^, L;r, de l'accélération de liaison ; il reste donc, dans le premier cas, deux composantes, dans le second, une seule de ces compo* santés à déterminer.

Remarquons que le nombre de ces composantes restant à trouver est, dans chaque cas, égal au nombre des équations de liaison N, pour un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface.

Lorsqu'un point est assujetti à rester fixe, on peut de même considérer que cette condition sera satisfaite si l'on ajoute, h Faccélération que prendrait le point s'il était libre, une accélé*> ration de liaison L égale et directement opposée. Nous n'avons alors aucune indication sur ce que peut être cette accélération L, et ses trois composantes L^, Lj^, L. sont inconnues sans que nous puissions établir à prion entre elles aucune relation.

Or, l'obligation pour un point de rester fixe s'exprime par trois équations de liaisons, il y a donc encore égalité entre le nombre des composantes d'accélération inconnues et celui des équations de liaisons.

Enfin, pour deux points assujettis a rester à dislance inva*riable, ce qui s'exprime par une seule équation de liaison, nous n'aurons aussi à introduire qu'une seule composante indéterminée de l'accélération de liaison. Supposons en effet que ces deux points, s'ils avaient été libres, se fussent déplacés Tun par rapport à l'autre d'une façon quelconque, leur distance sera

restée la même si leurs accélérations, projetées sur la droite qui lesjoint, sont égales, et par conséquent il suffira, pour assurer rinvariabilité de la distance, d'ajouter géométriquement, à raccélération de l'un d'eux, une accélération égale et directement opposée à la différence de ces projections, c'est-à-dire une accélération dont la grandeur reste à déterminer, mais dont la direction est celle de la droite qui joint les deux points. La connaissance de cette direction équivaut à la connaissance de deux relations entre les composantes Lx, Ly, L^ de l'accélération de liaison, dont une seule, par suite, reste indéterminée.

lAO. Assimilation à un système libre. — Ainsi, quelles que soient les conditions, désignées sous le nom de liaisons, imposées aux points du système, si on les remplace par des composantes d'accélération qui en tiennent lieu et qui restent à déterminer, le nombre de ces composantes inconnue^, ou indépendantes les unes des autres, sera précisément égal au nombre des équations de liaisons, c'est-à-dire à k. Le système pourra alors être considéré comme libre ; et si l'on écrit, pour chacun de ses n points, les trois équations qui en définissent le mouvement, en ajoutant, aux composantes de l'accélération que prendrait ce point s'il était libre, les composantes inconnues de l'accélération de liaison. Ton introduira ainsi k inconnues nouvelles ; mais si, aux 3» équations ainsi écrites, Ton ajoute lesft équations de liaisons, l'on aura «-<;i4-Aéquations, suffisantes pour déterminer, non seulement le mouvement du système par les valeurs, en fonction du temps, des 3/i coordonnées de ses points, mais encore les k composantes de l'accélération qui y figurent comme inconnues auxiliaires. U est facile de reconnaître que k de ces équations sont des identités, de sorte que le nombre réel d'équations distinctes n'est que de 3n.

La résolution de ces équations, sous leur forme générale, n'a guère qu'un intérêt analytique*.

Dans chaque cas particulier, on adoptera la méthode de résolution qui paraîtra la plus appropriée, à défaut de la métkode générale que nous ne développerons pas ici.

g 2. — SYSTEMES INVARIABLES 275

On peut imaginer d'autres liaisons que celles que nous avons définies ; ainsi on peut astreindre deux surfaces données à rouler ou à glisser Tune sur l'autre, etc. La mise en équation de ces liaisons peut èlre un peu plus compliquée, mais la conclusion reste toujours la même.

t Ai. Translation. — Nous allons appliquer les considérations des n~ 129 à 136, et les équations que nous y avons démontrées pour les systèmes quelconques de points, à certains cas particuliers du mouvement des systèmes invariables.

Dans ces systèmes, tes points étant toujours à des distances constantes les uns des autres, les accélérations intérieures réciproques sont toujours Nulles et il n'y a que des accélérations extérieures au système.

Le mouvement le plus simple d'un système invariable est celui que nous avons défini plus haut (n"" 94) sous le nom de translation : tous les points décrivent des trajectoires égales et leurs vitesses à chaque instant sont aussi égales. Il en est de même, par suite, de leurs accélérations ; et Tétude de ce mouvement est complète lorsque l'on a fait celle de Tun des points. En particulier, le centre de gravité du système décrit une trajectoire identique à celle de tous les autres points et son accélération à chaque instant, qui est l'accélération moyenne du système, est la même que celle d'un point quelconque. Nous n'avons, pour ce cas très simple, rien à ajouter à ce que nous avons dit plus haut (chap. IV) au sujet du mouvement d'un point. La connaissance de l'accélération moyenne servira, d'après les règles qui ont été indiquées alors, à trouver la loi du mouvement du centre de gravité et par suite d'un point quelconque du système.

149. Botatlon autour d^nn axe fli^e. — Étudions maintenant le mouvement de rotation autour d'un axe fixe, et

270 CHAF. VII. — MOUVlOAiliM DES SYSTÈMES. LOIS GÉMiHALES

pour cela, rapportons les positions des points du système à des coordonnées cylindriques, définies de la manière, suivante :

Prenons pour axe des ;; (Kg. 1 19) Taxe de rotation ; un plan

quelconque xO^, pei*pcndiculaire à cet axe, ,M sera celui à partir duquel nous mesure-

rons les coordonnées z d*un point M du : système, dont la position sera définie par

\f0~^ — / jdf la longueur z=MP de cette coordonnée et f\y par Itt position du point P dans le plan

^ P JoOf/, laquelle sera elle-même déterminée

*^' par les coordonnées polaires r=OP, dis-

tance du point P au point ou du point M à Taxe 0;7, et l'angle = POx formé par le rayon vecteur OP avec une direction quelconque Ox tracée dans le plan xOy, L'avantage de ces coordonnées sur le système rectangulaire x, y, z^ dans le cas dont il s'agit, est que, pour un point quelconque M, deux coordonnées, r et ;j, sont constantes pendant toute la durée du mouvement, et que la seule coordonnée variable, 6, varie de la même manière pour tous les points, c'est-à-dire que pour tous

les points la vitesse angulaire -r-, que nous désignerons par

(i), est la même à chaque instant et par suite aussi l'accéléra-

tfon angulaire — • = r- . La loi du mouvement sera donc dé-

al' ai

finie par une seule relation entre et ^ et nous n'avons à déterminer que cette seule relation, c'est-à-dire à trouver une seule équation entre et /.

lAS. Expreii«i«nM des pr«Jee<iotis et deit moineiittt de la iriteufte et de raeeélération d^an palnt quelcaaque. — Pour cela, nous allons établir, au moyen des formules générales de transformation des coordonnées, les valeurs des diverses quantités que nous aurons à considérer.

Nous avons d'abord, entre les coordonnées rectangulaires ordinaires x, y, z et les coordonnées r, 9, 5, les relations :

.r = ;* cosO, y = rsînO , z-.

r <4 z étant constants ou indépendants du temps, nous en dé-

§ 2. — SYSTKMKS INVARIABLES 277

duisons, pour les composantes de la vitesse d*uu point suivant les trois axes rectangulaires ;

, . dx dy dz ^

et pour les composantes de raccélération

•'^ (//» ^ dt'

;. ^rr — =0.

Ces valeurs des projections de la vitesse et 'e Taccéléralion nous permettent d'écrire les moments, par rapport aux trois axes, de la vitesse et de l'accc^lération d'un point quelconque :

Mxf^ =■■ ^zV — V,jZ = — (ùXZ ,

Myt? = r^jcS — VsZ = — iùyz ,

jH^v = r^a: — Vxy* = w {x^ + y") = or' ,

■■•// = ix- — y^^ = — oi^xz —j^yz,

dta . , ,, dM ,

Les trois dernières équations pourraient être déduites directement des trois précédentes par l'application du théorème du n"" 77. On aurait ainsi, par exemple :

d.MxV dx d(a

ou bien, en mettant ponr j sa valeur — o.y, la valeur ci-des-

sus de MxJ- Do même pour les autres.

Nous pouvons aussi exprimer en fonclion de la vitesse an* gulaire o la somme des carrés des vitesses de tous les points du système. Ponr un point quelconque, la vitesse v est égale à

rco ; on a donc^ en désignant par I^ le moment d'inertie du système par rapport à Taxe z :

(4) Su* = 2(oV* = i^^^r' = G)»Iz.

De même, si Ton considère Taccélérationy d*un point quelconque, le chemin ds parcouru par ce point, pendant un temps dty est un petit arc de cercle égal à rtùdt^ dont les projections sur les axes a?, y, z sont respectivement — (ùt/dt^ <ùxdt, 0. Le produit géométrique de l'accélération par le chemin parcouru j{X)ds =j.ds cos(j . ds) sera la somme algébrique des produits des projections de ces deux lignes sur les trois axes (no 5). Nous aurons ainsi

j{X)ds = — (ùyjx dt + iùxj^ dt

puisque les projections sur Taxe des z sont nulles. Mettant pour jxjjy leurs valeurs cî-dessus nous obtenons :

j'(X)ds = -^ (ar« + y') . t^dt = Mx] . iùdt.

Et, en faisant la somme pour tous les points :

(5) sy(X)rf5 = (orf/ . 2m J.

Cette somme divisée parrfi est comme on sait (n*^ 79), et comme il est facile de le vérifier, la dérivée de la précédente Sv* par rapport au temps.

Les expressions précédentes, déduites des formules de transformation des coordonnées, auraient pu être écrites directement. Si, par exemple, on considère Taccélération j d'un point quelconque, la trajectoire de ce point étant un cercle contenu dans un plan perpendiculaire à Taxe des z^ Taccélérationy est aussi dans ce plan et elle est la résultante d'une accélération tangenticUe r -- et d'une accélération centripète wV.

dt

Cette dernière, dirigée vers le centre de la circonférence trajectoire du point mobile, rencontre l'axe des ^ et a un moment nul par rapport à cet axe. Le moment dej par rapport à l'axe des z se réduit donc au moment de la composante tangentielle

8 2. — SYSTÈMES LN VARIABLES 27d

r -r- dont le bras de levier est r, et par suite ce moment a bien

pour valeur 7- r* comme nous l'avons trouvé plus haut, et ainsi des autres.

€44. Somme» de» projections et deo moment» de» aeeélérotions de ton» le» point». — Ainsi que nous aurons Toccasion de le voir plus loin^ il arrive souvent, dans Fétude du mouvement des systèmes invariables, que Ton connaît un syslëme de lignes équivalent (n" 19) au système des lignes représentant les accélérations de tous les points en mouvement. Admettons qu'il en soit ainsi.

Le système de lignes représentant les accélérations des divers points^ ou le système équivalent supposé donné, sera défini par les six quantités suivantes : sommes des projections. de ces accélérations sur les trois axes rectangulaires et sommes des moments de ces mêmes accélérations par rapport à ces axes :

^Utj = —iù*^xz — - 2y«,

SM^- = ^S(x' + y») = ^2r'.

Désignons par X, Y, Z les coordonnées du centre de gravité du système, par N le nombre de ses points, nous aurons Sa? =3 NX etSy=NY. Les sommes Sarz, 2yz ont été plus haut désignées par les lettres D,E et Sr' par I^ ; cette dernière est le moment d'inertie du système par rapport à Taxe des z. Il est à remarquer que ces sommes conservent les mêmes significations lorsqu'au lieu de considérer un système de points isolés, on considère un volume continu au moyen du mode de généralisation qui a déjà été plusieurs fois employé, notamment n~ 32 et 42.

ËQ substiluant ces nouvelles notations, les équations précédentes deviennent :

ai

i4«« Discunfliloii. Loi du meuvcnieiit. — Nous avons dit qu'une seule équation était suffisante pour définir la loi du mouvement ; ce système de six équations exprime donc, entre les six sommes qui définissent le système des accélérations, cinq conditions nécessaires auxquelles elles satisfont si le mouvement est celui de rotation autour d'un axe, que nous avons supposé.

L'une de ces conditions ^j; = doit être satisfaite quelle que soit la loi du mouvement, elle ne contient pas en effet la vitesse angulaire ca et elle est indépendante du temps. Elle exprime que la somme des projections des accélérations sur la direction de Taxe est nulle.

La dernière équation : S MzJ = y L définit la loi du mouvement si Ton suppose donné, en fonction du temps, un système équivalent à celui des accéléralions.Elle fournit en effet, à chaque instant.la valeur de --==--- et par suite 8 en fonction du

dt dt^ ^

temps. La vitesse angulaire w étant déterminée, les quatre autres équations expriment les conditions auxquelles doivent satisfaire les quantités qui définissent le système des accélérations ou le système équivalent.

Ces conditions sont généralement variables avec le temps puisque les seconds membres des équations contiennent <ù

et — et il est facile de vérifier qu'à moins d'avoir w = c'est-

à-dire de supposer le système au repos, ou bien o)=const.

g 2. -- SYSTEMES LWARIABLES 281

c'est-à-dire uq mouvomenl de rotation uniforme, les quatre quantités dont il s'agit sont nécessairement fonctions du temps à moins qu'elles ne s'annulent, ce qui est possible comme on va le voir.

téU. AiLe» permanents, âmes nalurels de rotation. —

Si Ton a X = 0, Y = 0, on a toujours identiquement, quel que soit w, lljx = Qf S^y =0, et, réciproquement, la nullité de ces deux sommes entraîne celle des coordonnées X, Y du centre de gravité. Lors donc que l'axe de rotation passe par le centre de gravité, la somme des projections des accélérations sur une direction perpendiculaire quelconque est toujours nulle ; et, comme d'ailleurs on a toujours 2^2 = 0, la somme des projections des accélérations est nulle sur trois axes rectangulaires, c'est-à-dire que la somme géométrique des accélérations est alors nulle. La réciproque de cette propriétjS étant vraie, on peut dire que lorsque de la somme géométrique des accélérations des points d'un système invariable, animé d'un mouvement de rotation, est nulle, la rotation s'effectue autour d'un axe passant par le centre de gravité.

Le système de lignes équivalent à celui des accélérations peut alors être réduit à un couple.

Sil'ona, à lafois, D = 0, E=0, on a toujours identiquement,quelque soit <o, 2]lia?y = 0, 2Mî,j=0 et réciproquement la nullité de ces deux sommes entraîne celle des quantités D et E. L'axe de rotation est alors un axe principal d'inertie pour le point 0. Lors donc que l'axe de rotation est axe principal d'inertie pour un de ses points, la somme des moments des accélérations par rapport à un axe quelconque mené par ce point, perpendiculairement à l'axe do rotation, est toujours nulle. Car la direction des axes des x et des y est arbitraire et chacune d'elles est quelconque.

Les deux conditions peuvent être satisfaites simultanément, c'est-à-dire que l'on peut avoir D=E=0 en même temps que X=Y==0. L'axe de rotation est axe principal d'inertie passant par le centre de gravité ; il est donc axe principal d'inertie pour tous ses points (n* 47). Le couple équivalent au système des accélérations est alors situé dans un plan perpendiculaire à l'axo do rolation.

Lies axes priacipaax d'inertie passant par le centre de gravité, qui jouissent seuls de cette propriété que lorsqu'un système invariable tourne autour de Tun d'eux les accélérations de tous ses points peuvent se composer en un couple situé dans un plan perpendiculaire à sa direction, portent, pour des raisons qui seront données plus loin, le nom d'axes naturels de la rotation du système.

Lorsque Taxe de rotation satisfait seulement à la seconde des deux conditions précédentes, c'est-à-dire qu'il est axe principal d'inertie pour un de ses points, il est désigné sous le nom d'axe permanent de rotation.

147. Système dont deiiiK pointe ••iit asMiJettla m rester flxesk — Lorsque nous avons étudié plus haut

(n'^SS), le mouvement d'un point assujetti à se mouvoir sur une courbe fixe, nous avons considéré l'accélération que nous avons appelée extérieure^ c'est-à-dire inhérente aux conditions dans lesquelles se trouve le point mobile, et l'accélération, que nous avons désignée par L, inhérente à l'obligation à laquelle était assujettie ce point de parcourir une trajectoire donnée.

Nous pouvons appliquer le même ordre d'idées aux systèmes de points. La lettre/ étant toujours réservée pour l'accélération réelle dans le mouvement effectif de chaque point, désignons par J l'accélération extérieure de ce point, c'est-àdire l'accélération inhérente aux conditions dans lesquelles se trouve ce point, abstraction faite des restrictions qui pourront être imposées à son mouvement.

Supposons que nous imposions à deux points et 0' (fig.

120) du système, Tobligation de rester

O'I fixes, ce qui équivaut à rendre fixe l'axe

a passant par ces deux points ; appelons L et

L' les accélérations représentant cette obli- ' 5; gation, c'est-à-dire des accélérations égales et directement opposées à celles que !y ces deux points prendraient si les points Fig. 120. du système étaient animés de l'accélération que nous avons représentée par J, pour chacun d'eux en

particulier (J ayant, bien entendu, une valeur spéciale pour chaque point).

Alors les accélérations désignées par / se composeront des accélérations J et des deux accélérations L et L\ et les équations (2) du n^' 144 deviendront, en désignant par a la distance 00\ prenant l'origine des coordonnées à Tun des deux points fixes et Taxe 0^ passant par Tautre :

2Jy + Ly + L'y = — N(o*Y + N J X ,

ut

SJ,+L,+L', = ; ^^^^ Sil.J-«L',=o'D-|'E ,

La loi du mouvement de rotation du système autour de Taxe fixe Or se déterminera par la dernière équation qui donnera

jT en fonction des accélérations extérieures J. Les cinq autres

équations, si ces accélérations sont données, déterminent L et 1/ par leurs projections sur les trois axes. Ces projections inconnues étant au nombre de six, les cinq équations laissent une indétermination et il est facile de s'en rendre compte.

La 4'' et la 5"" de ces équations déterminent, sans ambiguïté, les composantes L'y et Vx- Celles-ci étant calculées, la l'* et la 2* déterminent de même hx et Ly. Quatre des six composantes peuvent être ainsi trouvées, et la 3® équalion reste seule pour calculer les deux autres, et elle ne peut déterminer que leur somme L'+L'x. Ces deux dernières composantes peuvent ainsi avoir une valeur quelconque, pourvu que leur somme soit égale à — SJ^. Ce résultat peut être considéré comme évident : si, le système ayant un certain mouvement, l'un des points fixes, par exemple, tend à prendre^ en outre de l'ac-

284 CHAP. VII. — MOrVKMKNT DUS SYSTKMES. LOIS OÉNÉFLVLES

céléralion égale el contraire à celle que nous avons appelée L, une certaine accélération dont la projection sur 00' ait une certaine valeur t, l'autre point 0' tendra à prendre une accélération dont la projection sur Taxe 00' sera égale à celle qu'il aurait prise d'abord, c'est-à-dire — L'^ augmentée de Iz et par suite, pour le ramener au repos ou le rendre fixe, il faudra lui imprimer une accélération dont la projection sur Taxe des z sera — ( — L'.+/r) = L'^ — /., laquelle ajoutée à la projection (LrH-/-) de l'accélération du point 0, donne bien la somme Lr+L'- qui est ainsi constante.

148. Ooiidllioiis pour que lei» deux points restent matnrelleuicut Axcm. — Si l'on veut que le point 0' reste naturellement fixe, il faut que l'on ait L'a: = 0, L', = 0, el si Ton a en même temps, comme nous l'avons admis tout à rheure, Sii:J=0, SMyJ=0, cela entraine nécessairement la condition D=0 et E = 0, c'est-à-dire qu'il faut que Taxe de rotation soit axe principal d'inertie pour le point 0. Réciproquement, si cette condition est satisfaite, le point 0' ne prendra aucune accélération^ il restera donc naturellement fixe si le point l'est lui-même.

Si en même temps Ton a i;Jj. = 0, }2J,=0, et si l'on veut que le point lui-même reste naturellement fixe, il faut que Ton ait Lx = et Ly=0, conditions qui, jointes aux précédentes, entraînent nécessairement X=0, Y = ; c'est-à-dire qu'il faut que Taxe de rotation passe par le centre de gravit^ ; et comme il est axe principal d'inertie pour le point 0, il Test pour tous ses points. C'est un axe principal de l'ellipsoïde central d'inertie du svstème.

Ce sont les propriétés qui viennent d'être établies qui ont valu aux axes principaux d'inertie pour un point, et aux axes principaux de l'ellipsoïde central les noms d'axes permanents ou axes naturels de rolation que nous avons indiqués plus haut.

1 40. Condlliou pour que les aecélérations de Ion» leii points aient une résultante unique. — Proposons-nous encore de trouver la condition pour que les accélérations de

§ i. — SYSTÈMES iiNVAUlAliLbiS 2HÔ

lous les points d'un système invariable, tournant autour d'un axe fixe, aient une résultante unique, ainsi que la grandeur et la direction de cette résultante, abstraction faite bien entendu des accélérations qui représentent la fixité des points de Taxe considérés comme immobiles. D'après ce que nous avons vu (n^ 22, page 35), la condition nécessaire et suffisante pour qu'un système de lignes ait une résultante unique est que la somme des trois produits obtenus on multipliant respectivement les sommes des projections de ces lignes sur trois axes par les sommes de leurs moments par rapport aux mêmes axes soit nulle.

Prenons encore pour axe des z Taxe de la rotation, et pour axes des xeij/ deux droites quelconques perpendiculaires entre elles et û la première. Les formules (2; de la page 280, en conservant aux lettres D, E leurs significations D = i: wzy, E^=^nzx donnent, pour la condition qui vient d'être énoncée :

ou, en réduisant :

N n'étant pas nul, il faut, à moins que ct) et -j ne le soient, ce qui est le cas du repos, que Ton ait :

YE— XD = 0.

Si nous faisons passer le plan des zx, jusqu'à présent arbitraire, par le centre de gravité du système, Y= et il faut que :

XD=0.

six est nul, Taxe passe par le centre de gravité, et la résultante de toutes les accélérations devient nulle.

Ecartons cette solution, il reste D = S nf/z = 0. Cela signifie, eu égard à la position du plan des zx, que Taxe de rotation est axe principal d'inertie en un de ses points.

TransportoQS en ce point Torigine des coordonnées en conservant au plan des zx sa position, et désignons par J la résultante cherchée, et par J^, Jy, Jj ses projections sur les trois axes nous avons, d'après les équations (2) n"* 144 :

lla;J = , l|yJ=0 , Mz3=- Iz.

L'accélération J est donc dans le plan des xy, ses deux conor posantes parallèles aux x et aux y sont connues, et la distance a de Torigine, ou de Taxe de la rotation, à laquelle elle rencontre Taxe des x est donnée par :

aJy=iiiJ ou bien :

*~NX~X

en appelant r^ le rayon de giration du système par rapport à Taxe de rotation.

Désignons par k le rayon de giration du système par rapport à- un axe parallèle aux z mené par le centre de gravité, nous avons.:

ou bien, en substituant :

donc la résultante J rencontre Taxe des x plus loin de Taxe de rotation que le centre de gravité.

tftO* Centre de percussion. — Le point d'application de la résultante J s'appelle centre de percussion relatif à l'axe de rotation considéré.

Si donc on imprime, au point dont il s'agit et dans la di*

rectîon même de la résultante, une accélération quelconque J, sans exercer aucune autre action sur le$ autres points, cette accélération unique étant alors la résultante de toutes les accélérations extérieures des points du système^ celui-ci prendra, autour de Taxe correspondant,un mouvement de rotation, sans qu'il y ait besoin, pour cela, d'aucune accélération de liaison destinée à maintenir cet axe immobile.

Pour une accélération i quelconque attribuée au centre de percussion et dont les composantes seraient Ja-, Jy, la vitesse angulaire de la rotation du système serait déterminée par l'équation :

dfù MzJ Jy

Supposons que le système considéré soit d'abord en repos et que l'accélération J qui est ainsi imprimée au centre de percussion, n'agisse que pendant un temps très court, et soit relativement grande, la vitesse angulaire de la rotation <», d'abord nulle, prend une valeur finie au bout de cet intervalle de temps

et la dérivée -j a une valeur incomparablement plus grande,

infinie pour ainsi dire par rapport à g). Des deux composantes 3x et Jy la première est alors négligeable par rapport à la seconde à laquelle se réduit ainsi l'accélération J qui devient perpendiculaire au plan des zx contenant Taxe de rotation et le centre de gravité.

En résumé, un système invariable étant assujetti à tourner autour d'un axe, pour qu'il y ait un centre de percussion, c'est à-dire un point tel qu'en lui donnant une accélération, le système se mette à tourner autour de Taxe sans qu'il y ait besoin d'imprimer d'accélération à aucun autre de ces points, il faut que l'axe soit axe principal d'inertio du solide pour un de ses points 0.

Cette condition étant satisfaite, on mènera, par le point et dans un plan contenant l'axe et le centre de gravité, une ligne Ox perpendiculaire à l'axe; on prendra, sur cette li-

gne, à partir du point 0, une longueur OC=X+ j, en

288 CIIAI\ VII. — MOUVHIMENT UE< SYSTKMKS. LOIS GÉNÉRALES

appelant X la dîstaace du centre de gravité à Taxe et k le rayon de giration du Système par rapport à une parallèle à cet axe menée par le centre de gravité. Le point G sera le centre de percussion. Si on applique en ce point une accélération constante J, pendant un temps très court 6 et perpendiculairement au plan mené par Taxe et par ce centre de gravité, le solide prendra, autour de Taxe, un mouvement de rotation dont la vitesse w sera

Jô

Le fait d'imprimer ainsi à un point d'un systèmo invariable une accélération assez grande pendant un temps très court porte le nom de percussion, d'où le nom de centre de percussion attribué au point dont il s'agit.

161. Peiidale eomponé. — Appliquons encore les formules du n"" 144 à Tétude du mouvement d'un pendule composé. Nous appellerons ainsi un système invariable assujetti à se mouvoir autour d'un axe fixe horizontal et dont chaque point reçoit une accélération verticale constante que nous désignerons par ^, comme celle que nous avons attribuée au point unique du pend île simple considéré au n^ 88.

Prenons pour axe des z Taxe fixe horizontal, supposé projeté en (fig. 121), soit G le centre de gravité du système, abaissons de ce point une perpendiculaire GO sur l'axe de

rotation et par le point menons une vertiy cale Ox et une horizontale Oy perpendiculaires hOz; la position du système sera définie par l'angle formé par la ligne OG avec ■C cette verticale. Appliquons la dernière des

jc équations (3), page 283, dans laquelle n'en-

Fig. lii. trent que les accélérations extérieures J qui

sont ici toutes parallèles à Ox et égales à g. Pour un point quelconque dont les coordonnées sont x et y, le moment de cette accélération par rapport à Taxe sera gy et la somme de ces moments pour tous les points du système sera

vu j -^ ^gy - j^vy ^ g^Y ,, ^g^a sin 0,

§ 2. — SVSÏKMliS INVAHIABLtlS 289

en appelant Y Tordonnée y du centre de gravité G, a la distance GO'dece point à Taxe, et N le nombre de points du système.

La dernière des équations du n® lii, page 280, que nous voulons appliquer devient ainsi

N//a siu = y Ir ;

L- désigne le moment d'inertie du système par rapport à Taxe Oz. Soit k le rayon de giration de ce système par rapport à un axe mené par le centre de gravité parallèlement a 0:r, nous aurons

Substituons, divisons par N et par a, remplaçons ^ par sa

valeur ^ et enfin désignons par / la quantité « -f - , nous obtenons

ou

équation identique à celle que nous avons trouvée au n"" 88 pour déterminer la loi du mouvement d'un pendule simple. Le pendule composé oscille donc comme un pendule sim-

pie dont la longueur / serait égale à a+-. Cette quantité étant plus grande que a, portons au-delà du point G sur la

droite OG prolongée la longueur GC == - , la ligne horizontale menée par le point G parallèlement à Taxe 0^ aura tous ses points à la distance / de Taxe de suspension du pendule composé, elle porte le nom d'axe d'oscillation : tous les points de cet axe oscillent comme s'ils étaient des pendules simples, indépendants du système invariable dont ils font partie.

290 CHAP. VII. — MOUYKMEiNT DES SYSTÈMES. LOIS GÉNÉRALES

Si Ton prenait Taxe d'oscillation mené par le point C poar axe fixe, le système invariable oscillerait autour de lui comme un pendule simple dont la longueur /' serait égale à

Les deux axes et G sont ainsi réciproques : Tun d'eux étant pris pour axe fixe, l'autre devient axe d'oscillation. On sait comment le capitaine Kater a utilisé cette réciprocité pour dé* terminer expérimentalement la valeur de l'accélération g. La durée T des petites oscillations de ce pendule composé est^ comme celle des oscillations du pendule simple équivalent :

si donc on a observé exactement la valeur de T, il suffit pour avoir g^ de mesurer la longueur /. En faisant varier la position de l'un des axes jusqu'à ce que la durée des oscillations fût exactement la même pour les deux, on trouve^ par la distance de ces axes (en admettant qu'ils ne soient pas symétriquement placés par rapport au centre de gravité), la longueur / cherchée.

169. Retatien autour d'un point Axe* — Etudions maintenant le mouvement de rotation d'un système invariable au-

Fig. 122.

tour d'un point fixe. Soit (fig. 122) ce point et OX, OY, OZ,

trois axes rectangulaires fixes passant par ce point et auxquels

g 2. — SYSTÈMES INVARIABLES 291

nous rapporterons tes positions du système. Soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires, invariablement liés au système et coïncidant avec ses trois axes principaux d'inertie pour le point 0. Ces axes se déplacent avec le système et il suffira de connaître la loi de leur mouvement.

Leur position par rapport aux axes fixes se déterminera de la manière suivante : SoitOÀrintersection des deux plans XOY, aK>y,etO Tangle formé par ces plans ou par les deux lignes OZ, 0:; qui leur sont perpendiculaires ; enfin, soient (p et ;{/ les deux angles AOX, kOx : les trois angles 6, ç etij; suffisent pour fixer la position des axes mobiles. En effet, dans le plan fixe XOY traçons la ligne OA, faisant avec OX l'angle cp, puis, par cette ligne, menons le plan yOx faisant avec XOY l'angle 6. Ce plan étant construit, la direction de Taxe Ox s'y trouvera en faisant, à partir de OA, l'angle AOa: = ^. Les deux autres axes y, z sont en même temps déterminés.

Si donc on a exprimé en fonction du temps les angles 0, ^ , ^, on aura la loi du mouvement du système, dont la connaissance exigera ainsi trois équations entre ces trois quantités et le temps t.

t6S. Projections, sur les trois axes mobiles.de Taccélération d'aiii point. — Le mouvement du système est, à chaque instant, une rotation autour d'un axe instantané passant parle point 0. Soit 01 cet axe à l'instant considéré, a, p, y les angles qu'il forme avec les trois axes Oj?, Oy , Oz invariablement liés au système mobile et tù la vitesse angulaire de la rotation. Cette rotation peut être considérée comme la résultante de trois autres, autour des trois axes Ox, Oy, Oz, exprimées par les projections de o sur leurs directions. Si donc nous désignons, pour abréger, ces trois composantes de la rotation par p, q, r, nous aurons

(1) /> = <i>cosa , g=6)C03p I r=<i)Cosy.

Nous avons vu plus haut (no 118, page 230) que les projections de la vitesse d'uu point M quelconque sur les trois axes

2Î)2 CHAP. Vil. — MOUVKMKNT DES SYSTÈMES. LOIS GÉNÉKALES

Ox, Oy, Oz avaient pour expressions, en appelant x, y, z les coordonnées du point M :

(2) V:^ = qz—ry , v^= rx —pz , v. =py—qx.

Ces mêmes formules peuvent nous servir à exprimer les projections sur les trois axes Og, Oj,, Or, de raccéléralîon tangentielle du point M, laquelle est dirigée suivant la même ligne que la vitesse et a pour expression

si MP est la perpendiculaire abaissée du point M sur Taxe instantané de rotation, de même que la vitesse t; a pour exprès-

sion «. MP. Les Irois composantes -- cos x, -r cos [i, — cos y,

de Taccélération angulaire qui valent respectivement

dp dq dr di dt dt

. remplacent ainsi, dans ces formules (2), les trois composantes, p, q^ r, de la vitesse g), de sorte que les projections, sur les trois axes, de Taccéléralion tangentielle ont pour valeurs :

dq dr dr dp dp dq

lt^~dt^ ' dt^~J4^' di^J~li^ '

L'accélération normale du même point est w'. MP et sa projection sur Taxe Ox, par exemple, est égale au produit de <.>* par la projection de MP sur le même axe. Cette projection de MP est égale à la différence OP cos a — x ou bien, en mettaDt pour OP sa valeur arcos«+ ycos^ + ^^cosy remplaçant a, p, y par leurs valeurs en p, q, r et o>, et remarquant que />'H-y*+^'* = «', on aura, pour la projection de Taccélération normale sur Taxe des x :

(3) (o*j (a:oosa+ycosp+£;cosy)cosa— a:}=pgy-+^rz--a;(9'+r')

En ajoutant celle projection de laccélération normale à celle, trouvée plus haut, de Faccéléralion tangentielle, et en faisant de mémo pour les deux autres axes, ou aura pou^* les

g 2. - SYSTÈMES INVARIABLES 203

pTolec\ionsjxyjy.jzàe raccéléralion totale sur les trois axes

(4) { h = x^^^—z£—y{r'+p^)+qrz+qpx ,

154. Ëfinations d'Euler. — Les sommes des projections des accélérations de tous les points s'obtiendront en faisant la somme des quantités semblables. Elles ne présentent rien de particulier et nous ne les écrirons pas. Nous allons au contraire chercher à exprimer les sommes des moments de ces accélérations par rapport aux trois axes qui se présentent sous une forme simple en raison de ce que, les axes Ox^ Oy, Oz étant les axes principaux d'inertie du système, on a:

vy5=0, r3itr=0, Sa?y=0.

Désignons, comme nous l'avons déjà fait, par A, B, C les trois moments d'inertie princijpaux du système, c'est-àdire les sommes :

Le moment par rapport à Taxe des x de l'accélération j du point M s'exprimera, au moyen des projections de celte accélération sur les axes, par la formule ordinaire :

mettant pour^;,/,, leurs valeurs (4) du numéro précédent, faisant la somme des moments analogues pour tous les points et tenant compte des relations et notations qui viennent d'être écrites, on aura simplement, toutes réductions faites, en remarquant que 2 (y' — 3*) =C — B ; et de même pour les autres axes :

A|H-(C-B)r, B^+(A-C)rp ,

Cf+(B-A)p(r .

Ces équations sont dites équations dEuler, Elles expriment les sommes des moments des accélérations du système mobile, par rapport à ses trois axes principaux d'inertie, en fonction des moments d'inertie principaux et des composantes, suivant ces trois axes, de la vitesse angulaire de la rotation instantanée.

l&A. Béflnition de la position des axen mobiles. —

Nous avons maintenant à trouver des relations entre ces composantes p^ 9, r et les trois angles 0, ^ ^ ^ au moyen desquels nous définissons la position des axes mobiles. Reprenons les axes fixes OX, OY, OZ, (fig. 123), les axes

mobiles Ox^Oy.Oz et la ligne OA, intersection des deux plans XOY, orOy. Soit ÔB une ligne menée, dans le plan xOy, perpendiculairement à Oâ par le point ; les trois lignes OB, OZ, 0;; sont dans un même plan perpendiculaire à OÂ et la ligne OB est, dans ce plan, perpendiculaire à Oz.

Les angles 0^ (p, t|/ définissant la position des axes mobiles par rapport aux axes fixes, le déplacement des axes mobiles peut être considéré comme obtenu

par la variation de ces angles, c'est-à-dire par des rotations — autour de OA, t[ autour de OZ et - autour de Oz.

dt ai

dQ

La rotation tt autour de OA peut être remplacée par ses

deux composantes suivant Oa;, Oy, lesquelles ont respective-

dB , .(iô . , ment pour valeurs -j- cos ^ ®*^ 57 ^"^ Y-

La rolation ^ autour de OZ peut, de même, être décomposée en deux, suivant les deux droites rectangulaires OB, 0^,la première ayant pour valeur ^ sin 9, la seconde 4 cos 0. Et la

rotation ^ sin autour de OB peut enfin être décomposée en

deux, suivant les deux droites rectangulaires Ox prolongée et Oy, et ces composantes ont respectivement pour valeurs :

— j^ sm 6 sin ij; et j^ sin 6 cos ^p.

Il faut remarquer que la rotation positive r^ correspondant

à un accroissement, avec le temps, de Tangle ij/, fait tourner le système, autour de Taxe des z^ de la droite vers la gauche d'un observateur placé sur cet ase avec les pieds en 0, et que, par suite, cette rotation doit figurer dans la somme avec le signe — .

Si Ton fait alors les sommes des rotations qui s'effectuent autour de chacun des axes, on aura^ pour les composantes p, Çy r de ces rotations autour des trois axes Ox^ Oy, Oz :

p^=^r; cos if — j- sm 6 sm if^

En substituant ces valeurs de p, q^ r, dans les équations [(3) du no 155] d'Ëuler, on aura exprimé les sommes des moments des accélérations par rapport aux axes mobiles en fonction des angles 0, q, ^ qui définissent la position de ces axes et du temps t. Si donc, comme nous l'avons dit plus haut, l'on suppose connu un système de lignes équivalent au système des accélérations, ce qui revient à supposer ces sommes de moments exprimées en fonction du temps, les trois équations ainsi obtenues permettront d'exprimer les angles 0, f , if en fonction du temps /, et par suite d'avoir la loi du mouvement du système invariable considéré.

soc CHAP.VII.— MOUVEMENT DES SYSTKMES, LOIS GÉNÉRALES

Les équations que Ton obtient ainsi sont fort compliquées et ne sont pas, en général, susceptibles d'être intégrées, de sorte que la solution dont il vient d'être parlé est plus théorique que pratique. Ce n'est guère que dans un cas particulier, que nous examinerons tout kTlieure, que Ton arrive k un résultat simple.

t^M. Autre démeustratieii des équation» d^Eoler.

- Auparavant, il n'est pas inutile de reprendre les équations d'Euler et de faire voir comment il est possible de les démontrer d'une autre manière.

Soient Or, Oy, Oz (fig. 124) les trois axes principaux d'inertie

du svstème en mouvement, c'està-dire les trois axes mobiles, et soit OK la ligne représentant le moment résultant, par rapport au point 0, des vitesses de tous les points du système. Nous savons (n^ 153) que le moment résultant des accélérations extérieures est exprimé par la vitesse du point K.

Désignons par k =■ ^gM^^v la longueur OK. Cherchons les coordonnées, par rapport aux axes mobiles, du point K, qui sont les projections de OK sur ces axes, ou les sommes des moments, par rapport à ces axes, des vitesses des points du système. Pour un point M quelconque, dont la vitesse est v et les coordonnées a-, y, z^ les moments de la vitesse par rapport aux trois axes sont respectivement (m 15, page 21):

Mettons pour t?„ Vy, Vz leurs valeurs (2) du n* 153, p. 292, et faisons la somme des équations semblables supposées écrites pour tous les points en remarquant que les axes Ox.Oy^Oz étant les axes principaux d'inertie du système, on a Sy5==0, lljrz=0, vj-y^O, nous aurons, en appelant toujours A, B, C, les moments d'inertie principaux :

Fig. 124.

Telles sont les coordonnées du point K par rapport aux axes mobiles Ox, Oy, Oz.

Si ces axes étaient fixes, ia vitesse du point K dans l'espace aurait pour projections, sur ces axes, les dérivées de ces coor* nées, c'est-à-dire

Mais, ces axes étant mobiles, le point K a en outre une vitesse d^entrainement qui est celle qu'il aurait s'il conservait toujours les mêmes coordonnées A/?, By, Cr. Or le mouvement de ce système, auquel on suppose le point K invariablement lié, est line rotation autour d'un axe 01 passant par le point et les projections de cette rotation sur les trois axes sont respectivement p, q, r. Les composantes suivant les trois axes de la vitesse du point K s'obtiendront donc par les formules (2) du n® 153, dans lesquelles nous mettrons x^ y, z les coordonnées de ce point. Elles seront ainsi :

Suivant Oo?: . . . . (/. O — r. Bgf = (C — B) gr , Oy r. Ap — p. Cr=(A — c)rp ,

Oz f).By — ^. Ap = (B — Apî ;

Et en ajoutant ces composantes aux précédentes, on a celles de la vitesse réelle du point K dans Tespace, lesquelles sont les sommes des moments des accélérations extérieures par rapport aux trois axes. On retrouve ainsi les équations d'Euler.

Wi. Appllcatton an cas où le» «amiiieB den maméats des aeeélératiaas estérieures^ par rapport au point Axe. sont nulles. — Nous allons les appliquer au cas particulier où lasomme des moments des accélérations extérieures par rapport au point est constamment nulle, lequel comprend le cas où les accélérations extérieures auraient une résultante unique passant par le point 0. Elles deviennent alors

A|H-(C-B)îr==0 ,

Multiplions-les respectivement par A/), B^, O et ajoatonsleS; nous aurons

(S, A.f+B.ft+e^=o,

ou en intégrant,

(3) A"p«+B'g» + C*r*=:constante=ifc'.

En effet le premier membre est bien égal kk^ = OK puisque les coordonnées du point K sont A/?, Bq^Cr. Le moment résultant des vitesses par rapport au point est alors constant. Le point K est immobile dans l'espace puisque sa vitesse, exprimée par le moment résultant des accélérations, est constamment nulle. Nous aurions donc pu écrire directement cette dernière équation sans la déduire des précédentes.

Le moment résultant des accélérations par rapport au point étant nul, il en est de même de la somme des moments des accélérations par rapport à un axe quelconque passant par ce point et par conséquent par rapport à Taxe OL Si nous exprimons, en fonction de la vitesse angulaire co de la rotation du système autour de cet axe, la somme des produits géométriques des accélérations des points par les chemins parcourus par eux, cette somme, étant pour un temps infiniment petit dt égale (n"" 143) à (ùdt i; M J, sera constamment nulle. Or elle est la dérivée, par rapport au temps, de la somme des carrés des vitesses des points du système, laquelle sera ainsi constante. Si on la désigne par A, on pourra écrire, en appelant I le moment d'inertie du système par rapport à Taxe 01 :

(4) St?* = w'I = h.

Or, puisque oc, p, y ^^^^ ^^^ angles formés par 01 avec les trois axes Ton a : I=A cos 'a + B cos 'p + C cos 'y, et en vertu des équations (1) du n"* 153 :

(5) ^^n = h = AjD* + By* + 0* ;

équation que l'on aurait pu déduire des trois équations (1) en

i î. — SYSTÈMES INVARIABLES 299

les multipliant respectivement par p, q^ r et les ajoutant, ce qui donne

et en intégrant

(7) Ap« + By' + 0« = constante ,

constante que nous venotis de désigner par h.