Premier ibéorèine §pénéral pour un point ma

tériei. — Nous allons, en introduisant la notion de masse dans les théorèmes généraux, que nous avons démontrés dans la première partie pour les points et. les systèmes de points géométriques, les rendre applicables aux points et aux systèmes matériels. Nous nous occuperons d*abord des points matériels.

Nous avons démontré (no 74) Féquation :

multiplions par m, masse du point considéré, les deux membres de cette équation ; observons que, par définition, le produit m/ =F, et désignons par Fs la composante tangentielle de la force F^ c'est«à*dire la projection de la force sur la tangente

à la trajectoire, laquelle est évidemment égale à mjt^ nous aurons:

mv-^mVf^^ f Fgdt;

ce qui, avec les définitions que nous avons données plus haut, s'énonce de la manière suivante :

L'accroissement, pendant un temps quelconque, de la qucufitité de mouvement d'un point matériel est égal à la somme intégrale, pendant le même temps, des impulsions élémentaires de la composante tangentielle de la force qui agit sur Cf point.

Remarquons que ce théorème n'est, au fond, qu*une identité. Si nous rappliquons à un temps infiniment petit, dt, ce qui revient à diiférentier les deux membres de l'équation par rapport au temps, nous aurons :

La dérivée, par rapport au temps, de la quantité de mouvement d'un point matériel est égale à la composante tangentielle de la force qui agit sur ce point; et cela résuite immédiatement de la définition que nous avons donnée de l'accélération

tangentielle y« = j • Nous avons, en somme, exprimé par deux

noms différents une même quantité mise sous deux formes différentes, et le théorème énonce simplement que les deux quantités ainsi dénommées sont égales.

Cette remarque s'appliquera à tous les théorèmes suivants.

179. Second tbéorème général. — De l'équation suivante (n* 76) :

nous déduisons de même, en multipliant le» daux membres

par m et désignant par F^ la projection de la force F sur l'axe des x:

L accroissement de la projection^ sur un axe quelconque, de la quantité de mouvement dun poirU matériel est égale à la somme intégrale, pendant le même temps, des impulsions élé- ^nefUaires de la projection, sur le même axe, de la force qui agit sur le point.

Ou bien, si nous considérons encore un temps infiniment petit, dt :

I dz

( ^ r \ dt

da!\ L — F

La dérivée par rapport au temps, de la projection, sur un axe quelconque^ de la quantité de mouvement d^un point matériel est égale à la projection, sur le même axe, de la force qui agit sur ce point.

t8#. Troisième tiftéorëme irénéral. — Enfin, nous avons démonb*é Téquation (n® 77) :

\z V —U iVo = f^ Mzjdt.

multiplions encore les deux membres par la masse m du point considéré, et remarquons que le produit par m du moment MzV de la vitesse v par rapport à Taxe des z sera identiquement égal au moment, par rapport au même axe, de la quantité de mouvement mv et s'écrira Mztnv, puisque les deux lignes v et mv coïncident en direction et sens. Il en sera de même pour le produit par m de MzVq ; quant au produit par m de mjdt, il sera, pour la même raison, égal au moment, m»mjdt, du pro« duit mjdt ou ¥dt ; nous aurons ainsi :

\mv — Mjmt^o

3at> CHAt*lïHl!: MilUVlÈMK

Vaccro'issemetvt, pendant an teuips quelconqtÂC^ du nioment^ par rapport à un axe^ de la quantité de mouvement d'un point matéHel est égal à la somme intégrale^ pendant le même temps ^ des motnents, par rapport au même axe, des impulsions élémentaires de la force qui agit sur ce point.

Ou, en différentiani par rapport au temps :

— ^ =MzF.

dt

La dérivée, par rapport au temps, du moment, par rapport à un axé quelco7ique^ de la quantité de mouvement d'un point matériel est égale au moment, par rapport au méine axe, de la force qui agit sur ce point.

Ces trois Ihéorèmcs porlent le nom de théorèmes des quantités de mouvement.

Si, comme nous l'avons fait à la page 158, nous portons sur trois axes rectangulaires à partir de Torigine 0, fig. 123,

trois longueurs Om.ç, 0/w^, Om- tjdspectivement égales aux moments, par rapport à ces trois axes, de la quantité de mouvement d'un point matériel, les vitesses des extrémités m^, m^, niz de ces lignes seront respectivement égales aux moments, par rapport aux trois axes, de la force F qui agit sur le point ; et si nous cons- Fig. J25. truisons la résultante Om de ces trois

lignes, Om sera le moment, par rapport au point 0, de la quantité de mouvement du point matériel : la vitesse du point m dans Tespace sera égale en grandeur, direction et sens, ou équipollente,à la résultante des moments de la force par rapport aux trois axes, c'est-à-dire au moment de la force par rapport au point 0. Par conséquent :

La vitesse de V extrémité de la ligne qui représente le moment^ par rapport à un point fixe quelconque^ de la quantité de mouveme?it d'un point matériel est équipollente au moment, par

THÉURÉMKS GÉNÉHAUX DE LA MÉCANIQUE 33T

rapport au mêfne point fixe, de la force qui agit sur le point mobile.

181. Théorème des nires. — Remarquons que la dernière conséquence que nous avons déduite (n'* 78) des équations précédentes, relative aux aires décrites par la projection du point sur un plan, subsiste sans modification lorsqu*il s*agit d'un point matériel, au lieu d*un point géométrique : il suffit de substituer, dans Ténoncé, le mot force au mot accélération. La multiplication par m de la ligne représentant Taccélération ne modifie pas sa direction qui est seule prise en considération dans ce théorème, lequel devient ainsi :

Lorsquun point matériel est soumis à ï action (Tune force qui rencontre constamment un axe fixe, les aires décrites par le rayon vecteur joignant le pied de cet axe à la projection du point sur un plan perpendiculaire à l'ax-* sont proportionnelles aux temps ou croissefït proportionnellement au temps.

Le cas particulier où la force passe constamment par un point fixe est compris dans cet énoncé. Les aires décrites par le rayon vecteur joignant le point mobile au point fixe croissent proportionnellement au temps, et de plus le mouvement s'effectue dans un plan passant par le point fixe.

i 8 1. Quatrième tbéorème^énéraL — Opérons de la même manière sur l'équation qui exprime ce dernier théorème

[n"* 79) et qui est :

i - ï = SI i (X) ''*= £j- * «^«« C;-. As\

c*est-à-dire multiplions-en les deux membres par m en remplaçant, dans le dernier, mj par F, il viendra :

ï^'-ï^* = £F(x)<fe=X*;-*co8{F-*)=»-F-

L' accroissement i pendant un temps quelconque, de la demiforce vive ou de la puissance vive dun point matériel en mouvement, est égal au travail total, pendant le même temps, de là force qui agit sur ce point.

Si nous supposons le mouvement du point rapporté à trois axes de coordonnées rectangulaires x^ y. z et si nous appelons, comme nous l'avons toujours fait, Fx, Fy, Yz les projeclions, sur' les trois axes, de la force F» nous aurons (n^ 168) :

T"^^* = JI (F,rf.r+F,dy+F,rfz)=T.F.

Si la force F est la résultante de plusieurs forces /*>/*,/*,...:

F(=)/(+)/'(+)/"(+).oaa, d'après la définition même du travail (n<> 168),

et par suite :

V accroissement de demi-force vive ou de puissance vive d'un point matériel^ pendant un temps quelconque^ est égal à la somme des travaux, pendant le métne temps j de toutes les forces qui agiss mt sur ce point.

.L'accroissemeint de demi-force ou de puissance vive, pri^im signff con/r^i/rf, porte quelquefois le nom db travail dt- finftiè; si nous le désignons par tI, nous aurons ainsi

substituons dans l'équation précédente, nous aurons

Ce que l'on énonce en disant que :

' Im somme des travaux de toutes les forces qui agissent sur un point matériel, y compris celui de son inertie, est constammmt nulle.

Remarquons d'ailleurs que la définition que nous venons de donner du tr>wmlde rin^rlif est d'accord avec la définilion générale du travail, si on l'applique à la force d*inertie En dési'* ffhant celle-ci par I on a en effet

et par suite

Le théorème que nous venons de démontrer, dit théorème des forces vives, est fondamental en mécanique. Nous consacrerons un chapitre spécial, le chapitre X, à eu étudier les conséquences.

193. Introdaetion de la masse daim len forniuies relattTes aux «yAtèincs. — L'introduction de la notion de masse se fora, dans les équations et les théorèmes concernant les systèmes de points, en vue de les rendre applicables aux systèmes matériols, de la même manière que nous venons de le faire pour un simple point.

D*abord, en ee qui concerne les contres "de gravité et les moments d*inertic, rien n*est changé aux formules ni aux résultats |i suffit de prendre, pour ce que nous avons appelé la densité de Tcspace que nous avons considéré, la masse spécî^ Bque en ce point, c'est-à-dire la limite du rapport de la masse d'un élément à son volume.

Les formules dans lesquelles entrait la densité p constante ou variable des espaces dont nous avons déterminé le centre de gravité et le moment d'inertie, s'appliquent en donnant à p cette nouvelle signification.

Pour celles dans lesquelles figurait le nombre n des points d'un certain système, elles s'appliquent encore en substituant à n la masse m du système. La définition du moment d'inertie doit être modifiée en ce sons que celte quantité n'est plus simplement la somme des carrés des distances des points à Taxe par rapport auquel on prend le moment, mais bien la somme des produits des masses des divers points matériels qui composent un système, par les carrés de leurs distances à cet axe* On a donc toujours, comme à l'équation (1) du n^ 41 :

1 = Zwr* .

Mais la lettre m représente, non plus le nombre de points concentrés on chaque élément du système, mais la uiasse de o«t élément.

Nous avons ensuite, au chapitre VII, considéré, dans un système de points, les composantes intMeures et les composantes extérieures des accélérations de ces points. Si nous multiplions chaque composante par la masse du point auquel elle s'applique, nous aurons de même les forces intérieures et les forces extérieures du système. Les premières sont réciproques comme les accélérations elles-mêmes.

t84. Théorème da monvement du eentre de ffra« vite. — Cela posé, désignons par m la masse d'un élément, dont les coordonnées sont x^ y, z, par M la masse totale du système et par X, Y, Z les coordonnées de son centre de gravité, les formules (2) de la page S8 nous donnent de la même manière :

MX=2:wfcr, MY=2wy , MZ = Sw5 .

DifTérentions par rapport au temps chacun des termes de ces équations, nous aurons

dt dt' dt dt^ dt di

Ces trois égalités entre les projections du produit MV de la masse M par la vitesse V du centre de gravité et les sommes des projections des produits analogues pour les divers éléments sont la même chose que TéquipoUence

MV(=) Hgmv.

qui les résume et qui résulte immédiatement de celle (3) que nous avons écrite page 257, en y substituant m et M à n et N. Elle montre que la vitesse V du centre de gravité dwi système est égale à la somme géométrique des quantités de mouvement des divers éléments de ce système divisée par sa masse totale^ et les trois équations entre les projections, qui peuvent, en désignant toujours par les indices x, y, z, des projections sur les trois axes coordonnés, s'écrire :

M y, = Imvx , M Vy = Hmvjf , M Vj == Smr-,

s'énoncent en disant que la somme des projectiOnSj sttr un

THÉORÈMES GÉNÉRAUX PK LA MÉCANIQUE 34i

(ixe quelconque, des qvuinVtês de mouvement d!un système matériel est égale à la projection y sur le même axe y de la qiumtité de mouvement du centre de gravité, en y supposant concentrée toute la masse du systènie.

DifFérentions une seconde fois, par rapport au temps, nous obtiendrons :

Ces trois équations auraient pu, comme les précédentes, êlre déduites directement de Téquipollence (ij de la page 257, auxquelles elles sont équivalentes.

Considérons l'un des termes des seconds membres de ces équations ; il est le produit de la masse d'un élément par la projection, sur Tun des axes, de Taccélération de cet élément, il est donc égal, par définition, à la projection sur cet axe, do la force motrice de l'élément considéré. En faisant la somme des projections, sur le même axe, de toutes les forces qui agissent sur les divers éléments, les projections des forces intérieures disparaîtront de la somme, dans laquelle il ne restera que les forces extérieures, et nous aurons ainsi, en dési* gnant par F la force extérieure agissant sur l'élément quel* conque de masse m :

•a* rf*X „„ »*■ ^Y .^~, -mmd^It „„

M-=2F. , M- = SF, , M-==2F, .

ce qui montre que la projection, sur un axe quelconque, de la force motrice du centre de gravité, supposé avoir la masse totale du système, est égale à la somme des projections, sur le même axe, des forces extérieures qui agissent sur ses divers éléments.

On énonce ordinairement ce théorème sous la forme suivanie :

Le mouvement du centre de gravité d'un système matériel est le même que si toute la mass' du systène y était concentrée et toutes les forces extérieur- s transportées parallèlf*ment à ellrsmêmes.

C'est ce que nous avons déjà trouvé directement au n'' 170 et

àt2. CHAPITRE NEUVIÈME

ce théorème porte le nom de théorème du mouvement du centre de gravité.

- On peut donner des exemples simples de son application :

Considérons un projectile pesant, supposé lancé dans le vide à la surface de la terre ; nous savons qu'un point matériel, dans les mêmes conditions, décrit une parabole dont nous avons déterminé les élémcnls (n"" 80), le centre de gravité du projectile parcourra donc celte parabole; et s'il vient à éclater pen* dant son trajet, le centre de gravité du système de ses frag'ments continuera à décrire la même trajectoire pendant que ceux-ci seront projetés dans tous les sens, jusqu'à ce que Ton d'eux vienne à rencontrer un obstacle qui lui imprimera une nouvelle accélération suiiisante, peut-être, pour le ramener au repos ; à partir de ce moment, chaque nouvelle accélération imprimée aux divers fragments devra s'ajouter géométrique* nient à celle du centre de gravité pour modifier la forme de sa trajectoire.

Les théorèmes généraux de la mécanique s'appliquent à tous les systèmes matériels.et les êtres animés ne font pas exception.

Si Ton imagine un être animé, absolument isolé dans Téspâce, soustrait à l'action de toute force extérieure, son centre degravité restera immobile,, ou s'il est en mouvement, conservera une vitesse constante, quels que soient les mouvements que cet être imprime à sçs divers membres : mouvements qui sont le résultat d'actions intérieures, lesquelles sont sans influencé sur le centre de gravité. Si cet être animé, un homme par exemple, est soumis à Taction de la pesanteur et placé sur un sol horizontal d'une nature telle qu il ne puisse exercer que des réactions verticales (condition de laquelle se ^approchent les plans parfaitement polis comme laglacek les seules forces extérieures étant ainsi verticales, son centre de gravité ne pourra se mouvoir que sur une verticale ; ce point s'élèvera ou s'abaissera suivant que la réaction du plan sera supérieure ou inférieure au poids de l'homme qui s'y appuie. Les mpuvements intérieurs de celui-ci pourront faire varier, dans certaines limites la réaction dont il s'agit, suivant les accélérations verticales qu'ils donneront au centre de gravité ; mais il lui sera impossible de se mouvoir horizonU^ement.

.. Le mattvement horizontal ne peut avoir lieu qu'autant que le plan horizontal sur lequel ons*appuiepeut exercer uneréac^: tion oblique, c'est-à-dire ayant une composante horizontale, et c'est cette composante qui produit la composante horizontale du mouvement du centre de gravité.

On sait combien il est difficile d'avancer sur un sol glissant. L'elTet de recul qui se produit alors provient de ce que le marcheur a porté en avant la partie supérieure de son corps, et s'il ne trouve pas sur le plan d*appui une réaction horizonlale suffisante, le centre de gravité ne peut pas progresser autanl que le comporterait l'avancement de la partie supérieure ; alors la partie inférieure se porte en arrière.

tH^, Théorèmes de» qaantités de moiiveiiient projetées sur an axe. — Ecrivons, maintenant, pour chacun des points matériels qui composent le système, l'équation qui exprime le second théorème des quantités de mouveaiétit :

F«rf/.

et additionnons toutes ces équations; le premier membre nous donnera la différence des sommes :

c'est-à-dire l'accroissement total de la quantité de mouvement projetée sur l'axe des x. Dans le second membre, nous aurçns

la somme des intégrales / F^dt^ ou ce qui revient au même

Tintégrale f SlF^dt, car peu importe l'ordre dans lequel oi\

groupe, pour les additionner, les divers éléments d'une somme. Or, dans la somme SF^ des composantes des forces suivant Taxe dus x^ les forces intérieures disparaissent puisque ces forces, égales et directement opposées, ont deux à deux des projections égales et de signe contraire. 11 ne reste dans la somme que les forces extérieures. ' ' *

Nous aurons donc, en désignant par F« Tune quelconque des forces extérieures :

ce que Ton peut écrire encore :

V accroissement de la quantité de mouvement dun système matériel projeté sur un axe quelconque^ est égal à la somme des impulsions totales des projectiotis^ sur le même axe, des forces cxtérie%(res qui ar/issent sur le système.

t9«. Théorème dc« inoiiieiit« des qiiaDtitéfi de m^u* vemeot. — Opérons de la même manière sur Téquation qui exprime le troisième théorème:

Mz m V — M; Wt^o = r M: ^ dt,

nous obtiendrons :

SMzWt;— 2il^mt;o = 2 f Mz^edt.

et ici encore, les moments dus aux forces intérieures disparaissent du second membre où il ne reste que les impulsions des forces extérieures :

L'accroissement de la somme des moments^ par rapport à un axe quelconque^ des quantités de mouvement dun système matériel est égal à la somme des moments, par rapport au même axe, des impulsions totales des forces exté^ Heures qui agissent sur ce système.

Ces deux théorèmes auraient pu être déduits immédiate* ment de ceux que nous avons démontrés au chapitre YII, h<>' 134 et 135; nous en déduirons^en les appliquant aux systèmes matériels, les conséquences que nous en avons déduites alors pour les systèmes de points,

Tout d^abord, en différentiant par rapport au temps la der* niëre des équations ci -dessus, nous obtenons :

Si donc nous portons, sur un axeO^(iig. 123 ^/.s), une longueur

Omz égale à la somme algébrique des moments des quantités de mouvement du système par rapport à cet axe, la vitesse du point mz extrémité de cette ligne, sera égale à la somme algébrique des moments, par rapport au même axe, des forces extérieures agissant sur le système. Opérons de même sur les deux autres axes Ox, Fig. 125 bu, Qy Q^ construisons la ligne Om qui

sera le moment résultant des quantités de mouvement du système par rapport au point 0; comme nous Tavons déjà montré plusieurs fois, la vitesse du point m dans l'espace sera équipollente au moment résultant des forces extérieures par rapport au point 0. Ce que Ton énonce ainsi :

Le moment résultant par rapport à un point fixe quelconque des forces extérieures qui agissent sur un système matériel^ est égal en grandeur^ direction et sens à la vitesse de V extrémité de la ligne qui représente lemomei%t résultanty par rapport au même point, des quantités de mouvement du système.

197* Prinelpe de la ooititervAtion de» aires. - Enfin, nous pouvons considérer les aires décrites par les projections, sur un plan, des points du système matériel, comme nous Tavons fait au n» 136. Nous avons, dans les seconds membres des équations, les moments des forces au lieu des moments des accélérations que nous avions alors, et cela nous conduit à mettre, dans les premiers membres, les moments des quantités de mouvement mv au lieu des moments des vitesses V Pour pouvoir conserver les énoncés relatifs aux aires décrites, il faut qu'il soit entendu que ces aires sont respective-

ne CHAPITRE NEUVIÈME

ment multipliées par les masses des points auxquels elles se rapportent. A pari cette addil ion, tout ce que uous avons di^ au n"" 136 s applique en mettant le mot force au lieu du mot accélération, et nous croyons inutile de reproduire le raisonnement. Nous arrivons k ainsi démontrer le prvicipede la conservation des a'*res :

Lorsquun système matériel est en mouvement sous faction de forcrs extérieures ayant un résultante unique passant conS' tamment par un point fixe, la somme des produits dt-s masses des éléments par If s airt^s '^écrites dans t uni té de tewps par hs projections^ sur un plan quelconquf, des rayons vectturs joignant ces éléments au point fixe est constante.

Et, parmi tous les plans que Ton peut mener par le point fixe, il en est un pour lequel cette somme des produits des masses des éléments par les aires est la plus grande possible; on l'appelle, comme pour un système de points, le plan du maximum des aires: sa direction est invariable dans tout sv8« tëme matériel en mouvement sous Taction de forces ayant une résultante unique, lorsque cette résultante passe constamment par un point fixe.

t9H. ISuLeaiples flitmillerfi die rapplieatlon 4e c^es tliéerèmes. ^ Les deux théorèmes des quantités de mouvement, que nous venons de démontrer pour les systèmes matériels, ont de très nombreuses applications. Le fait qu'ils ne contiennent que les forces extérieures permet de les employer pour résoudre une foule de problèmes qui seraient inextricables si Ton devait faire intervenir les forces intérieures. Nous citerons par exemple tous les problèmes relatifs aux mouvements de Teau dans les cours d'eau, pour lesquels l'emploi des théorèmes des quantités de mouvement est pour ainsi dire obligatoire, sous peine de n'obtenir que des approximations plus ou moins grossières. Nous nous contenterons ici de donner quelques cxi^mples familiers de leur application.

Considérons une arme à feu contenant un projectile et de la poudre explosive : lorsque la poudre s'enflamme, le projectile est lancé en avant, mais comme Taction de la poudre est une force inlérieurey elle ne figure pas. dans les équations des

quantités de aiouvement,et si nous supposons qu*aucune fo^ce extérieure ne soit appliquée à l'arme ni au projectile, la quantité de mouvement projetée sur un axe quelconque, nulle avant L'explosion, devra être nulle après. Cela ne pourra avoir lieu qu autant que Tarme prendra une vitesse de sens contraire à celle du projectile et en raison inverse de leurs masses. C'est, en effet, ce qui se produit et ce que l'on appelle le recul des armes à feu. La. vitesse de ce recul est ordinairement modérée par des obstacles imprimant à l'arme une accélération en sens contraire; mais, si Tarme était complètement libre, elle prendrait là vitesse que nous venons d'indiquer.

Considérons encore un navire floUant sur une eau tran* quille; l'ensemble du navire et de Teau qui l'entoure constitue un système matériel que nous supposons soustrait à Taction de toute force extérieure autre que celle de la pesanteur. Si le navire est muni d*un appareil propulseur capable de le mettre eh mouvement eh agilant l'eau qui Tentoure, il faudra que la somme des quantités de mouvement projetées sur un axe horîzon'al soit nulle comme lorsqu'il était au repos, c'est à-dire que s'il prend, en avant, une vitesse quelconque, il devra refouler en arrière une certaine masse d'eau et lui imprimer, en sens inverse du mouvement qu'il prend, des vitesses telles que la somme des projections des quantités de mouvement sur J'axe horizontal reste constamment égale à zéro.

Ce que nous disons d*un navire s'applique à un aérostat, et pour le faire progresser dans un air tranquille il faul mettre en mouvement, en sens contraire, une masse d'air telle que sa quantité de mouvement projetée sur un axe horizontal soit égale à la quantité de mouvement delaérostàt. Or, en général, la masse de l'aérostat correspond à un vol ii me d'air considérable par rapport aux dimensions des appareils qui peuvent le mettre en mouvement, ce qui revient à dire que l'où ne met en mouvement qu'une masse d'air très petite, par rapport à celle de l 'aérostat et que, par suite, la vitesse que l'on peut imprimer à celui-ci n'est qu'une, fraction extrêmement petite de celle des appareils propulseurs.

C'est là une des difficultés de ]si dirfCtio7i des aérostats.

348 CHAPITRK NEUVIÈME

169. MofiTeiiieiit de la (oapie. — Nous allons donner un exemple lamilicr de Tappiicalion du théorème des aires.

Considérons une toupie, c'est-à-dire un corps de révolution reposant par une pointe sur un plan horizontal et animé d un mouvement de rotation autour de son axe. Si le plan n^exerce qu'une réaction verticale, les forces extérieures appliquées à la toupie, (son poids et celte réaction) sont dirigées suivant la même ligne droite et ont une résultante nulle, à la condition que l'axe soit parfaitement vertical; alors la somme des projections des aires sur un plan quelconque devant être cons* tante, la rotation de la toupie continuera indéfiniment avec la même vitesse tant qu'il n*interviendra pas une force extérieure.

Supposons maintenant que Taxe soit incliné d'un certain angle sur la verticale, et supposons toujours que le plan parfaitement poli, sur lequel s'appuie la pointe, n'exerce qu'une réaction verticale égale au poids de la toupie. Si l'on considère Taxe do ce corps, le moment des forces extérieures, par rapport à cet axe, sera constamment nul et par suite la somme des aires projetées sur un plan perpendiculaire devra croître proportionnellement au temps, c'est-à-dire que la toupie conservera encore, autour de son axe, un mouvement de rotation uniforme. Mais considérons le plan vertical mené par cet axe et contenant les deux forces extérieures ; la somme des moments de ces forces, par rapport à un axe perpendiculaire à ce plan, n'est pas nulle et par conséquent la somme des projections sur ce plan des aires décrites dans l'unité de temps par les points de la toupie ne peut pas être constante, ce qui aurait lieu si l'axe de la toupie restait immobile dans l'espace.

Col axe va donc se déplacer progressivement de manière à ce que, conformément au théorème des moments des quantités de mouvement, les aires projetées sur ce plan vertical croissent proportionnellement au temps et au moment des forces extérieures par rapport à Taxe considéré. Si nous répétons le même raisonnement dans la nouvelle position de Taxe de la toupie, nous reconnaîtrons qu'il devra se déplacer de nouveau, de la même quantité dans le même temps et ainsi de suite : son mouvement est donc uniforme.

D'un autre côté, la somme g-éométrique des forces extérieures appliquées'à la toupie étant nulle, son centre de gravité doit rester immobile. L'axe de la toupie décrit donc un cône de révolution à axe vertical dont le sommet est le centre de gravité qui reste fixe.

Ordinairement, les choses ne se passent pas tout à fait ainsi ; le plan sur lequel repose la toupie peut exercer, outre la réaction verticale égale au poids, une réaction horizontale s'opposant au mouvement de la pointe. C'est alors autour de la pointe, rendue fixe, que tourne Taxe de rotation, et le centre de gravité prend un mouvement circulaire horizontal du a la réaction horizontale dont il s'agit.

C'est aux irrégularités de cette réaction du plan sur la pointe et aussi à ce fait que le contact ne s'effectue jamais suivant un simple point mathématique, mais sur une surface d'une étendue très petite, mais finie, qu il faut attribuer les variations accidentelles que l'on observe dans le mouvement de la toupie : la modification de l'angle que forme l'axe avec la verticale, le ralentissement du mouvement de rotation, etc., et ces phénomènes s'expliquent tout aussi bien que les précédents, au moyen des théorèmes généraux que nous avons démontrés.

!•#. £lfet d^une pereusMion uur un eorps solide. —

Nous avons désigné sous le nom de percussion (n^ 150) le fait d'imprimer à un point d'un système invariable une accélération très grande pendant un temps très court. Appliquée aux corps naturels, cette définition deviendra l'action, sur un point d'un corps solide, d'une force très grande pendant un temps très court ; ou bien telle que, pendant la durée très petite de son action, on puisse négliger l'effet des autres forces agissant sur le même solide.

Le nom de percussion se donne aussi, pour simplifier le langage, à la force qui produit la percussion.

Pour évaluer l'effet d'une percussion sur un corps solide, nous pouvons étudier séparément le mouvement d'ensemble imprimé au solide, c'est-à-dire le mouvement de son centre de

gravité, puis le mouvemeat du solide par rapport à soo centre de gravité considéré comme fixe.

Considérons d*abord le mouvement du centre de gravité.

ç Soit AB, fig 12(), la trajectoire de ce point avant la percussion, et BC aa quantité de mouvement, égale à MV, lorsqu'il est au point B, en appelant M la masse et V la vitesse du centre de gravité du solide. H subit en ce point TefFet d'une pression P pendant un temps très court 0, Timpulsion de cette force,

Pdt, sera représentée par esemple par la ligne BD et l'impulsion des autres forces étant négligeable, la quantité de mouvement MV\ après la percussion, sera la somme géométrique de la quantité de mouvement MV représentée par BC et de rimpulsion représentée par BO. Elle sera donc représentée par BC, somme géométrique des deux lignes BC et BD. La trajectoire du centre de gravité présente ainsi en B une sorte de point anguleux, puisque deux tangentes BC, BC très voisines Tune de l'autre font un angle incomparablement grand par rapport à la distance de leurs points de contact.

Etudions maintenant le mouvement autour du centre de gravité considéré comme fixe, et, pour simplifier, supposons que le corps solide soit au repos au moment où il subit la percussion. Nous pouvons admettre, sans commettre d*erreur appréciable, que pendant la durée très petite de la percussion le solide conserve, par rapport à la direction de cette force, une position constante, c'est-à-dire que la direction et le point d'application de la force de percussion restent constants par rapport au centre de gravité.

Considérons le plan mené par le centre de gravité G du solide et par la direction de la percussion P. Le centre de gravité étant regardé comme fixe, menons par ce point une droite quelconque 6M rencontrant la direction de la percussion La somme des moments des impulsions de cette force par rapport à GM est nulle, il en sera de même do l'accroissement de la

somme des moments des quantités de mouvement par rapport à cette ligne. Or celle somme était nulle avant la percussion, elle est donc encore nulle après. Si la somme d$s moments des quantités de mouvement par rapport à 6.M est nulle, cela veut dire que le moment résultant des quantités de mouvement par J^pport à un point quelconque de cette ligne, au point G par exemple, est perpendiculaire à sa direction, ou que le plan dii maximum des aires contient la droite GM. Comme cette droite est quelconque, ce plan du maximum des aires est le plan mené par le centre de gravité et la direction de la percussion.

En rapprochant ce résultat de ce que nous avons démontré au n"" 158, on reconnaîtra que le mouvement du solide est une rotation autour du diamètre de Tellipsoïde central d'inertie conjugué au plan dont il s*agit et Ton déterminera facilement la vitessse angulaire de la rotation.

Reprenons les notations de ce numéro 158. L'équation (6), page 300, nous donne :

/et i sont des longueurs connues, d'après la forme du solide donné, puisque l'on peut construire son ellipsoïde central d*inertie et déterminer la longueur /du diamètre conjugué au plan contenant la percussion et le centre de gravité ainsi que la distance S de ce centre au plan tangent mené à Textrémité de ce diamètre.Quant à A:, c*est le moment résultant des quantités de mouvement et, puisque la quantité de mouvement était nulle avant la percussion, c'est le moment, par rapport au centre de

gravité, do l'impulsion totale / Pdi de la force de percussion P.

La vitesse angulaire de la rotation étant ainsi déterminée, ainsi que la direction de Taxe autour duquel elle s'effectue, on aura le mouvement du solide dans Tespace en composant le mouvement de son contre de gravité, considéré comme une translation avec cette rotation. Le mouvement résultant sera ainsi, en décomposant cette translation suivant une parallèle à l'axe de la rotation et suivant une perpendiculaire, un mou-

a52 CHAPITKK NBUVlÉMIi

vement hélicoïdal dont Taxe inslaulané de rolatioD cl de glissement sera parallèle au diamètre de lellipsolde central conjugué au plan qui contient la percussion, et dont le glissement sera la composante de la translation parallèle au même axe.

191. Division en deux parlle» de la faree vive totale d'an «ystème. — Nous avons démontré (n"" 130), pour un syslcme de n points géométriques la relation suivante, dans laquelle v représente la vitesse d'un point quelconque, V celle du centre de gravité et v' la différence géométrique

de la vitesse d*un point quelconque et de la vitesse du centre de gravité, que nous avons appelée vitesse non-translatoire de ce point :

Cette équation étant applicable aux systèmes matériels dont les masses sont proportionnelles aux nombres des points, appelons m la masse de l'élément dont la vitesse absolue est v et dont la vitesse non translatoire est v\ et M la masse totale du système, nous aurons, eji divisant par 2 les deux membres de Téquation :

La demi' force cice ou puissance cive d'un système tnatêriel est égale à la demi-force vive qu'il aurait si toute sa masse avait la vitesse de son centre de gravité, augmentée de celle qui correspond aux vitesses non-translatoires de ses dicers éléments.

f st. Théorème des ferees vive» et da travail. — Ecrivons, pour chacun des éléments d'un système matériel, l'équation suivante que nous avons démontré (n"" 182; pour un point matériel :

iiiv* ait ' /H

(1) -r--i^= r(F.^x+F,dy+F,rfî) = TF

THÉORÈMES OÉMiHAlJX bfc; LA MECAiNJuLt: 353

et additionnons terme à terme toutes ces équations, nous aurons :

(2) S — -2— = 2tF.

La demi-force vive acquisey ou F accroissement de la deifii-forcevive d'un système maténel pendant un temps quelconque est égale A la somme des travaux des forces qui ont agi sur lui pendant le même temps.

Désignons comme plus haut par .M = Zm la masse totale du système, par V et Vo les vitesses de son centre de gravité cl par R la somme géométrique des forcos exterinim F* (jui agissent sur le système ; le mouvement du centre de gravité étant le même que celui d'un point matériel de masse M, soumis H la force R, nous pouvons écrire :

car le travail de la résultante H est égal à la somme des travaux des forces extérieures F qui sont ses composantes. On peut donc, et c'est là une remarque très importante, appliquer le théorème des forces vives au mouvement du centre de gravité des systèmes matériels, en y supposant concentrée la masse totale du système et considérant les travaux des forces extérieures supposées transportées parallèlement à elles-mêmes à ce centre de gravité.

19S. Travail de» forces Intérieures. — Mais, lorsque l'on applique ce théorème aux mouvements individuels des divers éléments, il faut tenir compte du travail des forces intérieures, qui figurent dans le second membre de l'équation (2) ci-dessus.

Le travail des forces intérieures peut, dans certains cas, ùtre évalué facilement. Ces forces étant réciproques, soient M, N, fig, 127, deux points d'un système soumis à deux forces intérieures /*, égales et directement opposées et M', N' les positions de ces points après un instant infiniment petit. Projetons CCS points en P et Q sur la direction MN. Le travail de la force

354 CHAPITRE iNEUVlÉME

/agissant sur le point M est égal à — /X MP et celui de la force / agissant en N à /*XNQ, la somme de ces travaux est

Fig. 127.

égale à/'(NQ — MP) ou bien, en ajoutant aux deux termes de cette différence la partie PN, égale à /(PQ — MN). Or, si r est la distance MN, r -{- dr\gL distance M'N\ les deux lignes M'N' et MN faisant entre elles un angle infiniment petit, la projection PQ de M'N' est égale, à un intiniment petit du se* cond ordre près, à M'N' ou à r-i-dr^ le travail des deux forces que nous considérons est donc égal à f{r-\'dr — r\ =fdr^ ou au produit de la force intérieure qui agit sur chacun des deux points par Taugmentation de leur distance.

Ce travail est positif lorsque les deux points ont pris l'un par rapport à l'autre un mouvement dans le sens que la force tend à leur imprimer, c'est-à-dire s'ils se sont éloignés, la force étant répulsive, ou rapprochés si elle est attractive.il est négatif dans le cas contraire.

Il en résulte que si la distance de deux points d'un système na pas changé, le travail élémentaire de Uur action mutuelte est nul.

On a très souvent, en mécanique, à considérer le mouvement de corps solides dont toutes les parties conservent des dimensions sensiblement constantes, et alors les travaux des forces intérieures sont négligeables.

Il en est de même, encore, lorsque la distance mutuelle de deux points redevient la même après avoir changé, si l'on admet, ce que Ton peut faire généralement, que l'action qui s'exerce entre ces deux points ne dépende que de leur propre distance.

Si les deux points se rapprochent après s'être éloignés, par exemple, le travail dans chacun des déplacements élémentai-

THEOREMES GÉNÉRx\UX DE LA MÉCANIQUE 355

res successifs de Tune des phases sera égal et de signe contraire à celai qui s'était produit dans le déplacement correspondant de Fautre phase, et alors le travail total de l'action intérieure sera encore nul.