C!1AP. X. - FORCES VIVKS ET TRAVAIL

d'une surface do niveau \(x, y, 2) = C à une aulre surface Y(.r, y, Z) =-^ C, esl exprimé par la différence C — C des deux valeure de la fonction V correspondant aux deux surfaces de niveau conlonanl le point d arrivée et le point de dépari du mobile.

Nous venons de déterminer la direction de la force, normale à la surface de niveau, nous pouvons aussi en déterminer le sens.

Considérons un point M, iig. 129, la surface de niveau qui passe par ce point et la direction MF P de sa normale, qui est celle de la force. Soit V= C Téqualion de celte surface, et V= C+rfC celle d'une surface de niveau infiniment voisine qui Fig. 129. rencontre en M' la direction de la force MF. Désignons par ds la distance MM' et attribuons au point mobile précisément ce déplacement MM'=rf5. Ce déplacement s'efTectuant suivant la direction de la force, le travail a pour expression ¥ds et il esl mesuré aussi, comme nous venons de le dire par la différence C -)- rfC — C= rfC des valeurs de la fonction V corrc' pondant aux surfaces de niveau contenant le point d'arrivée et le point de départ. On a ainsi

Fds .-- rfO.

Si nous avons compté positivement ds dans le sens de la force, le premier membre de cette équation est positif et il en est de même du second ; par conséquent, la force esl dirigée, sur la normale à la surface de niveau, du ccMé de cette surface vers lequel la fonction V va en croissant.

tus. Pottitlous d'équilibre du poiot mobile. — S*il existe dos points de l'espace pour lesquels la force F s'annule, il en est de même de ses composantes Fr, Fy, F- el, en ces points, la différentielle totale de la fonction V devient égale h zéro, ce qui veut dire que celte fonction passe par un maximum ou un minimum. Ces points, pour lesquels la force F est nulle, sont les positions d'équilibre du point mobile, c'est-à-dire que placés en ces points au repos, ils y resteront indéfiniment puisque Tarcélération qui lour est imprimée est nulle.

du X- du y dn , , . z

Or, Ton a:

s/a^+if-^s* ,

et, par suile :

dr ^ dx

dr

dy^

r ^ dz r '

substituons dans les équations précédentes et remplaçons-y

ç' (r) par --, nous aurons :

dn d^ dr du dr» dr dU d^ dr

dx dr dx ' dy dr dy ' dz dr dz ^

ce qui montre que les trois dérivées partielles de la fonction Il par rapport aux trois coordonnées sont égales et de signe contraire à celles de la fonction o. Ces deux fonctions ne difïerent donc que par le signe et par une constante et nous pouvons écrire :

Nous aurions pu arriver directement à ce résultat en remarquant que le travail élémentaire de la force F constamment dirigée vers un point fixe, égal au produit de cette force par la projection sur sa direction de Tespace parcouru par le mobiIe,a pour expression Frfr, car celte projection est précisément égale à dr. D'un autre côté, le travail élémentaire est la différentielle totale de la fonction de force V, nous avons donc ainsi :

dV = Frf?-=(p'(r)rfr,

d où :