CHAP. X. — FORCES VIVES ET TRAVAIL

quelle que soit la forme de la trajectoire et par conséquent cette intégrale ne pourra être qu'une certaine fonction de« coordonnées du point M.

Désignons par V x, y, z) cette fonction, supposée connue, des coordonnées a?, y, z. Au point Mo aro, y^^ z^ cette fonction a pour valeur V(â:o, y^, ^o) ^t nous pouvons écrire :

{i)TY=fj^¥.ix+¥,dy + ¥,dz)^S{x.y.z)^S{^^^^

Appliquons cette équation à un déplacement infiniment petit, ce qui revient à prendre la différentielle totale des deux mem* bres, nous aurons :

(2) F,Ar+F,dy+F,d2=dV=g(te + ~rfy + grfz,

puisque la fonction V ne dépend que des trois variables x, y, z. Celte équation devant avoir lieu quel que soit le cbemin infiniment petit parcouru, ou bien être vérifiée pour toutes les valeurs quelconques de dxy dy^ dz^ il est nécessaire que Ton ait :

dV dV ifV

Par conséquent, pour que la condition que nous nous sommes proposée soit satisfaite, c'est-à-dire pour que le travail d'une force F, agissant sur un point matériel en mouvement ne dépende que de la position initiale et de la position finale de ce point et non du chemin parcouru entre les deux, il est nécessaire d'abord que la force ne soit fonction que des coordonnées du point, et ensuite que les trois projections de la force, sur trois axes rectangulaires, soient les dérivées partielles, par rapport aux trois coordonnées, d'une même fonction de ces coordonnées.

Il est facile de vérifier, d'ailleurs, que cette condition nécessaire est en même temps suffisante, c'est-à-dire que si un point est soumis à l'action d'une force F dont les composantes F,,

Fy, Ff suivant les trois axes sont les dérivées partielles 'T^y»

dV

— d'une même fonction V des coordonnées du point, le travail

de celte force ne dépendra aussi que de ces coordonnées, c*està-dire des positions initiale et finale du point et nullement de la forme de la trajectoire suivie entre les d^îux. 11 suffit, pour démontrer cette réciproque, de reprendre en sens inverse le raisonnement précédent. Si, en eiïet, Ton a les trois équations (3), en les multipliant respectivement par dx, dy. *iz et les ajoutant, on a la précédente (2) laquelle intégrée donne bien celle (1) qui exprime ce qu'il fallait démontrer. La fonction V(â:, y, z) porte le nom de fonction de force.

f Sft. Propriétés des surfaces de niveau. — Considérons la surface représentée par Téquation

V [Xy y, z) =une constante C,

que Ton appelle surface de niveau de la force F. Si le point mobile se déplace sur cette surface, le travail de la force sera identiquement nul puisque la fonction Y à la même valeur G en tous ses points. Si, en particulier, nous considérons un dé« placement infiniment petit quelconque, sur lasurface de niveau, les projections de ce déplacement sur les axes étant dx, dy, dz et le travail de la force F étant nul comme nous venons de le dire, nous aurons

¥xdx-^¥^dy+Y„dz=Q\

ce qui montre que la direction de la force est normale à celle du déplacement, et comme celui-ci peut avoir lieu dans une direction quelconque sur la surface, on en déduit que la force est normale à la surface de niveau.

Remarquons d'ailleurs que par tout point de Fespace il passe une surface de niveau ; en effet si Ton met dans la fonction V, pour X, y, z, les coordonnées de ce point, la fonction prendra une certaine valeur qui sera celle de la constante C particulière à la surface passant parle point considéré.

Le travail d'une force, lorsque son point d'application passe