MV

c’est-à-dire à la force vive que possédait la masse M avant le choc,

multipliée par le quotient de la masse M ' et de la somme de ces masses *,

La moitié »Ie cette valeur sera donc aussi (188) la mesure do travail développé, par la force do réaction F, pour opérer la compression des deux corps.

Si le clioc finit à l’instant de la plus grande compression, que les corps soient ou non sans élasticité (189), la quantité ci-dessus donnera encore la perte de force vive occasionnée par le changement d'état ou de forme de ces corps.

Mais, si le choc continue après l'instant dont il s’agit, une portion de cette force vive sera restituée dans le débandcinent des ressorts moléculaires j et, si les corps étaient parfaitement élastiques, cette même force vive serait entièrement restituée. C’est, en effet, ce qu’on trouve par des opérations analogues à celles ci-dessus, appliquées aux valeurs des vitesses qui, selon le n° 188, ont lieu alors après le choc.

162. Conséquences particulières. Supposons que la masse M' du corps choqué (A'), fig. 88 , et qui est au repos avant le choc, soit très-petite par rapport à celle M du corps choquant (A), M' sera aussi très-petit par rapport à M M' ; et par conséquent la perte

de force vive

M V% relative au cas où ces corps ne sont pas

élastiques, se réduira A une très-petite fraction de celle MY' qu’ils possédaient avant le choc. On peut, dans des circonstances semblables, négliger une telle perte dans le calcul des résistances d’une machine, pourvu que le choc ne soit pas fréquemment répété (98); mais il en est tout autrement quand la masse M' du corps en repos est très-grande par rapport à celle M du corps choquant ; car la

fraction pourra approcher beaucoup de l’unité, et par

conséquent la perte de force vive, de la force vive MV’ possédée par ce dernier corps avant le choc. Supposant seulement M' = M, la valeur de cette fraction sera 7 , et la perte s’élèvera déjà à la

* Nous enfi^ageons les lecteurs peu accoutumés aux calculs avec des lettres , à répéter la 8cric îles raisonnemeoU sur uu exemple particulier, en se rappelant (f x5) que la matte tl’iin rorps est le quotient de son poids par g ou 9", 8088 ss g», 81 enTiroo.

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Ii8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

nioitié deMV*. On voit donc combien il est essentiel d'éviter, dans la construction des machines, qu'un corps vienne inutilement choquer un autre corps en repos, dont le poids est comparable au sien propre.

Nous disons inutiievient, parce qu'en effet, il est quelquefois utile d'opérer par le choc sur la matière à confectionner ; c'est ainsi, par exemple, que procèdent les forgerons pour donner différentes formes aux métaux, et que les cordonniers parviennent à étendre les semelles de cuir et à augmenter leur densité, leur roideur on leur force de ressort ; mais alors même un ouvrier, qui a l’expérience de son art, ne manque jamais d’«mpIoyer des marteaux, des enclumes bien aciérés et trempés, ou tout autre corps plus ou moins élastique, conformément à la remarque qui en a déjà été faite n° 96; de sorte que la consommation de force vive qui a lieu alors (1S9), est, du moins en très-grande partie, employée à produire le changement de forme du In matière à confectionner.

C’est encore ici le lieu de rappeler (9S) qu'il ne suffit pas que les corps soient élastiques pour qu’on puisse affirmer qu'il n’y ait pas eu consommation inutile de travail ; car il faut encore que la force vive, qui est restituée par les ressorts moléculaires après le choc, soit utilement employée. C'est bien ce qui arrive, par exemple, à l'égard du mgirleau des forgerons, puisque l'élasticité, en renvoyant le coup, sert à élever le marteau contre l’action de la pesanteur, et aide la main de l'ouvrier habile qui sait en profiter; mais le contraire peut aussi arriver, si, par exemple, l’enclume est assise sur un terrain mou : la force vive qu'acquiert celte enclume est alors, en partie, consommée à produire l’enroncement du sol ; aussi les maîtres de forge entendus ont-ils soin de placer de gros blocs de bois ou des charpentes très-élastiques sous leurs enclumes. Il n'est pas moins indispensable aux ouvriers de tous les autres états, de choisir, pour leurs chantiers et établis, des corps à la fuis élastiques et peu flexibles; il faut en outre qu’ils soient suffisamment lourds, car alors ib prendront peu de mouvement (160), et, acquérant une force vive très-faible, ils auront très-peu d’action pour comprimer le sol ; de sorte que, malgré le peu de ressort que ce dernier possède, il se comportera néanmoins alors (19) comme un corps parfaitement élastique.

163. Formules relalires au cas le plus génial du choc direct. Jiis-

qu’ici nous nous sommes uniquement occupés du cas où l’un des deux corps est en repos ; mais il n’est pas inutile de montrer comment on peut étendre immédiatement les raisonnements à celui où les corps seraient animés de vitesses quelconques avant le choc.

A cet effet, nommant M, M' les masses, V, V' les vitesses respec- , tives des deux corps avant le choc, et U leur vitesse commune à l’instant de la plus grande compression, on observera que, quand les corps cheminent dans le même sens, fig. 86, la force de réaction F (15-4), diminuant la quantité de mouvement MV du corps (A) de quantités égales à celles qu’elle ajoute à la quantité de mouvement M'V' de (A'), la somme MV -j- M'V' des quantités de mouvement primitives, reste encore la même à toutes les époques du choc. On a donc, à l’instant où lu vitesse est U pour les deux corps,

MU -f M'U ou (M -f- M-) U = MV -f M'V' ; d’où U =

tandis que, sdans le cas où les deux corps (A) et (A') vont à la rencontre l’un de l’autre, fig. 87, animés des quantités de mouvement MV, M'V', la force de réaction diminuant chacune d’elles de la même valeur (184), l^ir différence absolue MV — M'V' ou M'V' — MV demeure aussi la même à tous les instants ; de sorte qu’en supposant que MV surpasse M'V', on aura, à l’instant où la vitesse est U pour les deux corps,

MÜ-}-M'ü üu(M-l-M')U = MV — M'V'; d’oùU= ^^~^ ,

la vitesse U étant nécessairement dirigée dans le sens de celle V, qui répond à la plus grande quantité de mouvement primitive MV.

Quant aux forces vives possédées ou perdues au moment de la plus grande compression, on les calculerait aisément an moyen de la vitesse U , mais on peut arriver immédiatement à la valeur de cette perte, qu’il est souvent essentiel de connaître, en observant que, dans les deux cas dont il s’agit, la réaction des corps s’opère uniquement en vertu des vitesses relatives (46 et 86) dont ces corps sont animés avant le choc ; de sorte que les valeurs de F et les changements d'état ou de forme qui lui correspondent sont, à chaque instant, les mêmes que si, le corps (A'), par exemple, étant au repos, le corps (A) venait le choquer avec une vitesse V — V' égale à la différence des deux vitesses pour le premier cas, et avec

■tr.tT. tsnesT, t. i. 9

150 MÉCANIQUE INDUSTniïLUK.

une vitesse V -[- V' (*(jale n la somme des mêmes vitesses pour celui où les corps inarcliont en sens contraire.

La perte de force vive, qui dépend uniquement (139) de l’intensité de la réaction des deux corps à chaque instant du ohoc , sera donc (161), au moment de la plus grande compression, pour le cas où les corps marchent dans le même sens',