S3.OOU

I elles sont de forme cubique. On les rdduiri aux { et à | pour les pièces de bois dont la > hauteur sera i» et fois le plus |>etilc6lédo la base, aqx f et à ^ pour des barreaux do t fer for]^ dont la bouteur sera i a cl fois le plus petit eète de la base, et aux !• f et j pour du fer fondu selon que la hauteur sera 4 fois, 8 et 36 fois le plus petit côté. On . multipliera par lo, par 5 ou par 4 le coefficient B pour conclure la pression par centimètre ) carré capable d écraser Icspiècesdeboul, selon quelles sont en pierres, en boit ou en fer.

(a et f) Les coefficients H ci T de résistance à la flexion et à la torsion deviennent des I coefficients de rupture en les multipliant par lo, par 3 ou par 4i scion que ia pièce est en boit, ou en fer for^, ou en fer fondu. On ajoutera aux valeurs de T le | eo sus si les secUoui sont circulaires, au lieu d'élrc roetansul lires.

TtaiTB Dt: 3ihG. i:io. âC

73. Déformation et rétirlanct d'ane pUee loumiie 4 Mite foret d» traction, — Si on considère une barre prismatique tirée daus le sens de son axe par une Force l’en kilogrammes en deçà de Celle qui peut altérer l’élasticité du corps, il faut admettre qoe celte force est proportionnelle au rapport de l’allongement l produit à

la longneur primitive L de la barre, c’est-à-dire à Cette même

force devant croître avec le nombre des fibres du corps parallèles à sa longueur, ou avec la grandeur de son équarrissage, ou plus généralement avec l’aire de sa section transversale O, nous aurons

Sans cette formule, E n’est antre chose que le coefficient de l’élasticité donné par le tableau du n° 7S; l el L sont exprimés en mètres, et l’aire O en mètres carrés.

La quantité de travail dépensé par la force Pp pour produire sctr le Corps rallongement dont elle est susceptible, s’estime en mnlti-

pliantcctallongcment parlaforceelle-mëme,oa /par iT X O;

ce produit équivaut h £ y, ~ y t' : ce qui nous apprend que la

quantité de travail de 1a force otl de la résistance de la pièce croit comme les carrés des allongements un comme le carré des forces; car les allongements et les forces correspondantes sont proportionuellcf l’un à l’antre. Si un veut trouver les dimensions d’une barre destinée à tenir suspendue une certaine charge P, en kilogrammes, ou réciproquement calculer la charge que soutiendrait par son extrémité une barre d’un certain équarrissage, on aura recours à la formule P = A y (P, dans laquelle O' exprime l’équarriisago de la pièce en centimètres carrés, et A le coefficient de rétislanco d la traction. Demandons-nous, par exemple, le poids que soutiendra par sa partie inférieure une barre de fer fondu dont lo section transversale est un carré de deux centimètres do mité. On aura Cy = -4 ; d’après lo tableau précédent. A, pour le fer fondu, est de 167 kilogr. D'où

une pareille barre pourra donc supporter 668 kilogr., sans que son

«llaslicilc soit allcrüc. Si on voulait trouver le pnid.i capable de la rompre, il faudrait, d’après l’observation (c)du tableau, multiplier le poids précédent par 6 , en sorte que cette barre devrait être rompue par un poids de 4000 kilogr. environ.

74. Déformation et résUtance d’une pièce eoutnite d une force de eomprenion. — Supposons actuellement une pièce debout chargée à sa partie supérieure par un poids qui tend à refouler scs différentes fibres, et qui soit inférieur à la limite d’un effort semblable et capable d'altérer l’élasticité du corps. L’hypothèse précédente sur les accourcissements qu’éprourCra cette barre devient tout aussi odmissibic qu’à l’égard des allongeinenls qu’elle éprouverait de la part d’une force do traction. Ainsi , on regardera cette force

décompression comme proportionnelle au rapport ~ de l’accourcissement du corps à la longueur primitive; on posera

Psuf X ^ X suite, la quantité de travail dépensée

par l’accroissement de la pièce est égole à £ X*^ X ^ s on est

encore proportionnelle soit nu carre do l’accroissement soit an carré de la résistance opposée par la pièce.

11 est également très-facile de calculer les dimensions d’une pièce debout chargée par le haut d’un poiA donné , ou de déterminer la charge quand les dimensions sont connues, et cela au moyen delà forranle /* = fi ^ O', dans laquelle fi est le coefficient de résistance à la compression, et O' la section transversale delà pièce estimée en centimètres carrés. A la vérité le coefficient fi est donné d’après l’observation (d) du tableau précédent, c’est-à-diro tant que la hauteur de la barre ne dépasse pas 24 fois ou S6 fois sa largeur selon qu’elle est en bois ou en fer: nous verrons plus loin comment on s’y prendra quand les hauteurs s’élèveront au-dessus de CCS limites. Cherchons la charge que doit suiiportcr un pilot de chêne de 29 centimètres de diamètre. Sa section transversale O, estimée en centimètres carrés, est égale à

La longueur du pilot peut être regardée comme comprise eniro

12 fois et 24 fois son diamètre. Le rapport de la résistance du pilot

■ • 8 à celle qn’il aurait s’il était cubique est nne moyenne entre -g

et , on est égal à

On mnltipliera la valeur de'fiss 80 kilogr. .pour le chêne fort, par 1 ; ce qni donne cette autre,

d’on l’on tire Pcronnel évalue la charge d’un pilot i

/VAA t.?1

76. Diformation d’une pièce eoumieeà une force de flexion, et encatlriepar v« bout. — Considérons maintenant une pièce prismatique horiion taie i)£CF( fig. 895 ), encastrée solidement par son extrémité DF et partagée par la pensée en une suite de sections pr, q», perpendiculaires à sa longueur et très-rapprochées. Si, par l’extrémité libre, on fléchit la pièce au moyen d’une force P perpendiculaire à sa longueur, les intervalles rectangulaires qui séparent ces sections entre elles deviennent des trapèxes, de telle sorte que la petite longueur pq de fibre située du c6té de la partie convexe DE s’allonge, et que la petite longueur re de fibre située dn côté de la partie concave FG s’accmircit. Il y a donc une fibre intermédiaire et intérieure qni ne s’est ni accourcie ni'allongée; un nomiQe cette dernière fibre intariable. Duhamel a reconnu, en eflet , par expérience, que pour une pièce horiioutale fléchie, les fibres supérieures s’allongent et les fibres inférieures se refoulent directement. Il a scié la pièce par le bas jusqu’à moitié de son épaisseur environ, et après avoir chassé un coin de bois dans l’intervalle du trait de scie, il a vu que la résistance de la pièce n’était nullement altérée, et qu’elle commençait à diminuer dès que le trait s’élevait aux trois quarts de l’épaisseur. En observant que chaque élément de fibre compris entre deux sections consécutive*

d«Ia piéc« s’allonge ou s’ncconrcit d’autant plus que oette fibre est pins éloignée de la fibre invariable , il est naturel d'admettre que ce? allongements ou accourcissements sont proportionnels aux distances de chaque fibre |>ar rapport à la surface de la fibre invariable. De plus, la résistance de cliacnne d'elles à la flexion est proportionnelle non-seulement à son allongement nu à son accourcissement (8* partie, 73 et 74), mais encore à sa section élémentaire. Ainsi , chaque résistance d’un élément de fibre est proportionnelle au produit d’un élément de la section de la pièce et de la distance de cet élément à la surface de la fibre invariable ; car cette distance est proportionnelle a l’allongement ou à raccourcissement. Toutes ces résistances partielles étant sensiblement horizontales a cause du peu de flexion qq’on suppose A la pièce, et par conséquent parallèles, ont pour résultante une valeur proportionnelle à la somme des produits de chaque élément de la section transversale, mnltiplié respectivement par sa distance à la surface de la fibre invariable, ou bien encore au produit de la section entière et do la distance de son centre de gravité à oette surface (2° partie, 42). Hais, comme le mouvement dû à la flexion ne peut s’opérer que dans le sens de la force P qui l’occasionne, il faut nécessairement que la résultante des résistances soit nulle d’oile-raèrae, ou que la fibre invariable patee par le centre de gravité de la section transversale de la pièce. Il faut de plus que le travail total de toutes les résistances partielles soit égal au travail de la force P qui a produit la flexion, ou au produit PX o** '^XA L’abaissement f do l'extrémité libre delà pièce est ce qu’on nomme la flècke de fiesion. Or, je remarque que si on examine seulement chaque travail de la résbtance des portions de fibres comprises entre deux sections consécutives pr et qs, on voit qu’il est proportionnel au produit de chaque section élémentaire transversale d’nne fibre et dn carré du •on allongement on accourcissement (S* partie, 78 et 74), ou même encore au produit de chaque élément de la section totale multiplié par le carré de sa distance à la surface de la fibre in variable. Donc, enfin, le travail total des résistances des fibres est proportionnel n la somme des produits de chaque élément de la section de la pièc.^ multiplié par le carré de sa distance verticale an centre de gravité delà section entière; en un mot, il est proportionnel an moment d’inertie de cette section par rapporté un axe hurixonlal qui passe par son centre de grarilc, et qui est situé dans son plan, Enfin ,

406 ' TROISIÈME PÂIUIE.

comme oes diitancei oonsliluent en quelque forte l’épaiiMur rerlicale de la pièce, et que lelrarnil do la résUtance de cette dernière augmente avec lescarrcideces dislancet et même encore avec l’aire transversale, on peut prévoir à l’avance que le travail de la réfialaiicc, ainsi que la résistance du la pièce, augmente comme le cube do l’épaisseur de la pièce. En égalant le travail P X de la force appliquée au travail total des résistances des fibres, et on nommant / le moment d’inertie de la section transversale par rapport à un axe qui passe par le centre de gravité de In section, et dans le plan de cette dernière, E le coefficient d’élasticité, et L la longueur de la pièce, ou trouve

EY.t

Telle est l’expression de la flèche que produit une force P sur l’extrémité libre d’une pièce eiicastrée invariablement A l’autre bout, avant que cette pièce ne transmette l’action do oelte force.

Si on multiplie f par P, le produit -5 „ ,

sera le travail con-

sommé uniquement pour fléchir la pièce (*}. Cette quantité d'action, qui est évidemment une perle dans le travail des machines, étant ])ropurtioniielle aux cubes des longueurs et en raison inverse du coefficient d’élasticité et du moment d'inertie de la section, on voit qu'il y a du désavantage à se servir de pièces trop longues, et qu’il y a, au contraire, avantage à rendre le moment d’inertie de la section le plus grand possible, ainsi que le coefficient d'élasticité. On parvient au premier but soit en faisant l'aire do la section transversale la plus grande possible, ou, ce qui vaut mieux encore, on rejetant un grand nombre de ses points loin de l’horitonlale pasyint par son centre de gravité. Quant au coefficient d’élasticité, le tableau du 11° 1% montre qu’il est plus considérable A l’égard du fer que du bois; aussi fait-on mieux, quand on le peut, de construire les pièces d'une iiiachine en fer qu’on buis. L’augmentation qu’on vient de reconnaître si convenable dans la section transversale d’une pièce,

O La vatenrde h Bêche et du Irirtil conuramc par Is ficiion d'uae pièce prjtiaalique, au moyeu du moment d'inertie de se section transversale, est le résultat d'un chapitre sur la rcsistanoe dea matériaux qui devait être auncaé t la deuxième partie.

UES HÂCHINKS ET SES IIOTEUES. 407 .

eiplique pourquoi une pièce rectangulaire fléchit moins de champ que sur son plat. C’est encore ainsi qu’on justifie l’emploi des pièces dont le profil a la forme d’une croix, ou qui sont terminées par des cbtet ou nervures.

76. Applieation aux pièces carrit», rectangulaire», ou ciVcu/airus.

Nous allons rechercher U flèche et le travail consommé par une

force verticale P sur une pièce horiiontale encastrée par un bout, et dont la section est successivement un rectangle, un carré, un carré posé parallèlement à ses diagonales, et un cercle.

1® Pièce à eection rectangulaire. — Soit a ( fig. 898 ) la largeur horizontale de la pièce, b son épaisscnr verticale, L sa longueur ; le moment d’inertie I de la section transversale par rapport à l’axe

horizontal passant par son milieu est

d’où l’on tire

XPD

~ E . alP'

Le travail consommé par la flexion a pour valeur

XP>0

E . aè>’

Il ne faut pas oublier que dans cette formule, et dans les suivantes, toutes les dinaensions de la pièce sont rapportées au mètre, et les charges ou résistances au kilogramme.

2® Pièce à sM^iaa carrée. — Il suffira de faire a = & ( fig. 397 } dans la formule précédente, et on trouve, pour /'et pour le travail consommé,

èPÜ . 4/»Z»

Ë " Ë râf

8® Pièce d teelion potée parallèlement à une diagoumle. — ^ On a / ( fig. 298 ), et les deux expressions de/* et du travail

consommé sont encore

èPÛ .

TRUISIÈME PARTIE.

•4” Piicê à tection eircu/nire. — On a, en dëtignant par rie rayon du cercle de la sectiuu IransTersale ( fig. 399 ), I = — fai-

Plï

sant cette substitution dans la formule générale f — — ^ ■ ,

on trouve

Quant an travail consomnié, il devient égal à

E . Tft'

Si le poids ou la charge P était réparti uniforniénient sur la mémo longueur L de la pièce, do manière que celle-ci fût chargée d’un

poids par unité de longueur, on trouve que, dans ce dernier

cas, la flèche f n’est que les -g- de celle qui a lieu quand toute la charge est appliquée à l’extrémité non encastrée.

77. Rétutanct à la flexion d’une pièce encastrée par un bout. — Lorsqn’nnc force P, 'perpendiculaire à la longueur d’un corps prismatique DFGE ( fig. 400 ), enc.nstré p.ir son extrémité DF, tond à rompre ce corps, il est aisé de voir que la rupture tend à s’opérer dans la section même où la pièce est encastrée. Car l’énergie de l.i puissance P est proportionnelle au produit de cette force multipliée par la distance qui sépare son point d’application du plan de la section transversale où la rupture se fait; et il est évident que la section qui correspond à l’encastrement est la [dus éloignée de la force. Désignant par £ la longueur totale de la pièce, P X ^ <cra le moment de la puissance, lequel devra être égal au moment de la résistance des fibres sur la section do rupture, pris par rapport au point où la fibre invariable AB coupe cette section. En admettant que la pièce tend à tourner autour de la fibre invariable en ce dernier point, on trouve que le moment de la'résislance à la rupture est proportionnel au moment d’inertie I de la section transversale divisé par la distance verticale de la fibre la plus éloignée à la fibre invariable. Si, maintenant, nous nous rappelons qu’il ne s’ajj't ici <|iie (’c déterminer les diim-iisions de la pièce do manière

UES MACUINES KT DES MOÏEUllS.

à cc quo >on élasticité ne soit pas altérée par l’eiTurt P de flexion, et qu’on désigne par II lo coefficient de résistance relatif à ce cas, la condition d’équilibre revient à cette égalité

ou

Considérons encore les quatre espèces de pièces que nous avons considérées ( fig. 396-399 ).

FRSBiEB CSS. — Section rectangulaire, — La plus grande distance verticale d’une fibre à la fibre invariable F est évidemment ou

la moitié de la hauteur du rectangle / = -p-. D’où

Ainsi, la résistance croit proflurtionnellemont à sa largeur et au carré de son épaisseur.

Dxcxifeiu CSS. — iSsction carrée. — On fera a ==i b dans la formule précédente, ce qui donne

Tsoisitii CSS. — Section carré» dont une diagonale eet korisonlaJ».

Ou a F =j]r l/iô’ = — I =4*» *1’"“

la ^ • “L .

^ ■ Vi

expression plus'pctite que celle du carré, et qui nous apprend quo la résistance d’une pièce carrée posée parallèlement à l’une de ses diagonales est moindre que colle d’une pièce carrée posée sur l’un

do scs côtes, dans le rapport de à 1,

rnOISlÈUK PAUTIK,

Qe4Tiiiai CAI. — SecdoH cireulairt, — On a V I =

d’où

D’après cela, on voit qu’il est avantageux d’augmenter la hauteur d’une pièce par rapport à sa largeur, puisque la résistance augmente comme le carré de la première. Si cependant cette pièce était rendue trop mince, elle pourrait sedererser dans le sensboriionlal. Ordinairement le rapport du la hauteur et do la largeur d’une section transversale est comme 7 est à 5 ( fig. 401 ); le débitage des pièces se fait avec économie en suivant ces dimensions. Si la largeur est rendue plus mince, on garnit la pièce d’cpauloraents, de nervures on eûtes ( fig. 403 ). Les ëpaulements .ajoutés vers son milieu ajoutent, il est vrai, peu de résistance à la pièce, mais ceux qui occupent les extrémités do la base transversale augmentent beancoup les résistances à la rupture. Nous verrons plus loin, au n° 88, comment il est possible de tenir compte de cette addition des ëpaulements dans l’évaluation de la résistance â la flexion.

Exemple. Trouver l’équarrissage d’une pièce carrée en bois do chêne de doux mètres do longueur encastrée par un bout et qui doit supporter à l’autre extrémité un poids P do 1000 b>lugr< 0"

d'où =