FLUIDES INDÉFINIS

232. Méthode pour trouver le temps qui répond à une vitesse donnée ou acquise par le corps. Nous avons fait connaître (1S4) une méthode générale pour trouver, par des tracés géométriques, la loi du mouvement des corps quand celle de la force motrice est donnée , ce qui est le cas actuel ; mais cette méthode, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse, la force et l'espace décrit à chaque instant, ne Test pas quand il s'agit de calculer effectivement toutes les circonstances du mouvement; parce qu'elle serait peu rigoureuse d'une part, et que, de l'autre, elle donnerait lieu à des opérations, trop multipliées, trop pénibles. Or on peut atteindre le but par un procédé exempt de ces inconvénients, et qui est fondé sur le principe de Thomas Simpson (180) pour calculer l'aire des courbes. Ayant d'ailleurs appris, dans les numéros précédents, comment on peut, dans chaque cas et pour les vitesses successivement acquises par un même corps, trouver, en kilogrammes , la -valeur de la force motrice F, qui modifie le mouvement à l'instant qui répond à chacune de ces vitesses, on n'éprouvera aucune difficulté à appliquer la méthode aux diverses; circonstances que présente le mouvement vertical ou horizontal des corps dans les fluides indéfinis.

Nous avons (130), d'après ce qui a déjà été souvent rappelé dans ces Applications, pour calculer le temps t que met la force F, à accroître, de la quantité v, la vitesse Y d'un corps dont le poids est P,

la formule

*~ ~gT Xv ~ 9 m ,8088F X Vm

Gela posé , concevons une courbe O'h'fh' (fig* 61) , dont les abscisses Oa, Ob, Oc, . . . . Og, représentent les valeurs successives,

en mètres , de la vitesse V du corps , et dont les ordonnées 00', aa', W, . . • gcf, représentent les valeurs , en nombres , du quotient de P par 9 m ,8088 X F, relatives aux diverses abscisses ou vitesses correspondantes. Supposons, en outre, que les intervalles égaux Oa, ab, bc, . . . gh représentent la valeur très-petite et censée constante, de chacun des accroissements ou de chacune des diminutions v, de vitesse, successivement éprouvés, par le mobile, dans des instants qui ici ne seront pas en général égaux, puisque le mouvement n'est point uniformément accéléré ou retardé (107 et suiv.) ; il s'agira de trouver, pour chaque absciÉe telle que Oc, par exemple, ou pour chaque Valeur correspondante de la vitesse V du mobile, la mesure du produit de l'ordonnée ce' par v ou par cd y puis de faire la somme totale de ces produits pour l'intervalle de mouvement ag, je suppose, qu'on veut considérer ; car, d'après la formule, on obtiendra ainsi la valeur du temps qui s'est écoulé dans cet intervalle, et qui est la quantité que nous cherchons à calculer. Or, en raison- 7

nant ici comme on l'a fait dans les n°' 72, 107, 135, etc., il sera aisé d'apercevoir que la somme dont il s'agit, n'est autre chose que la superficie de l'aire trapézoïde aal c f g 1 ga, comprise entre la courbe, l'axe OV des abscisses et les deux ordonnées ad y gg y qui répondent à l'intervalle de mouvement ag, pour lequel on se propose de calculer le temps écoulé, par le moyen des vitesses Oa, Og, qui sont censées données immédiatement : le calcul de ce temps se fera donc aisément par la méthode du n° 180.

253. applications particulières relatives à la chute des corps dans l'air. Prenons, pour exemple, une balle en bois d'orme de 3° de

iak ao

diamètre, son poids sera (35 et 247) ' K = k ,0f 13 environ,

et les résistances que lui opposera l'air, seront le ~ de celles du tableau dun° 215, pour les mêmes vitesses. Supposons que, cette balle étant tombée naturellement dans l'air, d'une certaine position pour laquelle la vitesse initiale était par conséquent nulle, il s'agisse de trouver quel sera le temps qu'elle mettra pour acquérir une vitesse "de 8 m , représentée par Od, je suppose. On divisera cette vitesse en un certain nombre pair de parties égales , et on calculera les valeurs correspondantes de F (246) , puis celles des ordonnées ou des quotients de P par g¥. En partageait seulement l'intervalle Odou les 8 m de vitesse, en 4 parties égales aux points a f

b, o, on pourra dresser la table suivante des diverses grandeurs relatives à la question (215 et 347), en observant que le poids du volume d'air déplacé peut encore ici être négligé par rapport I celui du corps dans le vide, puisqu'il en est, au plus, le 6Bâ iem0 *

points 0, a, b, c, d,

vitesses* • . . « 0*», 3», 4», 6« f 8",

résistances R do l'air Q\ 0^,0001, 0^,0001, 0**0010, 0^,0018,

valeurs de F 0*,0115, 0^,0113, 0*,0109 9 0*,0i03, 0^,0095,

valeurs de ■^= 0,00 J 15 ...0,1018, 0,1037, 0,1055, 0,1117, 0,1311.

Par conséquent, on aura

P somme des valeurs extrêmes de •— 0,1018 ■+- 0,1111 as 0,3310

3 fols celle des autres valeurs impaires. .... 3 X 0,1055 = 0,3tiO

4 fois celle des valeurs paires 4 (0,1037 -t- 0,1117) = 0,8576

Total 1,3915

Cette somme totale, multipliée par le ~ de l'intervalle constant ab entre les vitesses successives , qui est ici 2 mètres . donne { S X M915 = 0",861, paroe que g répond (117) à une seconde qui est ainsi l'unité de temps. Si le corps fût tombé dans le vide, il eût acquis la vitesse des 8 m * dans un temps qu'on obtient par la formule

V =gT du n° 117, laquelle donne T = - =^—= 0",815;

ce temps est donc un peu moindre que celui qui répond à la chute dans l'air, comme cela doit être.

Si on se fût contenté de diviser l'intervalle de O à d, ou de zérti à 8 m , en deux parties égales seulement, en b, l'on eût trouvé, pour la valeur du temps écoulé, f 4 m X (0,1018 + 0,1211 -J- 4 X 0,1085) = G", 860, laquelle ne diffère que de jfr de celle qui a été obtenue précédemment; or cela provient (180) de ce que la méthode est ici très-approchée, attendu que la première partie de la courbe, OVi/cV, diffère trps-peu d'une ligne droite, et que les 8 m de vitesse sont encore loin de la limite 19 m ,70, relative au plus grand mouvement de la balle (247). On pourra donc, dans des cas semblables, abréger beaucoup le calcul du temps écoulé.

Cherchons maintenant le temps relatif à une vitesse de 16*>

laquelle approche de la vitesse limite 19 m ,70 : en partageant l'intervalle, de 8 m à 16 m , en 4 parties égales répondant aux vitesses de 10 m , de 12 m et de 14 m , on trouvera pour résultat final, en opérant comme ci-dessus , 1",889, pour le temps écoulé entre l'instant où la vitesse est de 8 m et celui où elle est de 16 m . Si l'on eût seulement divisé cet intervalle en deux parties égales, on eût trouvé 1",S97, nombre qui ne surpasse le précédent que de 7^4 environ de sa valeur, et qui, même pour des opérations délicates, serait suffisamment approché. En ajoutant 1",389 à 0",861, temps qui répond à la vitesse de 8 m antérieurement acquise, le temps total relatif aux 16 m , sera 2",250, tandis que, dans le vide, le temps de la chute serait

16 m seulement ——g^mu

Pour trouver le temps que le corps mettrait à acquérir la vitesse de 18 m qui approche encore plus de la vitesse limite, il suffirait de partager l'intervalle des 2 m , compris depuis 16 m jusqu'à 18 m , en deux parties égales ; on trouverait ainsi que le temps, écoulé dans cet intervalle , est d'environ 0",84B , c'est-à-dire peu différent de celui qui, dans les premiers instants de la chute, a suffi pour imprimer la vitesse de 8 m à la boule. Ainsi le corps acquerra, en 2",250 + 0",84B ou en moins de 8",1, une vitesse de 18 m trèsapprochante de la plus grande vitesse de chute 19 m ,7, qu'il ne peut atteindre (250) réellement qu'après un temps infini ou excessivement long. Dans le vide , le temps relatif aux 18 m de vitesse serait seulement de 1",84.

Il faudra opérer, d'une manière absolument semblable , quand il s'agira de trouver le temps qu'un corps quelconque , tel qu'un, boulet, un ballon, un parachute, met pour ralentir ou augmenter sa vitesse horizontale ou verticale d'une quantité donnée, par suite de l'action de la pesanteur et de la résistance du milieu j seulement il faudra avoir soin , si on tient à une grande rigueur, de resserrer davantage les opérations vers les parties de la Courbe qui diffèrent beaucoup de la ligne droite ; et l'on fera bien , sous ce rapport , de construire approximativement , dans chaque cas, cette même courbe, afin d'en étudier à l'avance la forme et les propriétés. Quant aux recherches qui exigent moins d'exactitude, on pourra diminuer le nombre des opérations : voulant, par exemple, calculer, tout d'un coup, le temps qui répond à la vitesse des 18 m ci-dessus, on se bornera à partager cette vitesse en deux par-

ties égales de 8 m chacune , et , ayant trouvé que les râleurs du quotient de P par gF, qui répondent à m , à 8 m et à 16 m , sont 0,1018, 0,1211, 0,2875, respectivement , on obtiendra la quantité j 8 m (0,1018 -f 0,2875 + 4 . 0,1211 ) = 2",33, pour valeur approchée du temps dont il s'agit, laquelle est ainsi trop forte de ~ environ ; en partageant l'intervalle en 4 parties égales, on trouverait 2",256, qui ne diffère plus que de ^yj de la valeur 2",25 trouvée ci-dessus.

254. Trouver V espace qui répond à une vitesse donnée du corps* Ayant calculé, selon ce qui précède, la table ou la loi qui donne les vitesses relatives aux temps écoulés , il ne sera pas difficile, d'après le n° 134, de calculer aussi l'espace décrit, par le corps, pendant que sa vitesse a été augmentée ou diminuée d'une quantité donnée; mais, cette méthode exigeant que l'on ait préalablement calculé la loi dont il s'agit, ou qu'elle soit donnée immédiatement, deviendrait beaucoup trop laborieuse dans le cas où l'on ne connaîtrait que la loi qui lie la force motrice à la vitesse, ce qui est le cas actuel. On peut alors obtenir directement l'espace décrit sans calculer les temps écoulés.

En effet, nous avons , e étant l'espace décrit pendant le temps élémentaire t (108, 134 et 135),

— VX'-VX^X—- ç^HffX».

Raisonnant donc comme dans le cas précédent (252), et calculant, pour chaque valeur de la vitesse Y, la valeur correspondante du quotient PV par 9 m ,809F, on pourra former Une nouvelle courbe Oa"b". ...g" (fi g. 61), ayant ces quotients pour ordonnées, et toujours pour abscisses les valeurs correspondantes de la vitesse V. Or la surface comprise entre cette courbe, l'axe OV des abscisses et les ordonnées qui répondent à l'intervalle de mouvement qu'on veut considérer, donnera évidemment la somme des valeurs successives des éléments d'espace e, et par conséquent la longueur totale du chemin parcouru par le mobile dans cet intervalle : cette surface se calculera d'ailleurs absolument de la même manière que celle qui donne le temps, par la méthode du n° 180.

255. Applications particulières relatives à la chute verticale de* corps dans l'air. Qu'il s'agisse , par exemple , de calculer, pour la

balle de bois d'orme ci-dessus, l'espace décrit quand cette balle a acquis la vitesse de 8 ra ; on formera, en multipliant simplement, par les valeurs de V, les quotients déjà trouvés (253) de P par gY, ou de 0,0015 par F, la table suivante :

vitesses. . . . - 0«, 2"», 4«», 6", 8»

vafeure de — x V=c-~-îx V, 0, 0,2054, 0,4220, 0,6709, 0,9688

espace parcouru \ 2m [0-1-0,9688-1-2.0,4220+ 4 (0,2054 -t- 0,6702)] =s3«,54.

Dans le vide, l'espace décrit serait donné (118) par là formule

•V'=2 ? H; d'où H=^^=8n.,26,

puisqu'ici nous avons V=8 m . La balle devrait donc tomber de plus haut dans l'air que dans le vide, pour acquérir la vitesse en question, ce qui est naturel.

En recommençant les mêmes calculs pour la vitesse de 16 n , on trouvera que la hauteur correspondante de la chute serait de 21 m ,&0 pour l'air, et de l$ m ,05 seulement pour le vide : nous n'avons divisé l'intervalle, de m à 16 m , qu'en quatre parties égales, ce qui suffît ici. On voit, par là, que les espaces décrits croissent d'une manière beaucoup plus rapide que les temps employés à les décrire (253) ; ce qui paraît évident d'après la seule inspection des courbes qui leur correspondent dans la fig. 61, et ce qui tient d'ailleurs à ce que les ordonnées aa", bb",.... gg' f croissent ellesmêmes plus rapidement queles ordonnées aa', bb% .... gg, puisqu'elles ont, pour valeurs (252 et 254), les produits de celles-ci par les valeurs correspondantes de la vitesse Y ou des abscisses.

236. Observations générales relatives au calcul des autres circonstances du mouvement y et conclusion. — Les méthodes des n<* 282 et 254 serviront, quelle que soit la loi que suive la force motrice F par rapport aux vitesses, pour trouver directement l'espace et le temps qui répondent à une vitesse donnée; mais, si c'était, an contraire, le temps où l'espace qui fût donné, et qu'il s'agît de calculer le vitesse correspondante, les opérations seraient beaucoup plus pénibles : on n'arriverait au résultat que par des tâtonnements plus ou moins longs, ou par la formation d'une table complète des temps

MtCAÎÏ. lftPCSTa. T. I, il

et des espaces qui répondent aux différentes vitesses, tablé qu'on calculerait, dans chaque cas, de la manière dont cela a été expliqué, n os 888 et 255, pour quelques valeurs particulières de la vitesse* Néanmoins une certaine habitude des calculs et le tact qu'on acquiert toujours en traitant une question spéciale, serviront à diminuer beaucoup le nombre des tâtonnements et feront pressentir d'abord certaines limites entre lesquelles se trouvera comprise la valeur cherchée.

En dire davantage sur ces opérations, ce serait sortir tout à fait du cadre de cet ouvrage, sans en recueillir immédiatement un degré d'utilité qui pût compenser la longueur des développements. Nous ferons seulement remarquer, a ceux des lecteurs qui désireraient entreprendre de pareils calculs, que la Balistique, qui est devenue de nos jours une science à part très-difficile et très-étendue, offre des méthodes particulières pour diminuer, mais non pour éviter entièrement les tâtonnements, et cela à l'aide des tables nommées logarithmiques^ trigonométriques. Ces tables donnent, dans certains cas, la valeur toute calculée de la quantité qu'on cherche; mais généralement elles ne la fournissent qu'après qu'on a effectué un certain nombre d'opérations numériques sur les grandeurs données, ou qu'après qu'on a préparé convenablement ces quantités pour que le résultat se trouve immédiatement ramené à celui qui est contenu dans les tables. C'est ainsi, par exemple, que la table de multiplication ordinaire fait obtenir le produit ou le quotient des nombres par une suite d'opérations particulières sur ces nombres, et que la table du n° 196 permet de calculer, par une simple proportion, la quantité de travail développée, parla vapeur, contre les pistons d'une machine à détente quelconque.

J'avais entrepris,. eu faveur des sous-officiers de l'artillerie et du génie, qui suivent ce Cours de mécanique, de montrer comment le calcul des lois du mouvement dans l'air peut se ramener, sans l'emploi de considérations transcendantes, et par les simples propriétés des figures géométriques, aux opérations qui se trouvent immédiatement effectuées dans les tables de logarithmes, dont il eût ici suffi de donner un extrait de quelques pages seulement ; mais j'en ai été détourné par l'idée d'allonger par trop ce volume, qui l'est déjà beaucoup sans doute. En effet, la formule qui donne le» valeurs de la force dynamique F, relative au mouvement des projectiles dans l'air, variant, dans son expression, suivant les cir-

constances particulières de ce mouvement ( 240 et suiv.) , il en résulte qu'on a huit questions distinctes à traiter, lesquelles, à la vérité, ont beaucoup d'analogie entre elles; mais n'en exigent pas moins un certain développement, pour être convenablement exposées à des personnes qui ignorent les calculs transcendants et l'usage des tables* Je donnerai néanmoins, par la suite, la solution de quelques-unes des plus importantes d'entre elles, si l'occasion favorable vient à s'en présenter, ou si l'on juge que la chose offre, en elle-même, un but suffisant d'utilité*

K-. pa ff-