CORPS DURS DANS LES CORPS MOUS

216. Considérations préliminaires. Nou9 avons déjà dit (200, art. S 9 ) ce qu'on devait entendre par les mots fluides imparfaits; nods avons aussi prévenu qne leur résistance ne suit pas la même loi que celle des fluides d une mobilité parfaite, et que les expériences connues portent à la considérer comme tout à fait constante à partir de l'instant où le mobile est convenablement enfoncé dans le milieu j enfin nous avons ajouté que cette même résistance parait être, no-* tamment pour les corps durs sphériques, proportionnelle à l'étendue de la projection transversale CD (fig. 45) du corps sur un plan perpendiculaire au mouvement; proposition qu'on peut aussi admettre, en attendant de nouvelles expériences, pour les premiers instants de l'enfoncement d'un corps dur dans un milieu résistant qui serait terminé par une surface perpendiculaire à la direction du mouvement, pourvu qu'on ne prenne que la projection transversale de la portion de surface déjà enfoncée dans ce milieu.

Il est certain que ces propositions n'auraient plus lieu pour des corps quelconques, notamment pour des cylindres ou des prismes très-allongés dans le sens du mouvement, parce que l'adhérence et le frottement sur les faces latérales acquerraient une certaine influence (200, 1°); nous avons déjà eu occasion d'en faire la remarque dans le n° 167, et c'est ce que nous démontrerons, d'une manière plus positive, quand nous en serons venus à l'examen particulier de la résistance des outils et de la forme la plus avantageuse à leur donner, selon les circonstances; nous prétendons seulement ici rapporter les résultats principaux des expériences faites sur là pénétration des boulets dans diverses substances consistantes, afin d'offrir de nouveaux exemples de l'application des principes contenus dans les Préliminaires et concernant ce mode d'action des forces.

217. Formule pour calculer la résistance. Nommant, en général, Rla résistance totale exercée, par le milieu, contre le mobile, sup-

posé toujours assez dur pour ne pas être déformé sensiblement pendant toute la durée de la réaction ; appelant d'ailleurs d son diamètre ; cette résistance R, calculée pour un même milieu compressible et homogène, sera donc proportionnelle à

t étant le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre; et, en raisonnant comme au n° 202 , on trouvera que , pour avoir sa valeur absolue dans chaque cas particulier, il faudra encore multiplier ^ JT d 2 par un certain facteur k relatif ici au degré de dureté ou de consistance du milieu, et qui représentera , en kilogrammes, la pression sur Y unité de surface de la projection transversale du corps, par exemple sur 1 mètre carré, d étant exprimé en mètres linéaires , ou sur un centimètre carré , d étant exprimé en centimètres linéaires.

On remarquera en outre que, si le milieu est tellement consistant que le passage du corps ne se referme pas immédiatement en arrière à mesure qu'il s'y enfonce, ce corps sera de plus pressé, dans le sens du mouvement et par l'air atmosphérique, en vertu d'un effort mesuré (37) par environ \x <* a X 10330 tilog., d 1 étant ici estimé en mètres carrés, ainsi que nous l'admettrons dans tout ce qui va suivre. Mais la valeur de cet effort est, comme nous le verrons à l'instant , tout à fait négligeable par rapport à la résistance qu'opposent la plupart des substances cohérentes au mouvement des corps; c'est pourquoi nous nous dispenserons d'en tenir compte dans la question dont il s'agit. Nous pourrons donc prendre, pour base de nos calculs et en négligeant d'ailleurs les effets qui se produisent avant l'instant où la résistance a atteint sa valeur maximum, ce qui sera permis toutes les fois que l'enfoncement total excédera 8 à 10 fois au moins le diamètre du projectile, nous pourrons, dis-je, nous servir de la formule générale

218. Résultats des expériences connues. Il a été fait à diverses époques, sur les enfoncements des projectiles en plomb et en fonte de fer, dans des substances de différentes natures, des expériences qui 'malheureusement ne sont pas encore assez nombreuses ni asse» précises, du moins quant aux milieux très-consistants tels que les

métaux et les maçonneries , pour permettre de déterminer, avec une exactitude suffisante, la valeur du multiplicateur k qui représente la dureté des milieux. Nous rapporterons néanmoins ici, à cause de leur grande utilité, quelques-unes des valeurs qui ont été calculées avec beaucoup de soin , par M. le chef de bataillon du génie Augoyat, dans son important Mémoire cité page 190, en observant que celle qui concerne les balles de plotnb n'est applicable qu'autant que la réaction ne serait pas suffisante pour déformer ces balles pendant la durée de renfoncement ; car leur aplatissement consomme nne partie de la force vive qu'elles possédaient avant de pénétrer dans le milieu , et fait croître, en outre, la résistance tout au moins en raison de l'accroissement de la surface variable, qui en résulte. Enfin , nous devons aussi remarquer qu'il s'agit de milieux qui ont de très-grandes dimensions par rapport à celles des projectiles.

Désignation du milieu , etc. ^^S tU^ac^ 6

Terres légères rassises depuis longtemps ; balles de kil. «un.

plomb non déformées , vitesse de 300m, . . . k = 2002000 — 193,8.

Terres de parapets anciennes; boulets de fer, . . A : = 1900000 — 183,9.

Mêmes terres nouvellement remuées et damées, k = 1520000 — 147,1.

Cbéne très-sain et très-dur, k = 5200000 — 503,4.

Vieux chêne passé, k = 4500000 — 435,6.

Orme sain et dur, dans la direction des fibres, . . k = 4930000 — 477,3.

Bois de sapin , k = 2860000 — 276,9.

Maçonnerie de briques, k = 9040000 — 875,1.

Maçonnerie en moellons avec parements de pierres

dures , k = 13000000 — 1290,2.

Ce dernier résultat est une réduite ou moyenne entre plusieurs autres et sur laquelle il reste encore beaucoup d'incertitude; il semble, en effet, que, dans de pareils cas, il conviendrait d'estimer séparément la résistance pour le parement dur et pour l'intérieur des maçonneries, attendu que les circonstances du mouvement changent nécessairement dans le passage du projectile, d'un milieu dans un autre. On pourra néanmoins l'admettre en attendant de nouvelles expériences plus précises ; et , dans tous les cas, les résultats rapportés dans le tableau serviront à donner une idée de la résistance ou de la dureté comparée de certains corps. Nous verrons bientôt d'ailleurs comment ces mêmes résultats ont pu être déduits

XÉCATf. INDUSTR. T. I, 14

directement, par M. Àugoyat, des enfoncements observés dans les diverses circonstances,

219. Calcul de la durée et de la profondeur de la pénétration. Maintenant nous remarquerons que la force R, qui produit le ralentissement continuel du mouvement du projectile, étant constante pour on même milieu, il s'ensuit (107) que le mouvement sera uniformément retardé, et qu'on en pourra calculer toutes les circonstances au moyen des principes des n°* 110, 112 , 130 et suivants. Ainsi on sera en état de calculer le temps quele mobile met à parcourir un espace donné , dans le milieu , ou à ralentir sa vitesse primitive d'une quantité donnée, enfin la durée et la profondeur totales de son enfoncement, etc.; mais, comme nous avons déjà présenté des exemples de ce calcul dans les n°* 147, 167, 168, et 177, nous nous contenterons d'ajouter quelques remarques particulières relatives à l'objet dont il s'agit ici.

Laquestion la plus importante qu'on ait ordinairement à se proposer sur l'enfoncement des projectiles, c'est de trouver la totalité de cet enfoncement correspondant à une vitesse donnée du projectile, et pour un milieu dont le degré de consistance ou de résistance se trouve indiqué dans la table. Or cet enfoncement se calculera facilement dans chaque cas, puisque nous savons que la force vive détruite, pendant la pénétration , est précisément égale à la force vive possédée par le projectile à l'instant où il a atteint le milieu, et a, par conséquent, pour valeur (136), le double de la quantité de travail développée, par la résistance constante R, pendant toute la durée du mouvement dans 1 intérieur de ce milieu; car nous supposons expressément que la masse de ce dernier soit très-grande par rapport à celle du projectile , auquel cas la vitesse générale imprimée à cette masse est tout a fait insensible (160). En nommant donc, à l'ordinaire, P, M, Y le poids, la masse et la vitesse du projectile à son entrée dans la substance pénétrable, £ l'enfoncement total de ce projectile, on aura (71 et 137), pour calculer E, l'égalité

M V = - V a = 2RE, ou P V 9 «= 2RE*.

Hais, si nous supposons que le projectile soit un boulet de diamètre d, son volume sera ^ Xï^ 0U f^Xï*^* étant le rapport de la circonférence du cercle au diamètre, c'est-à-dire 3,1416

environ ; par conséquent son poids aura aussi pour mesure la quantité jrfXi*<*'XD'I) étant la densité (35) de la matière qui le compose. Enfin nous aurons R = £ X ? xd 1 ; donc l'égalité ci-dessus revient , en divisant chacune de ses parties par le double S . \ x d 2 de la surface du grand cercle de la sphère, à celle-ci ,

f dDY 2 = kEg; d'où E = gjpV»,

dans laquelle g = 9 m ,8088, connue on sait.

Considérant , par exemple , le boulet de 24 , du n° 175, qui est animé d'une vitesse de 500 a , et supposant qu'il s'agisse de connaître son enfoncement dans le bois de chêne dur, on aura (85 et 218) , rf=0 m ,15, D=7200 k , V = 500 m , ^==9 m ,81 et*=5200000 kU , en nombres ronds, et par conséquent,

OMS X 7200" ,800«>>- °' 8 * 7S ÎK - 1- 76

Telle serait donc, à peu près, la profondeur totale de l'enfoncement du boulet dans le bois de chêne.

S'il s'agissait de calculer la profondeur de la pénétration relative à l'instant où le projectile aurait perdu une portion quelconque dé sa vitesse, on la trouverait de même, par la formule ci- dessus, en remplaçant Y par cette vitesse perdue ; car le principe des forces vives (137) s'applique à un instant quelconque du mouvement.

On conçoit bien d'ailleurs comment M. Augoyat est parvenu à calculer, d'après le résultat des expériences connues , les valeurs du multiplicateur k pour les différentes substances pénétrables; car l'égalité { dDY* = kEg donne aussi

dDV*

de sorte qu'ayant déterminé exactement la valeur de la vitesse Y par les moyens qui seront enseignés plus tard, ainsi que les valeurs de la pénétration correspondante et totale E, il est facile d'en conclure celle de k.

, 220. Principe relatif au volume de l'impression. On remarquera que , puisque la résistance R est proportionnelle à la surface de la projection transversale \ nd 2 du mobile, la quantité de travail R X E développée, par cette résistance, contre le mouvement, est, de son

côté, proportionnelle an volume ± x d* X E de l'impression ou du vide laissé, en arrière du boulet , à mesure qu'il chemine dans l'intérieur du milieu; car ce vide peut être considéré, à très-peu près, comme un cylindre droit à base circulaire , en négligeant la petite différence provenant de la portion hémisphérique située en avant , par .rapport au surplus de ce vide. Mais on peut démontrer la proposition généralement en admettant , selon ce qui a déjà été observé ci-dessus (216) et conformément à l'opinion de plusieurs savants, qui se trouve également appuyée du résultat de quelques expériences spéciales *, que la résistance demeure proportionnelle à l'étendue de la plus grande section transversale de la surface en contact avec le milieu , même dans les premiers instants de la pénétration.

11 est facile de voir en effet , par un raisonnement analogue à celui dun° 186, que, si le mobile est lancé perpendiculairement à la surface qui limite le milieu, et que e soit, à un instant quelconque, la quantité très-petite dont ce mobile s'y enfonce, et enfin que a soit la moyenne valeur correspondante de la plus grande section transversale de l'impression , a X e sera aussi la mesure du petit accroissement de volume de cette même impression ou du vide formé par le projectile dans le milieu. Mais le petit accroissement du travail, pendant la durée de l'instant dont.il s'agit, est ha X c (172 et 217) ; donc la somme de ces petits volumes, ou le volume total et effectif du vide , est proportionnelle à la somme des quantités de travail partielles correspondantes, ou au travail total développé, dans les divers instants, par la résistance variable du milieu, contre le projectile.

Le même raisonnement serait d'ailleurs applicable aux corps d'une forme quelconque, symétriques par rapport à un axe , et qui seraient mus dans la direction de cet axe, si on pouvait admettre, pour de tels corps, le principe relatif à la loi de la résistance ; ce qui , je le répète, ne serait pas exact dans tous les cas.

221. Méthode pour calculer la profondeur et la durée des petites impressions* Eu supposant vrai le principe ci- dessus, pour les corps

* Voyez, dans la nouvelle Architecture hydraulique de M. de Prony, tom. i, p. 119, et dans la note (x) de V Architecture hydraulique de Bélidor, tom. 1, p. 76, nouvelle édition de M. Navier, une théorie particulière du choc, d'après D. G. Juan, savant espagnol nui a écrit sur les applications de la Mécanique à l'art maritime*

sphériques, comme il parait effectivement l'être alors, on voit qu'on n'aura pas beaucoup plus de difficulté pour calculer la profondeur de l'impression , dans le cas où le projectile pénétrerait très-peu dans le milieu résistant , que dans celui où il s'y enfoncerait d'une quantité très-appréciable, et telle qu'on pût considérer sensiblement le volume du vide comme un cylindre de même section que la projection transversale du mobile, et ayant pour longueur la profondeur totale de l'impression.

En effet , si nous nommons B le volume de cette impression , le travail correspondant aura pour valeur &B ; de sorte que, selon le principe précédent, on aurait aussi

P PV a

■ F V— MBitfeàB-^s

formule qui donnera le volume de l'impression maximum relative à une vitesse initiale Y du projectile, et d'où l'on déduira ensuite aisément la profondeur de la pénétration totale par les principes delà Géométrie élémentaire; car on apercevra tout d'abord si le volume 6 surpasse ou non le volume de la demi-sphère antérieure du projectile ou ~ rcf 3 . Dans le premier cas, B se composera d'une portion cylindrique, de diamètre d, et de l'hémisphère qui la termine ; retranchant donc le volume de cette hémisphère , de B, on aura le volume et par suite la longueur delà portion cylindrique; augmentant cette longueur de \ d, on obtiendra la profondeur totale de renfoncement. Dans le second cas, l'impression se réduira à un segment sphértque ayant une seule base et dont la flèche se calculera, par tâtonnement , selon les règles de la Géométrie : c'est-àdire qu'on fera diverses suppositions sur la valeur de cette flèche, et qu'on calculera les volumes des segments sphériques correspondants pour les comparer au volume B de l'impression, qui a été trouvé par les premières opérations.

Considérons, par exemple, le boulet de 24 dont il a été question ci-dessus, et supposons qu'il soit lancé avec une vitesse de 280 m seulement , dans le même milieu ; on aura , en supposant P $= 12 k comme au n° 175,

Le volume de la sphère entière du projectile a été trouvé (216)

de O 1 * 5 , 00 176, lequel est beaucoup au-dessous de la valeur de B f retranchant donc, comme nous venons de le dire, 7 mc ,00176 ou 0»%00088, de mo ,0073b\ le reste mo ,00647 sera le volume de la partie cylindrique de l'impression ; divisant ensuite ce volume par la surface mq ,0176 du cercle de base de ee cylindre (177) , on obtiendra, pour sa longueur, m ,368 , à quoi il faudra ajouter la moitié du diamètre m ,18 du boulet , pour obtenir lu profondeur totale de l'enfoncement , ce qui donne M ,44S.

Si le volume B de l'impression eût été, au contraire, moindre que 0™°, 00088 , il eût fallu opérer par tâtonnement ainsi qu'on Ta expliqué ; mais nous ne saurions nous arrêter ici à donner un exemple de ce calcul qui ne présente guère plus de difficulté, et qui sera principalement utile dans les cas où le projectile sera animé d'une faible vitesse, ou viendra choquer directement un corps dont la dureté sera comparable à la sienne propre, tel que du fer forgé, de la pierre, etc. Ce même calcul servira aussi à déterminer, d'après des expériences bien faites, la résistance k du milieu sur l'unité de surface : il ne s'agira que de mesurer, avec une grande précision, le volume £ de l'impression pour chaque cas , ainsi que la vitesse V du projectile à l'instant où il va frapper normalement la surface qui limite extérieurement le milieu.

Quant à la durée de l'impression , il faudrait , pour l'obtenir, calculer séparément sa valeur pour l'intervalle où la résistance R varie, et pour celui où cette valeur reste constante. Ce dernier cas ne présente pas de difficulté, ainsi que nous lavons déjà observé (219), et l'autre se traiterait par la méthode du n° 134 ; mais, comme nous aurons occasion, un peu plus'loin , de résoudre des questions absolument analogues , nous nous contenterons d'y renvoyer le lecteur *.

* On trouve, par les principes des calculs transcendants, que, quand le yolune total de l'impression est très-petit par rapport à celui du projectile, ce qui arrive dans beaucoup de circonstances, on a, en nommant e la profondeur de l'impression, à un iosUot qi|i répond au nombre t de secondes écoulées depuis le commencement de la réaction et i la vitesse v conservée par le projectile, on a, dis-je, en conservant d'ailleurs aux autres lettres la même signification que dans les numéros précédents, et nommant #* Le rapport donné de d*D à 6kg,

/ «) e» MV*-My*

t*«tXarc[ sin -— , t*=V» , a» -*?(?»— w») ;

V aVj' a» hcd

d'où il sera aisé de déduire, soit au moyen des tables connues, soit par une extraction sia racine carrée, la valeur des quantités t, v ou e, quand on se donnera l'une quelconque d'entre elles. On aura de même , en nommant T, E la durée et la profondeur totales

222. Observations concernant la dureté du projectile et V épaisseur du milieu. On ne doit pas perdre de rue que nos calculs supposent au projectile une dureté (elle qu'il ne change pas de forme, d'une manière sensible, en s'enfonçant dans le milieu résistant. Dans le cas contraire, une portion plus ou moins notable de la force vive, dont il était animé avant son entrée dans ce milieu, serait employée . (161 et 2 18) à produire ce changement de forme; il arriverait aussi, dans le même cas, que l'aplatissement du projectile ferait, comme nous l'avons déjà observé, croître la surface, sur laquelle s'opère la résistance et par suite cette résistance elle-même , suivant une loi qu'on ne pourrait apprécier sans des expériences spéciales sur la dureté propre de la matière du projectile : ce cas arrive, en particulier, pour les balles de plomb qui s'aplatissent à mesure qu'elles pénètrent plus avant dans l'intérieur des terres, des bois, etc.; aussi faudra-t-il bien se garder d'y appliquer les calculs ci-dessus, sauf pour de très-faibles vitesses, ou pour des milieux peu résistants.

Nous avons également supposé que l'épaisseur du milieu, dans le sens du mouvement, était assez grande pour qu'il ne fût pas traversé entièrement par le projectile ; lorsqu'il en est autrement et que ce milieu est limité par deux faces perpendiculaires au mouvement, la force vive du projectile est seulement, en partie, employée à vaincre la résistance de ce même milieu, et celle qu'il en conserve, après en être sorti, sert à le faire cheminer plus avant dans l'air. Connaissant l'épaisseur du milieu et la valeur de h qui lui correspond y

de l'impression ,

1=*—=?-- e=aV, dans lesquelles a= % / r -, 0=o«,8o88, c«=3,i4i6.

La formule, qui donne T au moyen de a, montre que , quand le volume de la plus grande impression est, comme on le suppose, négligeable par rapport au volume du projectile, la durée de cette impression devient sensiblement indépendante de sa profondeur, ainsi que de la vitesse primitive V du même projectile. Cette conséquence, qui s'étend aisément au choc de deux corps quelconques, quand l'impression est infiniment petite, est analogue à celle qui concerne les faibles oscillations du pendule, dont il sera fait menlio» plus tard, et dont ladurée est également indépen Jante de l'amplitude de Tare parcouru, etc. La valeur de T montre d'ailleurs que la durée de l'impression est d'autant plus petite que la résistance ou la dureté de la matière du corps choqué, représenté ici par k, est plus grande, conformément à ce qui a déjà été remarqué n° 168. Dans la réalité et qu'elle que soit la petitesse de l'impression, sa durée est toujours un peu moindre que ne l'indique la formule; de sorte que celle-ci ne donne véritablement qu'une limite supérieure de cette durée, d'autant plus exacte que l'impression est plus faiWe.

on trouvera aisément la force vive qui reste au projectile : elle sera égale (187) à la force vive primitive, diminuée du double de la quantité de travail qui est relative à l'épaisseur traversée, et qui a pour mesure le produit de la résistance k, sur l'unité de surface, par le volume total de l'impression , formant ici un véritable cylindre*

des lois de l'impression dans les milieux tlts-coilsistants et d'use

Etendue limitée.

223. Influence de l'inertie et de la flexibilité des milieux dont le mouvement est gêné par des obstacles. Nos calculs supposent que la masse du milieu soit très-grande par rapport à celle du projectile, et que, si ce milieu compose un corps solide peu épais, tel qu'une planche de bois, cette planche ne fléchisse pas, d'une manière sensible, pendant l'impression. En effet, dans le cas contraire, une portion de la force vive primitive serait employée à vaincre l'inertie des molécules du solide ou à produire sa flexion ; cette portion aurait pour valeur (97 et 138) le double du travail que devrait développer, dans le sens du mouvement du projectile et au point où il agit , une force de pression quelconque pour amener la pièce au même degré de tension finale. On en tiendra donc aisément compte quand on aura observé cette flèche par expérience, on qu'on l'aura déterminée à l'aide du calcul , ce qui n'est nullement impossible comme nous le verrons plus tard , puisque nous connaissons ici la loi que suit la pression. Quant à la portion de la force vive du niobile ; qui est employée, dans le même cas, à communiquer une certaine vitesse aux molécules du milieu, elle sera d'autant plus grande que la masse de ce milieu sera moindre, et que son mouvement sera moins empêché par des obstacles étrangers. Nous verrons bientôt comment on peut calculer cette portion de force vive quand le milieu a la liberté de se mouvoir en tous les sens ; examinons d'abord ce qui arrive dans le cas où son mouvement général est empêché par quelque obstacle solide, et tâchons de démêler le rôle que jouent séparément l'inertie et la force de ressort des parties*

Supposons, par exemple, que la planche ci-dessus qui constitue le milieu solide, soit appuyée, à ses extrémités, contre deux poteaux invariables; elle s'opposera donc au mouvement d'une balle qui s'y enfoncerait, non-seulement par sa force de ressort , mais aussi par l'inertie de ses différentes parties; néanmoins, comme à l'instant

où renfoncement de la balle cesse, la flexion est aussi à son maximum et la vitesse nulle, l'inertie des parties de la planche qui, dans les premiers instants de la flexion , a absorbé de la force vive , a dû ensuite (141) et lors du ralentissement de la vitesse, restituer cette même portion de force vive ; de sorte que, dans la réalité, il n'y a eu, à l'instant dont il s'agit, de consommée que la quantité de travail nécessaire pour produire l'enfoncement et la flexion.

La force vive , primitivement possédée par In balle , se trouve

donc égaler le double de cette quantité de travail , que , par hypothèse , on sait estimer ; car les poteaux qui sont des masses inébranlables- et très-grandes, par rapport au projectile, n'ont, par cela même (160 et 162), rien ou très-peu absorbé. Ainsi on pourra encore , pour l'instant dont il s'agit , calculer l'enfoncement total, qui , d'ailleurs , sera nécessairement un peu moindre que dans le cas où la planche serait appuyée solidement dans toutes ses parties, ou serait suffisamment épaisse pour ne pas fléchir.

224. Influence de l'élasticité du milieu. Si le ressort de la planche ci-dessus n'a pas été détruit par suite de sa flexion générale , cette planche retournera en arrière , .et exécutera , autour de sa position primitive , une suite d'oscillations ( 19 ) de plus en plus petites , et qui finiront bientôt par s'éteindre , attendu les résistances de toute espèce qui s'opposent à ce mouvement. Si donc la balle s'est tellement enfoncée dans la planche , que la compression et le frottement qu'elle y éprouve , suffisent pour l'empêcher d'en sortir lors du mouvement général de retour, elle exécutera une série d'oscillations avec cette planche ; de sorte qu'au bout d'un certain temps, la force vive employée à mettre en jeu la force de ressort de celleci , n'en sera pas moins perdue inutilement pour l'impression. Je dis inutilement, bien qu'il soit évident qu'à l'instant où la planche revient en arrière avec une vitesse croissante , la balle , qui était au repos , résiste par son inertie et reçoit , à son tour et de la part du milieu, un choc qui tend à l'y enfoncer. un peu plus qu'elle ne l'était d'abord; mais, comme la vitesse rétrograde de la planche diminue de plus en plus , et que la balle résiste à ce ralentissement (66) en vertu de son inertie, il arrive bientôt aussi qu'elle tend à s'en séparer avec la vitesse contraire qu'elle a acquise ; or , si son* inertie est, à cet instant, vaincue par le frottement, etc. , qu'elle éprouve de la part du corps , elle a dû l'être aussi dans la

218 MÉCANIQUE 1NDUSTH1BLLE.

première période du retour ; de sorte qu'en réalité , renfoncement ^ n'a pas dû augmenter ; et attendu que les mêmes raisonnements s'appliquent aux oscillations suivantes , il est bien vrai de dire que le travail , recelé par la force de ressort de la planche , a été consommé sur des résistances étrangères à l'impression. Ainsi donc, quoique le milieu soit plus ou moins élastique , la force vive possédée d'abord par la balle, se trouvera partagée, à peu près, comme on Va dit n° 223.

Quand , au contraire , la balle se détachera de la planche , lors du mouvement de retour, ce qui arrivera généralement toutes les fois que l'impression sera peu profonde , cette balle sera , conformément à ce qui a été admis aux n°* 97, 115 et suiv., projetée en arrière avec une certaine vitesse ; toutefois la force vive correspondante sera une bien faible portion , non-seulement de celle que possédait d'abord la balle, mais même de celle qui a été absorbée par la flexion générale de la planche ; car le projectile quitte cette planche précisément à l'instant où elle a acquis sa plus grande vitesse de retour, et où elle a ainsi converti , en force vive et pour son propre compte , la majeure partie du travail qu'avait absorbé sa force de ressort.

On peut donc aussi affirmer que l'accroissement de l'impression, résultant du choc en retour, est également une quantité très-faible; de sorte qu'on pourra , dans bien des cas , admettre que la forte vive initiale du projectile se compote seulement du double de la quantité de travail qui répond et à la flexion générale et au volume de Fmpression, comme dans le cas où la planche est sans élasticité (223). Cette relation servira d'ailleurs à calculer lu profondeur de l'impression quand on sera certain que cette impression persiste, on que l'élasticité du milieu a été complètement détruite dans l'endroit même où elle s'est opérée; autrement, en effet, la vitesse restituée à la balle pourrait être très- appréciable , et sa force vive très-comparable à sa force vive primitive.

225. Conclusions relatives à la pénétration des milieux flesibl» retenus par des obstacles. On voit, par l'examen qui précède, que la force vive primitive du projectile sera composée , dans tous les cas, et de celle que conserve ce projectile après le choc, et du double de la quantité de travail qui a été absorbée tant pouf produire l'impression persistante , que pour imprimer à la planche lt

vitesse et la flexion qu'elle conserve ù l'instant où elle est quittée par la balle. Or l'expérience prouve que la vitesse de retour de la balle est généralement très-faible par rapport à celle qu'elle possédait d'abord , si ce n'est quand cette dernière est elle-même fort petite , et que la matière des corps qui se choquent est suffisamment roide et élastique pour que l'impression maximum soit , pour ainsi dire, insensible; ce qui n'est pas le cas que nous avons spécialement en vue ici.

On peut donc admettre généralement que la majeure portion de la force vive que possédait primitivement le projectile , a été consommée effectivement , soit a produire l'enfoncement du milieu ou l'aplatissement de ce projectile , soit à infléchir ce milieu d'une manière permanente, s'il est dépourvu de l'élasticité nécessaire pour reprendre sa forme primitive , soit enfin à lui imprimer, dans le cas oontraire, des oscillations ou des vibrations, plus ou moins rapides, plus ou moins étendues.

Nous sommes entrés dans tous ces détails , afin de bien faire voir comment la force vive se consomme ou se détruit, inévitablement et sans retour, dans la réaction des corps , et pour éclairer, de plus en plus, les principes théoriques que nous avons exposés dans les Préliminaires, notamment ceux qui concernent la communication du mouvement, lesquels trouvent des applications nombreuses dans les questions que présentent la pratique des arts et l'établissement des machines. Ces mêmes considérations serviront aussi à faire pressentir, à l'avance, les résultats de certains phénomènes , ou à apprécier certains effets plus ou moins compliqués de l'action des forces, qu'il serait impossible, en aucune manière, de soumettre à an calcul rigoureux ; et elles empêcheront , tout au moins , de commettre des fautes graves , quand il s'agira d'établir des projets dont les résultats se fondent sur les données de la Mécanique. C'est dans cette vue que nous allons ajouter quelques développements à tous ceux qui précèdent, concernant la réaction des corps solides libres.

226. De la pénétration des milieux limités et entièrement libres. Nous avons supposé jusqu'ici que la masse du milieu soit très-grande par rapport à celle du projectile , en sorte qu'il n'en reçoive aucun mouvement sensible , ou qu'ayant des dimensions finies , il soit tellement appuyé , en certains points, contre des obstacles, que les

parties voisines de celle où se fait l'impression , prennent seules un mouvement général de flexion , dépendant, soit de l'intensité de la force de réaction , de la pression exercée par le projectile , soit de la durée même de cette réaction ou de la profondeur de l'impression. Or il est essentiel de remarquer que cette flexion aura également lieu quand la pièce choquée sera parfaitement libre de se mouvoir dans le sens du chemin suivi par le projectile , ainsi qu'il arriverait, par exemple , si cette pièce était simplement suspendue à l'extrémité d'une corde très-flexible.

En effet , le mouvement serait d'abord communiqué aux parties voisines du point où se fait l'impression , et il ne se propagerait que successivement et progressivement aux parties les plus éloignées; celles-ci résistant donc par leur inertie , et demeurant un instant stationnaires , tandis que les autres ont déjà reçu, en grande partie, le mouvement du projectile et cheminent en avant, il est clair que la pièce doit nécessairement fléchir à mesure que ce projectile s'y enfonce , et fléchir d'autant plus que la masse , et par conséquent l'inertie des parties reculées , sont plus considérables.

Ainsi , dans le cas dont il s'agit , les choses se passent , en réalité, à très-peu près comme si le corps était appuyé contre des obstacles fixes vers les parties éloignées du centre d'impression , si ce n'est qu'immédiatement après l'instant de la plus grande flexion, et attendu la grande force de cohésion qui unit entre elles toutes les molécules du milieu , la vitesse se trouve propagée *, du centre d'action aux extrémités , de telle sorte que les différentes partiesse sont mises en harmonie de mouvement avec la masse du projectile , conformément à ce qui a déjà été expliqué (155 et suiv.). Lt formule du n° 156 donnera donc la vitesse commune dont il s'agit, et celle du n° 161 la portion de la force vive du projectile, qui s produit l'impression , la flexion ou tout autre changement d'état moléculaire éprouvé , par les deux corps , à l'instant où cette impression atteint sa limite.

Par conséquent, si le milieu résistant est sans élasticité ou a perdu sa force de ressort à ce même instant , et que la dureté du projectile soit d'ailleurs très- grande par rapport à la sienne propre,

M'MV a ,

la portion de force vive ^ , — ,dont il s'agit, et dans laquelle M re-

* Voyez y plus bas, les n°* a3i et a3a.

APPLICATJONS ET DÉVELOPPEMElNTS. 221

présente la masse entière du milieu , cette portion , dis-je, se trouvera alors égaler le double de la quantité de travail relative (221) au volume total de la pénétration du projectile dans l'intérieur de ce milieu, plus au double de celle qui a été absorbée pour produire la flexion générale et permanente de ce même milieu.

Cette dernière quantité de travail , qui pourra s'estimer à peu près comme dans le cas ( 223 ) où le milieu est retenu par des obstacles fixes , sera d'ailleurs négligeable toutes les fois que ce milieu aura assez d'épaisseur, assez de roideur, pour ne pas éprouver de flexion générale sensible , et qu'il sera assez mou , par rapport au projectile , pour que ce dernier puisse s'enfoncer, d'une quantité plus ou moins considérable , dans son intérieur , sans en être expulsé (224).

227. Du cas où le milieu libre est flexible et élastique. Si le corps solide, qui constitue le milieu résistant , conserve, à l'instant de la plus grande flexion , assez d'élasticité pour retourner vers la forme générale qu'il avait avant le cboc , sans en avoir assez pour que l'impression soit complètement effacée et que les corps se séparent immédiatement , il se passera des choses absolument analogues à celles qui ont lieu (224), pour le cas où le milieu est retenu fixement par les extrémités ; c'est- à-dire qu'il ne reprendra pas instantanément sa forme définitive , et qu'il n'y parviendra qu'après une série d'oscillations ou de vibrations de plus en plus faibles et relatives à sa force de ressort , oscillations en vertu desquelles il arrivera que , tantôt ce seront les extrémités qui marcheront en avant , et tantôt le point où a commencé l'ébranlement.

On voit aussi qu'une certaine portion de la force vive du projectile aura été employée à produire ces oscillations et le mouvement général de transport du milieu, etc. Mais , comme il n'existe point ici d'obstacles extérieurs , le travail absorbé par la flexion aura servi, en majeure partie , et après les oscillations terminées , à augmenter la vitesse générale ou la force vive du milieu; de sorte qu'on peut admettre que la force vive initiale du projectile se trouve simplement décomposée, après le choc, en deux parties, dont l'une égale le double de la quantité de travail relative au volume total de l'impression ou de l'enfoncement produit par ce projectile, et l'autre à la somme des forces vives finales conservées à la fois par les deux corps. Cette somme de forces vives se calculant d'ailleurs encore au

Stt MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

moyen de là formule du n° 166, puisqu'un les corps sont censés us pis se quitter après l'impression (159), il en résulte nécessairement

IMM'V 3 que la perte de force vive (161) M . -., , êera auiêi égale em double

de la quantité de travail nécessaire pour produire cette impression^ comme pour le cas où le milieu est sans élasticité, et ne reçoit d'ailleurs aucune flexion générale sensible.

228. applications et formules particulières relatives au penduk balistique. Ces dernières circonstances se présentent, entre autres, dans les expériences qui ont pour objet de déterminer directement la vitesse initiale des boulets de canons au moyen du pendule balistique, dont nous donnerons la description dans la seconde partie de cet ouvrage. Il nous suffit ici de savoir que ce pendule consiste tout simplement en un gros bloc de bois suspendu verticalement à des tiges très-minces, de manière à avoir toute liberté de se mouvoir à l'instant où il est cboqué et pénétré par la masse du projectile qu'on lance perpendiculairement à une de ses faces. Or on voit, d'après ce qui vient d'être dit, que, non-seulement on pourra calculer sa vitesse U, à l'instant de la plus grande impression, ou de la pénétration complète du boulet dans son intérieur, quand on connaîtra la dureté* de ses parties (218) ainsi que la vitesse d'arrivée Y du projectile, mais qu'on pourra, à l'inverse, calculer cette dernière vitesse au moyen de la première, par l'égalité (M-J-M') U=MY du n° 156 , et déterminer pareillement la valeur du multiplicateur k de la résistance, à l'aide de cette autre égalité (219 et £26)

quand on connaîtra en outre, d'après l'expérience, la valeur de la pénétration totale E subie par le pendule.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse encore du projectile des n M 175 et 219, lancé, avec la vitesse de 500 mètres, contre un bloc de bois de cbène pesant 1800 WI ; la vitesse U, imprimée à ce bloc à la fin de l'impression, sera, d'après la formule citée da n° 156, égale à

MTF ou p^F v - iF^ôô^soo-^^oo-^tMii;

et, comme on a ici (219) '

k = 5200000 k , | xà* = 2 X m *,0176 = m <,08o2,

on obtiendra, pour la profondeur de l'enfoncement du projectile dans le bloc pendule (175),

au lieu de l m ,76 qui a été trouvé, n° 219, pour le cas où le mouvement du bloc serait tout à fait empêché, soit par suite d'obstacles étrangers, soit parce que son poids serait, pour ainsi dire, infini par rapport à celui du boulet.

Si, à Tin verse, la vitesse U = 8 m ,811 eût été donnée immédiatement, d'après l'observation du mouvement qu'acquiert le pendule, aussi bien que la profondeur E = l m ,66 de renfoncement du projectile dans l'intérieur de sa masse, on eût trouve, à l'aide des mêmes formules, V = 500 m et A = B200000 k . Par cette manière de procéder, qui a été mise spécialement en usage par Hutton, géomètre que nous avons déjà souvent cité, on obtient donc deux résultats pour chaque expérience, et l'on remplit un double objet d'utilité pour l'avancement de la science.

229. Observations et conséquences particulières relatives à la profondeur de l'impression. Il est essentiel de remarquer qu'attendu que M -f- M' surpasse M', la force vive qui entre dans la première des égalités ci-dessus, sera aussi moindre que la force vive MV 2 possédée par le projectile ; de sorte que, tant pour ce motif qu'à cause que la pénétration est toujours accompagnée d'une flexion générale qui lui est étrangère, la valeur de E, dans le cas dont il s'agit d'un corps mobile, sera généralement plus faible que si ce corps était appuyé, de toutes parts, contre des obstacles solides ; et cela d'autant plus que M -j- M' surpassera davantage M', ou que la masse M' du corps choqué sera moindre par rapport à celle M du projectile. 11 est évident, au surplus, que la même conséquence s'applique également au cas où le milieu, sans être parfaitement libre, serait appuyé simplement contre des ressorts très-compressibles ; car ces ressorts, en cédant sous la pression qu'ils éprouvent, absorberaient encore une portion plus ou moins grande delà force vive transmise au milieu, portion que, à la rigueur on pourrait calculer (97) si l'on savait exactement comment varie, à chaque

instant, l'énergie de ces ressorts selon leur état de compression ou de flexion.

En partant de ces données, on pourrait arriver à quelques conséquences utiles relativement aux précautions à prendre quand il s'agit de se garantir de l'atteinte des projectiles, à l'aide de masques couvrants ou de boucliers, plus ou moins épais et consistants, destinés à recevoir l'impression immédiate du choc. On voit, par exemple, que, si l'on tient à diminuer, autant qu'il est possible, leur épaisseur, il conviendra de ne pas les priver de toute mobilité, de toute flexibilité, et de les appuyer plutôt par des ressorts très-compressibles, contre le corps à garantir, que par des obstacles ou pièces très-solides; qu'il n'est pas moins à propos de réduire, au minimum, leur masse ou leur poids, en diminuant, à cet effet, l'étendue de leurs dimensions transversales ; de sorte que , sous ce rapport comme sous tous ceux qui précèdent, il y aurait de l'avantage à les composer de plusieurs pièces distinctes et entièrement isolées, mais se recouvrant convenablement les unes les autres.

Pour réaliser, en particulier, la condition d'une grande mobilité, on pourrait notamment appuyer les masques, par des ressorts, contre des chars très-légers et très-roulants, ou contre de petits traîneaux portés sur des rouleaux évidés, etc. De tels dispositifs pourraient bien n'être pns les plus économiques et les plus avantageux dans tous les cas ; mais ils n'en constitueraient pas moins les masques qui, à égalité d'épaisseur et de matière, seraient capables d'offrir le plus de sécurité, le plus de résistance à la pénétration, s'il était permis de supposer d'ailleurs, comme on l'a fait dans les n 08 226 et suivants, que le mouvement se soit effectivement propagé, et la vitesse en quelque sorte disséminée également, dans toute l'étendue de la masse couvrante, à l'instant même où la pénétration du projectile est arrivée à son terme. Or, c'est ce qui paraît effectivement admissible pour cet instant, et quand il s'agit de milieux solides très-consistants, d'une étendue médiocre dans le sens transversal, et assez épais d'ailleurs pour ne pas être traversés entièrement par le projectile; car toutes ces circonstances influent sur la durée de la propagation du mouvement, comme nous allons entreprendre de le faire sentir par le raisonnement et par des exemples.

DE LA PROPAGATION DU MOUVEMENT DANS L'iNTÉRÏEUR DES ttlLIEUX DR DIVERSES NATURES, ET DES EFFETS DE SA DURÉE.

230. Idée de V influence que cette durée exerce sur les lois de la résistance des milieux indéfinis. Ce qui distingue essentiellement les corps solides des fluides parfaits, c'est, comme nous l'avons déjà observé (200), la grandeur de la force de cohésion qui unit entre elles leurs diverses parties. Dans les fluides, cette force est très* faible, de sorte que leurs molécules, qui sont séparées entre elles (27) par des pores d'une dimension comparable à la leur propre, jouissent d'une mobilité, d'une indépendance de mouvement pour ainsi dire parfaites; dans les solides et les corps mous, cette force est considérablement plus grande ; et si, dans certains corps, tels que les terres légères et sècbes, les sables, etc., qui sopt composés de parties plus ou moins grossières et en apparence indépendantes, cette force de cohésion n'existe que très-peu ou même point du tout, elle se trouve, jusqu'à un certain point, remplacée, quant aux effets, par le frottement et la force de réaction qui, dans leur contact mutuel, naît de la différence et de l'opposition de leur mouvement.

Il résulte de là, pour les fluides en particulier, que la vitesse no peut se transmettre qu'avec lenteur aux parties de la masse qui se trouvent à une certaine distance du point où se fait l'impression, et que, pour peu que cette distance soit grande, ou que la vitesse du mobile soit considérable, le mouvement ne s'y propage, en quelque sorte, jamais. Aussi arrive-t-il, dans ce cas, que la force vive totale, imprimée aux molécules du fluide, se réduit sensiblement à celle qu'ont acquise les parties qui avoisinent immédiatement le mobile, et dont le nombre ainsi que la vitesse étant directement en rapport avec la vitesse, la forme et l'étendue de ce mobile, permettent (199) de mesurer uniquement, parla force vive imprimée, la grandeur du travail nécessaire, à chaque instant, pour faire cheminer en avant le mobile avec sa vitesse constante, ou pour vaincre continuellement les forces d'inertie qui, presque seules alors, s'opposent à son passage.

Dans le cas des milieux consistants, au contraire, le mouvement imprimé directement par le mobile aux parties en contact, se propage, par l'intermédiaire des forces de cohésion et des résistances, dans toute l'étendue de la masse, avec une rapidité d'autant plus,

*8CAN. INDVSTR, T. I, 15

grande que ces forces sont plus considérables. C'est ce que prouvé,

en effet, la formule F X ' = M X^unMIÛ, qui donne

F* v = -— -, c'est-à-dire un accroissement v de vitesse d'autant plus

grand, pour un même instant infiniment petit t, et une môme masse élémentaire m, que là force F, qui unit cette masse aux parties dont elle reçoit immédiatement le mouvement, est elle-même plus eonsi» dérable. 11 en résulte donc une diffusion, un partage général des quantités de mouvement (131 et 154), communiquées par le mobile aux parties qu'il cboque directement, en vertu desquels la forée vive transmise au milieu, dépend bien plus de l'étendue entière de ce dernier ou de sa masse totale, que de la forme extérieure et des dimensions propres du mobile, conformément à ce qui a été admit généralement dans les n 01 153 et suivants, ainsi que dans le n*236. Voilà pourquoi aussi nous avons pu dire, n° 200, art. 3, que, quand un milieu solide a des dimensions pour ainsi dire infinies par rapport à celles du corps dur qui le pénètre, la vitesse qu'il communique aux parties voisines, et dans le sens de son propre mouvement, doit, puisqu'elle est presque aussitôt disséminée dam la masse entière du milieu, être considérée comme tout à fait inappréciable (160) par rapport à la sienne propre. L'action se réduisant donc sensiblement alors à vaincre ou à détruire et le frottement, et les forces de cohésion qui s'opposent directement au passage du mobile, il arrive que la résistance en dépend presque uniquement, et peut leur être censée proportionnelle pour une étendue et une forme déterminées du corps dur. A

331. Conséquences générales et observations relatives aux milieu* limités. En résumé, on voit que le travail, qui devrait être dépense* par un moteur pour entretenir, au môme état, le mouvement d'un corps dans l'intérieur d'un milieu résistant quelconque, se compose en réalité, à la fois, et du travail nécessaire pour vaincre les forces d'inertie des molécules de ce milieu, et de celui qui est nécessaire pour vaincre, à chaque instant, les forces de toute espèce qui unissent entre elles les différentes parties. Or, la pression totale exercée, sur le mobile, dans le sens de son mouvement, dépend essentiellement des premières forces pour les fluides parfaits, et des secondes pour les milieux qui ont beaucoup de consistance) mais, pour tous les états intermédiaires qui diffèrent beaucoup de

l'état qui constitue la fluidité ou la solidité parfaites» cette pression ne peut s'estimer rigoureusement ni par les simples forces d'inertie* ni par les simples forces de cohésion du milieu. *

Nos raisonnements supposent expressément d'ailleurs que le mi** lieu soit assez étendu pour que la masse entière ne reçoive, par l'action du mobile, aucun mouvement de transport général sensible, ou que, quand sa masse est limitée et comparable à celle de ce dernier, on ne considère que la portion de travail nécessaire pour produire immédiatement la séparation et le déplacement re*> latif de ses molécules, abstraction faite du mouvement général imprimé à toute sa masse : cette portion, qui a évidemment pour mesure le produit de la résistance R, exercée extérieurement contre le mobile, par le petit chemin relatif qu'il décrit a chaque instant dans l'intérieur du milieu, constitue véritablement (333) l'impression et la flexion souffertes par ce milieu. On a pu se convaincre, en effet (336 et suiv.), que, dans le cas d'un milieu limité, le travail total que devrait développer, contre le mobile, une puissance extérieure pour entretenir son mouvement absolu dans l'espace, ou, ce qui revient au même, la moitié de la force vive absolue qu'il perd à chaque instant, a, pour mesure, et le travail qui augmente la vitesse générale du milieu, et le travail qui produit immédiatement la pénétration et la flexion ou le déplacement relatif des molécules de ce milieu.

Nommons £ le chemin absolu décrit, par le mobile, dans l'espace et dans un très-petit temps quelconque, E' celui que décrit pareillement la masse entière du milieu, enfin e le chemin relatif que décrit le mobile dans l'intérieur de ce milieu, en vertu de la flexion générale et de la pénétration que ce dernier éprouve, on a évi* déminent E = E' -f- e, RE = RE' -J- Re; ce qui revient au principe énoncé, R étant la pression que le mobile éprouve dans le sens de son mouvement, et RE, RE' étant d'ailleurs équivalents (186 et 137), l'un à la moitié de la force vive perdue par le mobile, l'autre à la moitié de la force vive gagnée par la masse entière du milieu ; de sorte que Re = RE — RE' est véritablement égal i la moitié de la force vive détruite (161 et 336) dans la durée du choc. Quand le milieu limité est un fluide parfait, Re a sensible*' ment pour valeur la moitié de la force vive due aux mouvements relatifs qui ont été imprimés aux molécules qui avoisinent le mobile, et elle se mesure comme on l'a expliqué à la fin du n° 180.

Quand le milieu est très-consistant, Re a pour valeur approchée le travail même que nécessitent le rapprochement, l'écartementoula désunion des molécules dont il s'agit, soit entre elles, soit par rapport aux molécules de la surface extérieure du mobile, et on la mesure comme il a été expliqué n° 216 et suiv.

232. aperçus sur la durée de la propagation du mouvement dam F intérieur des milieux. Nous avons vu ci-dessus (230) que, quand un milieu est choqué ou pénétré, en un certain point, par un corps dur quelconque, le mouvement, communiqué aux parties immédiatement en contact, se propage d'autant plus rapidement, aune distance donnée de ce point, que les forces de diverses espèces qui unissent ces parties à celles qui leur sont voisines, ont une plus grande intensité par rapport au poids ou à la masse de ces mêmes

parties ; ce qui résulte bien clairement, ainsi que nous l'avons ex-

M pliqué, de la formule du n° 130, qui donne également t= — v,

et dans laquelle on suppose que M est la masse d'une certaine molécule, F la force qui l'unit à la molécule voisine déjà en mouvement, et v le degré de vitesse qu'elle en reçoit pendant le temps infiniment petit t. Or il est évident aussi que, pour un même milieu, le temps nécessaire à la propagation du mouvement, croit avec la distance dont il s'agit ; car il faut un certain temps t, quelle qu'en soit la petitesse, pour que chaque molécule ait reçu, de la précédente, ou imprimé à la suivante, son accroissement de vitesse t? par l'intermédiaire des forces F qui l'unissent à elles, et cela successivement et de proche en proche; ou, si l'on veut, le temps croit avec le nombre des molécules interposées entre celles qui touchent immédiatement le mobile et celles qui en sont séparées par l'intervalle que l'on considère. Enfin il n'est pas moins évident encore que le temps, nécessaire pour que les molécules, situées à cette distance, reçoivent un certain degré de vitesse donné et fini, est d'autant plus petit, à circonstances égales d'ailleurs, que le mobile agit immédiatement sur un plus grand nombre des molécules du milieu, ou par une plus grande surface ; car chacune des molécules éloignées de celles-là, en recevra, à la fois et dans un temps donné, une plus grande quantité de mouvement.

On voit donc que la durée de la propagation ou de la diffusion générale du mouvement, dans toute l'étendue du milieu, dépend

à la fois de la position de ses différentes parties par rapport au centre d'impression , de la forme qui limite extérieurement son étendue ou son volume, de la densité et de la force d'adhésion de ces mêmes parties, enfin de la forme et de l'étendue de la surface agissante du mobile. Quelle que soit, au surplus, l'intensité de la force de cohésion des molécules du milieu, la petitesse de son étendue par rapport à celle de la surface agissante, etc., on voit qu'il s'écoulera nécessairement un certain temps,. fini et plus ou moins facile à apprécier, avant que le mouvement se soit distribué également entre toutes les parties, conformément à ce qui a été avancé dans les n M 57 et 63, et à ce qu'indique le résultat d'une infinité d'expériences relatives à la réaction des corps *.

238. Exemple particulier de V influence qu'exerce la durée de la propagation du mouvement. Nous avons déjà rapporté (57) qu'une balle de fusil traverse une feuille de papier, un carreau de verre, une planche mince librement suspendus , sans leur communiquer une vitesse sensible , ce dont on peut être étonné au premier aperçu ; mais, en considérant, d'une part, qu'il faut un temps fini et appréciable pour que la vitesse se propage du centre d'impression aux points qui en sont à une certaine distance ; et, en considérant, d'une autre , que la feuille ou la planche ci-dessus ayant une faible épaisseur, la quantité de travail, qui se développe pendant la durée de la pénétration , est aussi une quantité très-petite (219) par rapport à la force vive primitive delà balle, on s'explique facilement la raison du phénomène.

En effet, par suite de cette dernière circonstance, la force vive de la balle sera très-peu diminuée et par conséquent le mouvement

* On remarquera qu'il s'agit spécialement ici du mouvement de transport général des molécules, en vertu duquel elles décrivent des espaces finis et croissants avec le temps, et non du mouvement vibratoire de ces molécules (19), par suite duquel elles ne feraient qu'osciller autour de leurs positions moyennes en s'écartant et se rapprochant alternativement les unes des autres. Ce dernier mouvement suit, à certains égards, des lois trèsdistinctes, quoiqu'il puisse coexister dans un même corps avec le premier : le plus léger ébranlement, imprimé à une ou plusieurs molécules, suffit pour le produire, et c'est particulièrement ce mode de mouvement qui produit la sensation des sons aigus ou des sons graves, selon qu'il est plus ou moins rapide.

L'étude difficile des phénomènes variés auxquels donne lieu la vibration moléculaire des corps, fait aujourd'hui l'objet des recherches de nos plus grands géomètres : elle a été préparée par les travaux de Chladni, et surtout, par les belles et récentes découverte* qui ont valu, à M. Félix Savart, la place qu'il occupe à l'Académie royale des sciences.

très-peu ralenti ; la pénétration aura donc lieu dans an temps excessivement court, et à peu près égal an quotient (48) de l'épaisseur traversée et de la vitesse moyenne , tandis que, par suite de la grande étendue transversale du milieu relativement aux dimensions propres du projectile, le mouvement n'aura pas pu , dans l'intervalle très-court dont il s'agit, se propager même à une assez petite distance du point d'action de la balle. Il est vrai que , dans les instants suivants, Ja vitesse reçue par les parties voisines de celles qui ont été enlevées, se répand, de proche en proche, dans toute l'étendue du milieu, et qu'il en résulte bientôt un mouvement de transport général ; mais il est aisé d'apercevoir par le calcul , que ce mouvement est extrêmement faible dans les hypothèses admises , même en ne tenant pas compte * de la quantité de mouvement et de la force vive communiquées à la portion, du milieu, enlevée parla balle, lesquelles sont nécessairement en déduction de la quantité de mouvement et de la force vive qui seraient transmises aux parties voisines, s'il y avait simplement déchirement et non arrachement.

Pour faire ce calcul, on devra d'ailleurs observer 1° que, d'après le principe du n° 154 qui s'applique à un instant quelconque du choc ou de la pénétration, la quantité de mouvement perdue par la halle à l'instant ou elle quitte le milieu, est égale à la quantité totale de mouvement qu'ont reçue , au même instant, les différentes partit» de ce milieu; 2° que la force vive primitive de la balle se compose (336 et suiv.) de celle qu'elle conserve en quittant le milieu, plus de celle qu'elle a communiquée à ce milieu , plus du double de la quantité de travail qui a produit la pénétration, quantité que

* C'est aussi ce que nous ayons négligé de faire au n° saa, et c'est ce qui ae fait orfi> nairement en traitant de pareilles questions, où il conviendrait, en outre, de tenir compte de la flexion, de la déformation générales et permanentes éprouvées par le milieu. La première circonstance exerce évidemment une grande influence sur les résultats da phénomène, quand la masse des parties enlevées est comparable à celle du projectile, ce qui arrive principalement pour les corps durs et cassants ; l'autre en exerce une égale* ment très-appréciable quand le milieu est assez ductile pour céder au choc sans se laisser entamer ou enlever, et que son élasticité forcée ne lui permet pas de reprendre sa forme primitive (yoy. n°* a34 et »35). Pour tenir compte d'ailleurs de ces effets dans les calculs il faudrait ajouter à la force vive conservée par la balle, la force vive communiquée aux parties enlevées et qui ont acquis une vitesse égale à celle de cette balle, plus le double du travail nécessaire pour produire l'arrachement et la flexion persistante. Si, en outre, le projectile était déformé dans l'acte du choc, il faudrait y ajouter encore le double du travail nécessaire pour produire cette déformation ; mais il est clan*, comme nous Pavons déjà observé, que l'une et l'autre de ces dernières quantités ne pourraient s'obtenir qu'à l'aide d'expérience» spéciales.

nous avons appris ci-dessus à évaluer dans certains cas ; mais ce calcul exigeant, à la rigueur , l'emploi de l'algèbre , et étant plus curieux qu'utile, nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.

Nous nous contenterons de remarquer , d'après toutes les réflexions qui précèdent, que l'étendue du milieu, sa forme, sa masse, sa flexibilité, la nature et la force de cohésion de ses parties, jouent un très*grand rôle dans le phénomène dont il s'agit , et qu'il ne convient pas de les négliger. On voit, par exemple» que, si la surface de la feuille ou de la planche ci-dessus est seulement égale ou trèscomparable à celle du projectile ; que , si d'ailleurs son épaisseur et son poids sont faibles et sa force de cohésion très-grande, nonseulement sa vitesse pourra différer peu de celle de la balle, mais qu'il pourra arriver encore qu'elle soit entraînée sans être pénétrée ni même déchirée.

284. Autre exemple relatif aux corp$dur$ très- fragiles. Un phénomène, non moins digne de remarque que celui qui vient d'être expliqué,, et que l'on concevrait difficilement si l'on ne tenait pas compte de la nature particulière du milieu et du temps que le mouvement met à se propager à ses extrémités, c'est celui que présente un carreaft de vitre qui , frappé par une balle, est percé d'un trou circulaire très-régulier, sans que le surplus de sa surface soit endommagé, tandis que le choc du même corps, animé d'une vitesse beau-* coup moindre, ou la simple pression du doigt, peuvent suffire pou* le briser en morceaux. Or ce fait s'explique très-bien en observant que, non-seulement le milieu est très-consistant, très-dur ^mais qu'enoore il est cassant, fragile % quoique doué d'une élasticité relative assez grande (19) ; ce qui annonce que ses molécules sont trèspeu susceptibles de changer de place, c'est-à-dire de s'écarter ou de se rapprocher, entre elles, sans se désunir totalement. Il en résulte, en effet, que, même avant l'instant où le mouvement ait pu se propager à une faible distance autour du centre d'impression, les molécules qui sont immédiatement en contaot avec la balle, cèdent à «on action, et se séparent brusquement des molécules voisines, sans les entraîner et sans qu'il survienne par conséquent une flexion générale sensible , dans la surface du verre.

Dans le cas d'un mouvement lent, au contraire, ce mouvement a le temps de se propager et la flexion générale de tfe produire avant que les molécules efl contact soient asse* écartées, des mole-

cules voisines, pour s'en séparer ; et alors, selon la forme du carreau de verre et la manière dont il est appuyé à ses extrémités , il éclata à la fois dans tous les points où l'écartement et le rapprochement des parties ont atteint leurs limites.

11 est évident que ces raisonnements ne seraient plus applicables aux corps mous ni aux corps ductiles (1 et 8); car leurs molécules pouvant subir comparativement un très-grand écartement ou un très-grand rapprochement sans se désunir, ils peuvent aussi prendre une grande flexion sans se briser, soit qu'on les choque avec une certaine vitesse ou qu'on les presse lentement.

285. Caractères qui distinguent la dureté de la ductilité. Nous venons d'énoncer la différence essentielle qui existe entre les corps durs , qui sont tous plus ou moins cassants ou fragiles et d'ailleurs très-élastiques, et les corps mous , les corps ductiles qui le sont généralement peu. Dans ces derniers , la force de cohésion est telle qu'elle décroît lentement avec l'écartement des parties, et qu'elle peut même croître, jusqu'à un certain point, par leur rapprochement ; dans les corps très-durs, au contraire, la force de cohésion semble être à son maximum par suite de l'arrangement des molécules , de sorte qu'elle décroît très-rapidement pour de très-faibles compressions ou de très-faibles allongements. On sait en effet, par expérience, qu'on ne peut faire subir un changement sensible, de forme ou de volume, à un corps cassant sans le rompre ; tandis qu'en réduisant le volume des corps ductiles, en les éôrouissant par le cira ou la simple compression (13), on augmente à la fois leur ténacité et leur densité jusqu'à un certain terme, passé lequel leur constitution semble se rapprocher de celle des corps durs et fragiles, qui, d'après les expériences récentes de Perkins, se réduisent complètement en poussière lorsque, étant contenus de toutes parts, on les soumet à des pressions de plusieurs milliers-d'atmosphères ; circonstance qui peut provenir d'ailleurs de la réaction qui s'opère à Finstant où l'ou cesse brusquement la compression.

On s'explique également, parla, comment les corps durs peuvent résister à des efforts de tension très-considérables , sans se rompre et sans s'allonger d'une manière sensible, tandis qu'ils cèdent, au contraire, sous le plus petit choc ; en effet, ce choc, comme nous l'avons déjà dit (170), développe toujours, en un temps extrêmement court, des quantités de travail finies, et les efforts qui en résultent n'on

d'autre limite (154 et 168) que celle de la dureté même et de la force d'inertie des corps ; tandis que les pressions, sans vitesse acquise, ne peuvent développer un travail appréciable qu'autant qu'elles auraient une intensité suffisante pour vaincre cette résistance à l'instant où elle acquiert une certaine valeur par l'effet de la compression. Enfin on s'explique aussi pourquoi des vases de cristal, dont la matière est très-dure, peuvent être brisés par suite de l'augmentation où, en quelque sorte, de l'accumulation progressive du mouvement vibratoire qui a été imprimé, à leurs molécules, au moyen d'un archet ou de la simple vibration excitée dans l'air qui les environne ; tandis que la même chose n'a pas lieu pour un vase composé d'une substance beaucoup moins dure, mais très-ductile , telle que le fer, l'argent, etc. En effet, les molécules de ces dernières substances peuvent supporter des déplacements beaucoup plus grands sans se désunir complètement.

236. Procédé usité dans les arts pour mesurer la dureté des corps par le choc ou la pression. Nous avons vu (220) que, pour un milieu d'une grande étendue .par rapport à celle du corps qui vient le choquer, les volumes des impressions totales sont sensiblertfent proportionnels aux forces vives de ce corps , et que le multiplicateur k de la résistance, qui mesure la dureté du milieu ou sa consistance, était sensiblement constant pour des substances homogènes; il en résulte donc qu'en laissant tomber, d'une même hauteur ou de hauteurs différentes; un même corps sur diverses substances, le rapport des hauteurs totales (166), d'où le corps est tombé, au volume de l'impression, ou à sa profondeur si ce volume peut être considéré à peu près comme un cylindre , pourra servir de mesure à la force de cohésion ou à la dureté du milieu. C'est, en effet, ainsi qu'on procède dans les arts , pour reconnaître la valeur comparée de cette force dans certains cas, et c'est ainsi, entre autres, que M. Vicat procède pour faire l'essai de la résistance comparée des matériaux qui entrent dans les constructions *, en mesurant les enfoncements de tiges d'acier très-dur, dans ces matériaux.

Cette méthode convient spécialement dans tous les cas où la substance à essayer présente un certain degré de consistance; mais,

* Voyez son important ouvrage ayant pour titre i'Risumi sur Us mortiers et ciments calcaires i i vol. û*-4°, Paris 18*8.

pour des corps très-mous, la simple pression produite par le poids d'une tige verticale posée doucement sur la substance (165 et suiv.), pourrait servir au môme objet, si elle n'avait l'inconvénient d'exiger plus de temps, et d'offrir moins de certitude dans ses résultats que celle où l'on opère par le choc. En effet, dans oe dernier procédé, le poids du corps dur étant toujours très-faible par rapport à la résistance du milieu, l'impression arrive rapidement à sa limite, et Ton ne peut se tromper que d'une très-petite quantité , sur sa profondeur totale, en la mesurant à l'instant où la vitesse est devenue insensible. Dans l'autre procédé, au contraire, il arrive, ou que le poids de la tige excède de très-peu les premières valeurs de la résistance, et alors l'impression est extrêmement faible et s'opère avec une excessive lenteur, ou que ce poids excède de beaucoup les valeurs dont il s'agit, et alors il- peut bien se faire que, la résistance croissant très-lentement dans les instants suivants, ou devenant même tout à fait constante (216), elle n'atteigne qu'au bout d'un temps fort long ou pour une impression très-profonde * une valeur qui puisse détruire complètement l'accélération de vitesse occasionnée par le poids de la tige ; il peut même arriver, dans certains cas, que cette résistance soit constamment au-dessous du poids, et alors le mouvement ne s'éteindrait, pour ainsi dire, jamais, comme on en aura bientôt des exemples relatifs au mouvement des corps dans l'air.

D'ailleurs, en tenant compte de la force vive conservée par la tige à un instant quelconque , si sa valeur mérite d'être prise en considération par rapport au travail correspondant développé (166) par la gravité dans tonte la descente de cette tige , et retranchant la moitié de cette valeur du travail dont il s'agit, on obtiendra encore la mesure du travail qui a produit l'impression correspondante, et dont le rapport avec le volume ou la profondeur de cette impression, pourra servir directement à apprécier ($19) la résistance ou la dureté de la matière, soit qu'il s'agisse d'une même tige ou de tiges distinctes ayant la même forme et les mêmes dimensions vert la partie en contact avec le milieu. Ainsi , en surmontant la tige d'un poids, assez lourd pour que la grandeur de l'impression soit exactement et facilement appréciable, on obtiendra, par cette dernière méthode , des résultats parfaitement comparables avec ceux qui résultent de l'emploi du choc ; en observant de plus, avec soin, la marche ou la vitesse de la tige aux divers instant», on pourra

même acquérir des notions utiles sur la loi que suit la résistance.

337* Observations diverses sur ces procédés. On voit , d'après ces discussions et tout ce que nous avons dit jusqu'ici concernant la résistance des milieux consistants, que les expériences, sur la dureté des corps, exigent beaucoup de précision et d'attention pour qu'on en puisse conclure des résultats rigoureux et comparatifs. Si l'on opère en particulier par le choc , il conviendra d'ajouter (166) la profondeur de l'impression à la hauteur de chute, et il faudra, dans certains cas (223 et suiv.), tenir compte de l'inflexion générale et du mouvement éprouvés par le milieu , ainsi que de la manière dont il est soutenu ou contenu : il est clair, par exemple, crue, s'il s'agit d'une substance molle, elle présentera plus de résistance quand elle sera enfermée dans un vase solide, ouvert seulement à la partie supérieure, que quand elle sera simplement appuyée sur un plan de niveau, et qu'elle pourra y prendre un mouvement d'extension horizontal. On voit encore qu'il conviendra d'avoir égard à la déformation du mobile (222) quand sa dureté ne surpassera pas notablement celle du milieu, ainsi qu'à l'influence de la forme de ses faces antérieures et latérales en contact avec ce même milieu ; car la résistance varie avec cette forme, etc., etc.

Les faces latérales, entre autres, quand bien même elles forment une surface parfaitement cylindrique , éprouvent , de la part du milieu, une résistance qui croît avec la profondeur de l'impression: pour se débarrasser d'une telle cause de variation , qui ne tient aucunement à la dureté de la substance pénétrée, il conviendrait de donner aux tiges d'épreuve une base un peu plus large que lé reste de ces tiges , ou de les terminer par une sorte de tête qui seule éprouverait les effets du frottement latéral, etc. Mais, quels que soient les procédés qu'on adopte, la résistance sera toujours compliquée des effets du frottement et de l'adhérence , qui sont étrangers à la dureté même du milieu ; de sorte qu'on n'obtiendra que des valeurs relatives à chaque appareil et non des valeurs absolues; on doit du moins faire en sorte que les circonstances des épreuves soient semblables sous tous les rapports, et c'est ce qu'on obtiendra, entre autres, si on ne fait varier que le poids ou la hauteur de chute des tiges, de manière à obtenir des effets à peu près identiques (165 et suiv.).

238. Autres procédés moins parfaits pour mesurer la dureté des

corps. Lorsque les corps sont très-durs, lorsqu'ils ont une étendue limitée ou qu'ils sont fragiles (235), tels que le verre, l'acier, les cristaux, etc., on ne peut plus faire usage des méthodes précédentes, et l'on a recours à des moyens, à la vérité plus imparfaits encore que ceux qui précèdent , mais qui suffisent aux constructeurs, aux physiciens, aux naturalistes, aux lapidaires, etc., pour classer les différentes substances, naturelles ou artificielles, suivant leur ordre respectif de dureté. L'un d'entre eux consiste à agir, sur la substance qu'on veut soumettre à l'essai, par un foret en acier, chargé d'un certain poids et auquel on imprime un mouvement de rotation, puis à comparer entre elles les profondeurs auxquelles il est descendu pour un nombre donné de tours : c'est la méthode employée d'abord par Rondelet pour mesurer la dureté comparée des pierres, puis en dernier lieu, par M. Vicat, pour éprouver celle des mortiers, des ciments, etc. Un second moyen est celui qu'emploient les ouvriers , qui essayent les corps avec la lime , les burins et les outils tranchants en général. Enfin la méthode principalement en usage parmi les naturalistes et les lapidaires, consiste à faire glisser ou frotter les corps entre eux, en les pressant de manière à reconnaître celui qui raye, entame ou use l'autre : c'est ainsi qu'on reconnaît que le diamant est le plus dur des corps connus, que l'acier est plus dur que le verre, le verre plus que le fer, le cuivre, etc.

Il est évident que ces divers moyens ne sont pas, dans le fond, aussi différents qu'ils paraissent l'être au premier aspect, et qu'on pourrait obtenir, de tous, des résultats presque aussi rigoureux que de celui qui a été exposé n° 236, si on avait l'attention de faire les essais dans des circonstances parfaitement semblables, sous le rapport de la forme, des dimensions des parties agissantes, de la profondeur de l'impression, et qu'on n'oubliât pas d'ailleurs de tenir compte exactement de la force avec laquelle on comprime chaque corps sur l'autre, et de celle qui est nécessaire pour le faire cheminer avec une vitesse donnée. Mais nous aurons occasion de revenir plusieurs fois encore sur cet important sujet, à l'occasion de la résistance que les corps opposent à leur rupture, à leur flexion, à l'action des outils, etc.

EXAMEN DIS ? &I1ICIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT HORIZONTAL ET VER- TICAL DIS CORPS DANS LES FLUIDES, ET SPÉCIALEMENT DANS l'AIR.

239. Considérations préliminaires. Nous n'avons jusqu'ici donné que de simples aperçus (113 et suiv.) sur la manière dont l'air agit, contre les corps , pour modifier et ralentir leur mouvement ; les données des n 00 202 et suiv. , jointes aux principes fondamentaux: qui ont été exposés dans les Préliminaires, nous mettent en état d'apprécier et de calculer même rigoureusement , les lois de ce mouvement pour deux circonstances importantes : celle où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse, dans la direction d'un plan horizontal solide qui supporterait, détruirait, à chaque instant, son poids ou l'action de la pesanteur, et celle où il serait lancé ou tomberait naturellement, dans la direction de la verticale, sans être aucunement soutenu contre cette même action. Nous apprendrons plus tard à calculer les lois du mouvement des corps qui, tels que les bombes et les boulets, sont lancés obliquement à l'horizon, et décrivent des courbes, au lieu de lignes droites, par l'action combinée et non directement contraire des différentes forces. On devra d'ailleurs remarquer que tous nos calculs et nos raisonnements demeureraient exactement applicables au cas où le corps serait mis en mouvement dans un fluide autre que l'air atmosphérique, par exemple dans l'eau, en y introduisant les modifications nécessaires et qui sont relatives à la densité, à la résistance de ce fluide.

Pour résoudre la question dans les cas particuliers et très-simples dont il s'agit ici, il est d'abord nécessaire de rechercher, pour chacun d'eux, la valeur de la force motrice ou dynamique (130) qui accélère ou retarde la vitesse du mouvement.. Nous conserverons d'ailleurs toutes les dénominations des n°* 199 et suiv., et nous

continuerons de représenter par F, la valeur, en kilogrammes, de

p la force totale dont il s'agit, par P le poids, par M = — la masse du

corps, et par Y le degré de vitesse qu'imprime, à ce même corps, la force F dans le temps infiniment court t.

240. Valeur de la force motrice dans le cas où le corps se meut sur un plan de niveau. L'action de la pesanteur, sur le mobile, étant détruite par le plan qui le supporte, la force motrice se réduit alors

uniquement à la résistance du milieu, qui correspond à la vitesse V possédée à chaque instant par ce mobile; on a donc (211 et 215), par exemple, F = R = 0,06253AAV' = 0,001 UV 3 kil. , pour le cas particulier du boulet du n° 215 et l'air atmosphérique dont il s'agit ici spécialement. On voit , par là , que le corps ayant été lancé avec une certaine vitesse initiale, cette vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvement ralenti, dans chacun des instants égaux à t, suivant une loi qui sera donnée (ISO) par la formule

9 m ,8088 X 0,001 UV a

F gF 0R,

= 0,00085V a X *, puisque P == 12 k ,68 (215).

Mais, comme la résistance R décroît très-rapidement aveo la vitesse Y du projectile , le mouvement ne sera pas uniformément relardé (107 et 112) ; il le sera, de moins en moins, pour des in* stants t égaux et très-petits , ainsi que le démontre la formule oi* dessus , qui donne les diminutions v de la vitesse pour chacun de ces instants. De plus, comme cette diminution est une fraction d'autant moindre de la vitesse V , possédée à cet instant , que cette vitesse est plus faible, on voit qu'à la rigueur, le mouvement ne pourra jamais s'éteindre complètement , quoiqu'il aille sans cesse en diminuant d'intensité ; en d'autres termes, ce n'est qu'après on temps excessivement long que la vitesse sera réduite à xéro*

241. Ce n'est qu'après un temps infini, que la vitesse s' éteint ou parvient à sa limite, quand la force motrice diminue sans cesse» Pour démontrer ce principe d'une manière positive , et qui s'applique généralement à tous les cas où la force motrice tend à s'affaiblir, de plus en plus et indéfiniment, sans jamais changer le sens de son action ; nous observerons que la formule , citée dans le numeto précédent, donne également, pour le temps t qu'une telle force met à imprimer au corps le petit degré de vitesse v f la valeur

laquelle indique qu'a mesure que F diminue, la valeur de la frac-

M tion r~ croissant indéfiniment, il faut bien aussi que le temps t, nécessaire pour imprimer un même degré de vitesse r, devienne de plus en

plus grand, et finisse par devenir énorme même pour de très-petite» valeurs dev. Quand, par exemple, F sera réduit à k , 00000001, pour le cas du boulet ci-dessus dont le poids P= 12 k ,68, le temps t, nécessaire pour diminuer ou pour augmenter la vitesse de la quantité €»= m , 001, ou de 1 millimètre seulement par seconde,

' . , 12 k ,68 X m ,001 12680000 - aMKa „

dwa étre de 9»,81 X (£,00000001 = -TOT" = 129â86 W

environ 36 heures.. On voit donc que la vitesse du mouvement ira sans cesse en croissant ou en diminuant d'intensité , sans jamais atteindre sa valeur limite, sa plus grande valeur, ou sans jamais devenir complètement nulle quoiqu'au bout d'un, temps plus ou moins long, elle acquière une valeur qui diffère extrêmement peu de celle vers laquelle elle converge sans cesse.

Ainsi règle générale : Toute* les fois que l'action d'une force motrice ou de pression ordinaire, agissant constamment ou sans interruption, sur un corps, soit pour augmenter, soit pour diminuer, à chaque instant, son mouvement, varie avec la vitesse même de ce mouvement, de manière à décroître sans cesse par une loi continue, ce n'est qu'au bout d'un temps infini qu'elle aura anéanti complètement la vitesse du corps, ou qu'elle lui aura fait acquérir une vitesse constante, une vitesse qui cesse désormais de changer, quoiqu'au bout d'un temps, souvent fort court , le corps parvienne sensiblement à l'un ou à l'autre de ces états.

Ce principe est, en quelque sorte, évident par lui-même, puisqu'une force qui agit toujours fait nécessairement varier la vitesse à chaque instant, quelle que soit sa petitesse ; mais il est clair aussi que, si son intensité ne dépendait pas uniquement de la vitesse, et qu'elle pût devenir nulle au bout d'un temps plus ou moins long, lq corps acquerrait, au bout de ce temps même, la limite de son mou-* veulent; or nous verrons bientôt qu'il existe de semblables forces motricestdans j a nature.

242. Réflexions sur la manière dont le mouvement s'éteint ou s 9 accomplit à la surface^ de la terre. S'il paraît quelquefois, comme dans le cas de la communication du mouvement par le choc, par le ressort des gaz de la poudre, etc., que des forces motrices décroissantes impriment aux corps toute leur vitesse, après un temps souvent fort court, c'est qu'en effet ces forces , par elles-mêmes excessivement grandes, font, au bout d'un très-petit temps, parvenir

les corps à nn état de mouvement qui approche beaucoup de celui qui répond à la limite ; c'est que les forces motrices ne suivent pas exactement les lois de décroisseraent que nous leur supposons à la première vue; c'est que leurs effets se compliquent des effets d'autres forces qui acquièrent de l'influence à mesure que celle des premières va en s'affaiblissant, ou plutôt c'est que nous ne tenons pas un compte exact de tontes les forces , distinctes de l'inertie , qui agissent sur Je corps ; car la force motrice , dont nous entendons parler ici, est le résultat combiné de toutes ces forces ; elle produit seule (130) le mouvement, et vainc seule l'inertie ou la force dynamique. C'est qu'enfin nous admettons volontiers, pour la facilité des considérations, que les corps, en se séparant après leur réaction mutuelle ou après leur choc, sont parvenus à un état de mouvement stable ; qu'ils ont acquis toute leur vitesse finale , et ne sont plus sollicités par aucune force; tandis que, dans la réalité, ils restent encore soumis à l'action des forces moléculaires ou de ressort qui ont été mises en jeu (223 et suiv.) dans leur intérieur, et qui ne rentrent dans leur état d'équilibre ordinaire , qu'après que chaque corps a exécuté une infinité d'oscillations autour de cette position d'équilibre.

An surplus , il faut bien le reconnaître d'après le résultat des belles expériences de l'illustre Coulomb et de beaucoup d'autres observateurs habiles, il existe des forces motrices et des résistances, telles que la pesanteur, les divers frottements, l'adbérence des corps en contact, la résistance des corps solides à la compression, à la pénétration , etc. (316), qui sont indépendantes de la vitesse du mouvement, et qui demeurent même constantes quelle que soit cette vitesse. Or tous les mouvements qui s'accomplissent à la surface de notre globe , étant nécessairement soumis , tôt ou tard , à l'action de semblables forces, il arrive toujours que ces mouvements s'anéantissent complètement , ou qu'ils parviennent à leur limite en un temps qui n'est jamais infiniment long, et qui même est en général fort court.

Voilà aussi pourquoi le mouvement ne peut s'entretenir ici-bas, dans les corps, sans une dépense continuelle de travail ou d'action; et voilà pourquoi le mouvement perpétuel, que rêvent des hommes privés des premières notions de la Mécanique et de la Physique, est une véritable chimère, quand on le recherche ailleurs que dans l'action immuable des forces de la nature, qui font mouvoir le»

corps célestes dans un espace vide ou privé de tonte résistance, et qui, sur la surface de la terre, servent , par leur renouvellement périodique plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.

243. Idée de la manière dont le mouvement horizontal des corps peut s'anéantir complètement, même en un temps fort court* Nous avons supposé ci-dessus (240) que le mouvement horizontal du corps était uniquement retardé par l'effet de la résistance de l'air, qui, diminuant sans cesse d'intensité avec la vitesse, ne peut jamais parvenir à réduire entièrement le corps au repos ; mais nous n'ayons pas tenu compte d'un autre genre de résistance qui naît de ce que ce corps ne peut se mouvoir horizontalement sans être soutenu par un plan matériel qui détruise, à chaque instant, l'action de la gravité sur ses propres parties , et sans presser ce plan matériel avec un effort égal à son poids ; d'où résulte une compression réciproque qui use les deux corps, ou altère, plus ou moins promptement, leur forme aux dépens de la force vive de celui qui est mobile. Or, les expériences de Coulomb, que nous ferons connaître plus tard, prouvent que la résistance qui provient de cette cause, est indépendante de la vitesse, ou reste la même à chaque instant, et qu'elle est une fraction déterminée , bien qu'assez faible , du poids du mobile, soit qu'il roule ou ne fasse simplement que glisser en cheminant en avant..

Nommant donc f cette petite fraction, nous aurons (240), F = R -f- /P ; de sorte que , quelle que soit la vitesse V du corps à un certain instant, et par conséquent la valeur de R, la force motrice F, qui ralentit le mouvement , fera perdre à ce corps , dans

chaque temps t , une portion de vitesse qui sera au moins égale à

'— x t=fgX f 7 ou qui serait exactement fgt 9 si la résistance de

l'air ne venait l'augmenter ; et, comme ici f 9 ou le frottement, est constant, on voit bien qu'au bout d'un temps plus ou moins long T, il aura détruit, à lui seul (112), une vitesse /^rT, qui pourra être une fraction notable de celle que possédait primitivement le corps, ou lui être même tout à fait égale : supposant , par exemple, la vitesse initiale de 800 m , etf=s ~ seulement, on aura, pour calculer le temps T, qui répond à la fin du mouvement,

500 m = £ 9 m ,81 X T = m ,327 X T ; d'où T = IBM 7 ',

ÎIÉCAN. IflDCSTR, T. I. 16

242 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

environ 25 'i* Mais, attendu que la résistance de l'air joint sort action à celle du frottement du plan, et que cette action a une intensité très-grande dans les premiers instants (915) ; on voit qu'eu réalité, il faudra un temps considérablement moindre encore pour que le mouvement soit complètement anéanti, comme on l'observe en effet dans tous les cas analogues.

Ce qui suit présente l'exemple de phénomènes de mouvement où la même circonstance se reproduit par l'action constante de la pesanteur.

244. Pâleur de la force motrice dans le cas ou le corps est lancé verticalement de bas en haut. Il est évident que le mouvement est à la fois retardé alors, et parla résistance R du milieu, et par l'action de la pesanteur sur le corps, ou de son poids P ; mais il convient ici (41, 118 et suiv.) de diminuer ce poids de celui du volume d'air qu'il déplace , puisqu'en vertu de la pression atmosphérique extérieure, il est poussé, de bas en haut, avec un&force mesurée par ce dernier poids, que nous nommerons P', et qu'il sera facile de calculer connaissant la densité/) du fluide (211). Nous aurons donc (202)

AV a F == R + P — P' = hp ^y- + P — P' .

S'il s'agit, par exemple, du boulet du n° 215, en mouvement dans un air dont la densité est l k ,227, on aura, attendu que, sous le même volume, les poids sont comme les densités (33 et suiv»), et qu'ici la densité de la fonte est censée de 7207 k ,

P'=-^g^-P — 0,00017 P = 0,00017 X lâ k ,68 « 0^,0022,

quantité excessivement petite par rapport au poids propre du boulet, et qu'on peut, sans inconvénient, négliger dans te casactael; de sorte qu'on aura simplement (240)

F«=0,001UV»+12 k ,68.

Le mouvement sera donc alors de plus en plus retardé, comme dans le cas qui précède (243), mais d'une manière bien autrement rapide; et Ton voit que, la force retardatrice conservant, à tous les instants , une valeur qui surpasse 12 k ,68, il faudra bien que le mouvement finisse par ^'éteindre complètement, même en un temps lort court.

Mais , si le corps , au lieu de la densité 7207 kil , en avait Une beaucoup moindre et comparable à celle de l'air, ou si c'était une boule creuse extrêmement légère , remplie d'un gai quelconque , il ne serait évidemment plus permis d'en agir ainsi. Dans le cas, par exemple , d'un ballon , en taffetas verni , gonflé par du gas hydrogène dont la densité est environ le ~ de celle de l'air (40) ou -fj l k ,227 = k ,082 pour l m % le poids de l'enveloppe , réuni à celui du gaz qu'il contient , c'est-à-dire P , pourrait même devenir moindre que le poids du volume d'air déplacé ; et alors , non-seu* ment il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait , par lui-même , à -s'élever avec une force mesurée par P' — P , et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré ( 108 ) , si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir ; la force motrice totale serait donc alors

AV* F = P' — P — R = P' — P — kp ^L.

248. Exemple particulier relatif à l'ascension verticale des ballons. Supposons , fig. 57, un ballon sphérique de 10 m de diamètre , son volume sera à très-peu près 523 mo ,6 ; par conséquent le poids du volume d'air qu'il déplace sera 528 nw ,8 X l k ,227 = 642 k ,5 , et celui du gaz hydrogène qu'il contient -^ 642 k ,S = 42 k ,8 environ. Si donc le poids de son enveloppe , de la nacelle en osier qui est suspendue au-dessous et de tout le surplus de son équipage équivaut à $99 k ,7, ce qui suppose que la nacelle porterait des objets fort lourds , tels que des hommes , etc., le ballon serait enlevé avec une force constante de 042 k ,5 — 42 k ,8 <— 899 k ,7 = 200 kil , qui sera diminuée , à chacun des instants du mouvement ascensionnel , de toute la résistance opposée par l'air , laquelle sera ici , à vitesses

/ 10 m V /200 V 40000 , égales (215), Us (^rjgj = (-yj — -g— de celle 0,0011 *V»

qui a été trouvée pour le boulet de m ,15 de diamètre, attendu que les résistances sont sensiblement entre elles comme les carrés des diamètres ; c'est-à-dire , en un mot , qu'on aura

R iioo^ ^ 0001 j Rya m *v a = 4,89 kV* environ,

etF = 200 k — 4,89 AV.

On voit que le ballon partira , de terre , avec une vitesse d'abord nulle , et qui augmentera , de plus en plus , tant que la résistance

4,89 XV sera moindre que 200* ; mais, quand elle égalera ce poids, c'est-à-dire quand la vitesse Y approchera de 8 m par seconde , la valeur de k étant alors (210) d'environ 0,64, et la force motrice F devenant nulle , le ballon conservera , en vertu de l'inertie (35), constamment la vitesse de 8 m qu'il possède à cet instant, ou se mouvra uniformément, avec ce degré de vitesse, tant que les circonstances resteront les mêmes , c'est-à-dire , tant que la densité de l'air et la force de la pesanteur ne changeront pas pour les diverses positions du ballon , en effet il est clair qu'alors F restera aussi constamment nulle. Or c'est ce qu'il n'est pas possible d'admettre ($7 et 61), même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aérostatiques , d'autant plus que l'expérience a appris que la température de l'air, qui influe notablement sur sa densité (211), diminue, comme la gravité, à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface des plaines. En effet , la hauteur de ces ascensions surpasse généralement 2000 à 3000 mètres; et l'on a vu , dans un célèbre voyage entrepris uniquement pour le progrès des sciences, un célèbre physicien français , M. Gay-Lussac, s'élever verticalement dans les airs à une hauteur de 7015 m au-dessus du niveau des mers ; ce qui est la plus grande élévation qu'aient encore pu atteindre les hommes. Ainsi les calculs qui précèdent ne peuvent concerner que des élévations médiocres , et qui ne surpasseraient pas , par exemple , 800 à 400 mètres de hauteur verticale ; dans toute autre circonstance , on ne devra les considérer que comme de simples approximations servant à donner une idée des phénomènes , et qui souvent pourront suffire pour l'objet qu'on se propose. Il ne serait pas impossible, à la rigueur, de tenir compte de la variation de densit4 des couches atmosphériques, qui exerce le plus d'influence; on sait la calculer assez exactement quand on connaît la température et la pression barométrique au niveau de la terre , et pour un lien déterminé; mais ce serait nous jeter dans des calculs qui ne seraient pas ici à leur place , d'autant plus qu'ils n'auraient d'utilité que pour la question des ballons *, et qu'on peut se dispenser d'y avoir égard pour celle des projectiles qui , tels que les bombes, sont

* Nous rappellerons, à cette occasion, que les ballons aérostatique* furent décourerts, en 178a, par le célèbre Montgolfier d'Annonay, et que Pilatre du Rosier» physicien distingué, né à Metz, périt, en 1785, victime de son zèle pour les progrès d'un art qui était encore dans son enfance, lorsqu'il tenta de franchir le détroit qui sépare la France d« l'Angleterre, Il fut aussi le premier qui, au mois d'octobre 1783, c'est-à*dire qnetyuet

élevés dans l'air , par la force de la poudre , à des hauteurs généralement médiocres.

246. Calcul de la force motrice dans le cas où le corps est lancé verticalement, de haut en bas, ou tombe par son propre poids. Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement du corps, toutes les fois que la densité de ce dernier est très-grande par rapport à celle du fluide : elle se compose évidemment alors du poids P de ce corps dans le vide , poids qui mesure proprement l'action de la gravité sur ses différentes parties , diminué et du poids P' du volume d'air qu'il déplace , et de la résistance R qu'il éprouve , a chaque instant , de la part de l'air extérieur ; on aura donc , pour le cas dont il s'agit ,

AV* F = P — P'— R = P — P' — kp —,

et le mouvement s'accélérera continuellement, tant que le poids P — F du corps dans l'air surpassera la résistance R , qui lui est opposée. Mais , de même que pour le cas ci-dessus des ballons , il s'accélérera de moins en moins , attendu que la résistance R croîtra rapidement avec la vitesse, et il arrivera bientôt un instant où le mouvement ne s'accélérera , pour ainsi dire, plus du tout , quand R approchera d'être égale à P — P', ou quand la vitesse différera très-peu de celle qui est donuée , par l'égalité

au moyen de l'extraction de la racine carrée du quotient de 2$r (P — F) par kpk. Ainsi le mouvement tendra sans cesse , dans le cas dont il s'agit , à devenir uniforme , et il le deviendrait rigoureusement si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse ci-dessus qui en est la limite*

Ces circonstances supposent essentiellement que P — P' surpasse R , dès l'origine du mouvement ou à l'instant du départ du

mois seulement après l'époque où les frères Montgolfier firent leur brillante expérience d'Annonay, eût le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à l'aide des ballons. La ville de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de du Rosier, a lait élever, à sa mémoire, un monument modeste naguère en ruine , et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en honorant ainsi une seconde fois, le courage malheureux d'un savant qui lui fut étranger.

mobile ; s'il en était autrement , et que P fût d'ailleurs plus grand que F, comme on vient de le supposer, la vitesse serait évidemment diminuée ou retardée par l'action d'une force

et le serait continuellement jusque vers l'instant où , la résistance R, diminuant de plus en plus , deviendrait telle qu'ajoutée à F, elle serait simplement égale au poids P du corps dans le vide ; ce qui arriverait pour la vitesse donnée par l'égalité

fy kpk

Cette vitesse limite étant la même que celle du cas précédent quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes , on voit que , quelle que soit la vitesse avec laquelle on lance, du haut en bas et dans la direction verticale, un corps donné, dans un fluide indéfini dont la densité est moindre que la sienne propre, ce corps tendra toujours à acquérir la même vitesse limite, et il l'atteindrait sensiblement, au bout d'un temps plus ou moins long, si aucun obstacle étranger ne venait suspendre tout à coup son mouvement. \

Enfin , si la densité de l'air surpassait celle du mobile , ou que F fût plus grand que P' , la vitesse serait de plus en plus retardée tant par l'action de P' que par l'action de la résistance R , de sorte qu'on aurait , dans le même cas ,

F = R-f F — Pj

quelle que fût la valeur de cette résistance ou de la vitesse.

La valeur de R -f- P' surpassant constamment P, il est clair que le mouvement finira par s'éteindre , comme dans le cas du n° 244$ et| attendu qu'on aura , à cet instant, V=0 f R=0,F = P f — P, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin , ou à remonter en vertu d'une force' motrice

il suivra dono dès lors absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à l'ascension des ballons (244 et 248) j ce qui hqus dispense de poursuivre davantage l'examen de son mouvement. Ce cas est d'ailleurs analogue à celui que présente un corps dense , lancé , de bas en haut , avec une certaine vitesse , et qui , parvenu

à fa pluf grande élévation, redescend ensuite en vertu de l'action prépondérante de son poids sur eelui du volume d'air qu'il déplace.

247. Exemples de calcul relatifs à la plue grande vitesse de chute des boulets. Dans le cas du boulet du n° 215, le mouvement deviendra uniforme à l'instant où l'on aura

puisqu'on peut négliger alors P' vis-à-vis de P (344) ; or on voit de suite , d'après la table du n° $15, que cette condition est satisfaite pour nne vitesse d'à peu près 126 m par seconde , répondant (310) à la valeur 0,73 du multiplicateur k de la résistance. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu'un boulet , de ce poids et de cette dimension , puisse acquérir en tombant verticalement dans l'air. Cette vitesse serait évidemment moindre pour un boulet d eau congelée ou de bois de même diamètre ; car la résistance , à vitesse égale, resterait toujours la même, tandis que le poids P serait diminué.

Par exemple, pour un boulet en bois d'orme dont la densité est environ (35) le neuvième de celle de la fonte de fer, ou aurait ~ 12 k ,68 = 0,0011 kY\ et la vitesse limite V serait un peu supérieure à j 126 m =s 42 m , ou plus exactement à 43 m ,50, attendu quç la valeur de k est ici (210) 0,69 au lieu de 0,73. Un boulet de platine, ayant de même 15° de diamètre , tomberait , au contraire, avec une vitesse qui surpasserait 126 m , à peu près de 0,73 X 130 = 92 m . Enfin , pour des boulets , en fonte de fer, qui auraient un diamètre au-dessous de 15°, la plus grande vitesse de chute serait nécessairement moindre que 126 m : pour un boulet de 3° de diamètre , par exemple , on aurait (215) l'égalité

12 k ,68 = i 0011 k V% ou | 12 k ,68 «a 0,0011 k V» ;

ce qui donne, en supposant d'abord approximativement * = 0,7,

d'où on tire, en extrayant la racine carrée, V =* 57 m ,4 pour la plut grande vitesse de chute; et, comme, d'après la table du n« 210, la valeur de k relative a cette vitesse est effectivement 0,70 , il n'y a pas lieu à recommencer le calcul pour obtenir un plus grand degré d'approximation dans le» résultats.

248. Observations sur le mouvement des parties très-fines des corps» Ceci explique pourquoi les poussières extrêmement ténues (7) tombent, dans l'air et à plus forte raison dans l'eau, avec une si grande lenteur, quoique leur densité surpasse de beaucoup celle du fluide qui les renferme ; nos formules peuvent même servir à calculer quel devrait être le diamètre d'un grain spbérique d'une substance connue, pour que la vitesse de chute ne surpassât jamais une vitesse donnée : par exemple, pour un grain de fer coulé tombant dans l'air, dont la vitesse limite devrait être seulement de jmii o m ,001, et dont n serait le rapport du diamètre à celui du boulet de 15 e , on aura (210)

* 3 X 12 k ,68 = * a X <MH>11 X 0,59 X (0,001)%

ou 12 k ,68 n = 0,000000000649 ;

0,000000000649 A AAAftnnllnnAl , et par conséquent #i= ftft = 0,00000000005 environ;

donc enfin le diamètre du grain

quantité moindre qu'un' cent-millionième de millimètre.

Les mêmes considérations peuvent aussi servir à expliquer pourquoi les courants d'air entraînent les poussières, d'un même corps, d'autant plus loin qu'elles sont plus ténues ; tandis que ces mêmes parties sont, à l'inverse, celles qui vont le moins loin quand on les lance, dans un air en repos, avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Enfin on se rendra parfaitement raison de l'énorme différence qui existe entra les vitesses de chute de plusieurs corps, qui, sous le même volume, ont des densités ou des poids également très-distincts : la diversité des formes en apporte d'au moins aussi grandes comme on va Je voir. ,

249. Calcul de la plus grande vitesse de descente des parachutes» On sait que les parachutes, à l'aide desquels les aéronautes peuvent abandonner leurs ballons et descendre, sans danger, des régions supérieures de l'atmosphère, sont à peu près disposés comme les parapluies ordinaires, fig. 58, si ce n'est qu'ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes, et qu'ils portent, à l'extrémité inférieure de leur tige verticale, une gondole ou petite nacelle en osier propre à recevoir le voyageur. On peut juger, d'après ce qui a été

observé n° 204, que l'ouverture la plus avantageuse du cône formé par la surface du parachute est celle qui donne à ce cône une hauteur égale environ au j- ou au j du diamètre de sa base ; considérant donc (211) la résistance R = 0,06253 *AV kilog., que présenterait la surface concave d'un tel parachute ayant 8 m de diamètre ou 4 m de rayon à sa base, on aura (20$ et 204)

au moins, et par conséquent

R = 0,06253 X S X 50 m *,2656 V 9 = 9,4298 V a kilog.

Supposant que le poids du voyageur et de tout le surplus de l'équipage soit de 85 kil environ , on aura, pour déterminer la plus grande vitesse qu'acquerra le parachute, dans sa descente, la condition 9,4298 V» = 85 kil , ou V a = 9 m * environ ; d'où la vitesse cherchée V = 8 m par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu'elle pût être atteinte par le parachute, serait assez faible pour prévenir tout accident à l'instant où la gondole toucherait terre.

Nous ajoutons en supposant qu'elle pût être atteinte, car nous n'avons pas tenu compte de la résistance de la gondole, des tiges du parachute, etc., et les calculs ne se rapportent qu'à la plus grande vitesse de chute que puisse acquérir le système, à celle qui répond à l'instant où le mouvement est devenu entièrement uniforme (245 et suiv.) Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, les corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air ne peuvent, ainsi que nous l'avons déjà insinué (246) et conformément au principe du n° 241, jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu'ils en approchent sans cesse, et que, dans certains cas où la force motrice F possède une grande valeur par rapport au poids P ou à la masse M du corps, ils puissent en approcher, de très-près, au bout d'un intervalle de temps même médiocre.

250. Démonstration géométrique de l'impossibilité que le mouvement continu atteigne rigoureusement une parfaite uniformité. Quoique ce fait résulte immédiatement des discussions du n° 241 déjà cité, il ne sera pas superflu de le démontrer directement, sans calculs et par les seules considérations de la Géométrie, d'autant plus que le principe est important, et s'applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend, sans cesse, à se régulariser par l'action

d'une force dynamique qui varie, en même temps que la vitesse, suivant une lui exactement continue et mathématique.

Traçons (fig. 59 et 60), une courbe ABC dont les abscisses Of, Ot", Q/'",.... représentent (50) les temps successivement écoulés depuis l'origine du mouvement, qui répond ici au point O, et dont les ordonnées #V, *"«", Y'V", .... correspondantes représentent, au bout de ces temps respectifs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force motrice ; il est clair que, si cette force motrice et par conséquent la vitesse augmentent (fig. 59), ou diminuent (fig. 60), constamment, par succession insensible et par une loi rigoureusement continue, la courbe s'éloignera ou s'approchera aussi, sans cesse, de Taxe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la fin, constante on uniforme, la courbe devra également, dès lors, se confondre avec une ligne droite parallèle à OT) mais, comme une courbe diffère essentiellement, dans sa nature, d'une simple ligne droite ; comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci ; comme enfin nous avons supposé que le déoroissement de la force motrice est essentiellement continu et suit une loi invariable, il faut nécessairement admettre aussi que la courbe ABC des vitesses ne dégénère jamais, rigoureusement parlant, en une simple ligne droite, mais bien qu'elle en approche de plus en plus et indéfiniment ; de sorte , par exemple , qu'au bout d'un temps excessivement long , ou à une distance excessivement grande de l'origine O, les vitesses ou les ordonnées différent aussi extrêmement peu de celles qui appartiennent à une droite DE parallèle à l'axe OT des temps ou des abscisses. Or cette droite estes qu'on nomme une asymptote dans la Géométrie des courbes, et c'est la valeur constante OD de ses ordonnées que nous avons, tout à l'heure, déterminée pour le cas du mouvement vertical des corps dans l'air.

Telle est l'interprétation géométrique très-simple du fait qui nous a d'abord été signalé par le calcul et le raisonnement, fait qui se reproduit dans une infinité de circonstances , parce qu'il existe aussi une infinité de lois, une infinité de courbes qui donnent liea h des asymptotes, dont le caractère général est, comme on voit, de s'approcher continuellement et indéfiniment d'une certaine branche de courbe y sans néanmoins pouvoir jamais V atteindre 9 et que l'on considère aussi quelquefois comme de véritables tangentes au point situé à l'infini sur une telle branche.

tes hyperboles, entra autre**, dont nous avons rencontré un exemple particulier daps le n° 181, possèdent deux asymptotes pareilles, quand on les trace dans toutes leurs parties ; car elles ont aussi deux branches infinies ; mais toutes les courtes qui ont de telles branches n'ont pas pour cela des asymptotes : la parabole, entre autres, est dans pe cas **, On doit voir, par là, combien 1 étude des courbes géométriques est utile pour là Mécanique , puisque ohacune de leurs propriétés répond essentiellement aussi à une propriété relative à -une des lois du mouvement des corps ou de l'action des forces motrices.

28 1. Réflexions sur la manière dont les moteurs communiquent le mouvement aux machines. Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quelconque, il commence par la mettre en mouvement avec un effort qui d'abord est très*grand (148), il détruit à la fois, au point où il opère immédiatement, et la réaction provenant de l'inertie des pièces de la machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles ; la force dynamique F, qui accélère le mouvement, est donc alors égale à l'excès de l'effort total du moteur sur l'effort que lui opposent directement celles des résistances dont il s'agit, qui sont indépendantes de l'inertie. Or. comme ces résistances ou restent sensiblement les mômes à chaque instant, ou augmentent de plus en plus avec la vitesse, et que l'effort du moteur décroît, au contraire (148), de plus en plus , il en résulte que le mouvement s'accélère, de moins en moins, à peu près comme dans les cas qui précèdent, de sorte qu'il tend sans cesse à se régulariser ou à devenir uniforme ; mais ce n'est qu'au bout d'un temps, souvent fort long, que la vitesse atteint sensiblement la limite de sa valeur, à laquelle elle ne parvient même jamais mathématiquement parlant.

Toutefois les moteurs animés différant essentiellement des autres en ee qu'ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l'intensité entière de leur effort primitif, malgré l'augmentation de, la vitesse, puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre les résistances étrangères à l'inertie, ou pour entretenir la vitesse du mouvement au

* Consultez a ce sujet la i3« leçon du Cours de Géométrie de M. Dupin, i" vol., pag. 3i4» ou la page 9a de la Géométrie des courbes de M. Bergery . ** Voyez les ouvrages cités dans la note ci-dettus, pages 3n et io3 respectivement.

252 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE).

point où elle est parvenue à un certain instant, on voit que la proposition ci-dessus n'est plus exactement applicable , et que la machine peut atteindre, au bout de très-peu de temps, l'état moyen de mouvement qu'elle doit conserver. Or la même chose aura lieu (241) toutes les fois que la force motrice suivra une loi arbitraire, et qui ne dépendra pas uniquement de la vitesse.