De l’angle du frottement

Soit un corps M ( fig. <)a ) posé sur un plan horizontal , et tiré parallèlement au plan suivant MQ. Si le poids P est tel que le corps M soit sur le point de se mettre en mouvement , ce poids représentera la résistance du frottement qui est ici le seul obstacle; et en le comparant au poids du corps , on trouvera qu’il en est ordinairement le tiers , ainsi qu’on la dit plus haut.

Maintenant si du centre de gravité de M on abaisse la verticale MN , qu'on prendra pour représenter le poids du corps , et si l’on prend sur l'horizontale MQ la portion MV qui soit le tiers de MN , cette portion MN représentera le poids P qui tire le corps ; et en achevant le parallélogramme MVTN , on aura MT pour la résultante des deux forces qui sollicitent ce corps. Gomme l’une de ces deux forces est ici égale et opposée à la résistance du frottement , on appelle l’angle MTN, que lait la résultante actuelle avec l’horizon , angle du frottement. Cet angle est donc en général celui que la résultante des forces doit foire avec la surface sur laquelle le mouvement doit avoir lieu , pour que ce mouvement soit sur le point de naître.

On peut encore trouver cet angle d’une autre manière. Un corps pesant posé sur un plan horizontal , demeure en repos , parce que la direction de la pesanteur est perpendiculaire à ce plan. Mais si l’on vient à incliner le plan tant soit peu , la pesanteur n’étant plus perpendiculaire au plan , le corps doit glisser de suite et (lescendre pour obéir à cette force sans cesse agis-

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santé. Cependant cet effet n'a lieu que lorsque le plan est parvenu à un certain degré d'inclinaison. C’est le frottement qui a empêché jusque-là le corps de céder à l’action de la pesanteur, et de descendre le long du plan. Si donc lorsque l’inclinaison est telle que le mouvement est sur le point de commencer , on décompose l’action tle la pesanteur MT ( fig. 93 ) en deux forces , l’une MX perpendiculaire au plan , et l’autre MV parallèle à ce plan , celle-ci qui est détruite par la résistance du frottement , servira donc à nous faire connaître la valeur de cette résistance. En considérant le triangle MTN , on a : le frottement est a la pesanteur , comme NT est à MT, et par conséquent comme la hauteur du plan est à sa longueur ; et il est à la pression comme NT est à MN , ou comme la hauteur du plan est à sa base.

L’expérience a appris qu’un parallèlipipede posé sur un plan incliné , se trouvait sur le point de glisser , lorsque la hauteur du plan était le tiers de sa base. Dans ce cas l’angle du plan avec la verticale est de 72 degrés et demi. C'est cet angle que l’on appelle l 'angle du frottement. Quelques-uns font cet angle un peu plus grand , et donnent au plan incliné , lorsque le mouvement est sur le point de naître , une hauteur qui est seulement le quart de sa base ; et l’on a dit que le rapport de ces deux choses était le même que celui qui se trouve entre la résistance du frottement et la pression que le corps exerce sur le plan. Cette seconde méthode pour trouver l’angle du frottement , nous fait voir comme la première, que cet angle est toujours celui que doit faire la résultante des deux forces ( fig. g 3 ) avec la surface sur laquelle le mouvement doit s’opérer. Faisons quelques applications,

Du Frottement dans les Machines . 43 i a. Évaluation du frottement dans le treuil.

Soit OIK ( fig. g 5 ) la roue d’un treuil , LGF le cylindre sur lequel s’enveloppe la corde où est attaché le fardeau Q , CTN l’axe ou boulon sur lequel se lait le mouvement. Si les forces P et Q ont la grandeur convenable pour l’équilibre , en les prolongeant jusqu’à ce quelles se rencontrent en M , leur résultante sera dirigée par l’axe suivant MG , et fera avec les directions des forces des angles connus A et B. Mais si la force P doit prévaloir , cette résultante passera entre C et O , «t viendra rencontrer le boulon en un point tel , que l’angle quelle fera avec la tangente en ce point , soit au moins égal à l’angle du frottement. SoitT ce point. Dans le triangle CMT , on connaît les deux côtés CT , CM , et l’angle CTM qui vaut 90° plus f , en désignant par f l’angle què nous avons appelé du frottement. L’on pourra donc calculer l’angle TMC , et par conséquent les angles TMO , TMF que les forces font avec MT, qui est la direction que doit prendre la résultante, pour que le mouvement soit au point de se faire.

Comme lorsque la résultante prend cette dernière direction , l’équilibre existe encore, on peut prendre à volonté sur cette droite TM un point, pour abaisser de là des perpendiculaires sur les directions des deux forces ; et celles-ci devront être entre elles dans le rapport inverse de ces perpendiculaires. Soit donc choisi pour cela le point T, et soient menées les perpendiculaires TO , TF ; ces lignes seront , en prenant TM pour rayon, les sinus des angles TMO , TMF que nous connaissons . et qui sont égaux aux angles A et B, l’un aug-

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mente , et l’autre diminué du petit angle OIT que l'on a calculé tout à l’heure , et que j’appelle q. On aura donc la proportion : la puissance P est à la résistance Q , comme le sinus de l’angle ( J> plus q ) est au sinus de l’angle ( A moins q ). On conclura de là la valeur de la force P , lorsque celle de la résistance Q sera connue; et cette valeur de P sera celle que la puissance doit avoir pour être sur le point de prévaloir.

Si les directions des deux forces étaient parallèles , on pourrait supposer quelles vont se rencontrer à une distance infinie , et alors les angles eux-mêmes seraient infiniment petits. La proportion ci-dessus devient pour ce cas : la puissance P est à la résistance Q , comme le rayon du cylindre augmenté de CT multiplié par le cosinus de f , est au rayon de la roue diminué de la même quantité.y est toujours l’angle du frottement qui devra être déterminé par quelque expérience , ou qu’on fera tel qu’on vient de le donner.