Du moment d’inertie

Appliquons ce qui vient detre dit , an cas d’un seul corps solide d’un volume quelconque , et supposons d’abord que ce corps est libre. En le frappant suivant une direction qui ne passe pas par son centre de gravité, il prendra comme nous savons , outre le mouvement progressif , un mouvement de rotation dont la vitesse

’aGst Première Section. Chapitre XIV.

sera exprimée par le quotient du moment de là 'puissance pris par rapport à ce centre de gravité , et divisé par la somme des particules matérielles du corps , multipliées chacune par le quarré de sa distance à ce même centre , ou plutôt à un axe perpendiculaire qui passerait par ce point. Cette somme s’appelle le moment d’inertie, du corps considéré par rapport à son centre de gravité, (i)

Si le corps n’est point libre, et qu’il soit en effet retenu par un axe fixe ; alors le mouvement de progression est nid , et il ne reste plus que le mouvement de rotation autour de l'axe. La vitesse de ce mouvement aura la même expression que tout à l’heure , si l’axe passe par le centre de gravité du corps , et que l’impulsion soit donnée dans un plan perpendiculaire à cet axe. Mais si l’axe fixe est placé tout autre part , même hors du corps , pourvu qu’un de ses points soit lié d’une manière invariable avec ce corps , et qu'il soit toujours perpendiculaire au plan de l’impulsion ; le mouvement de rotation , qui est encore le seul qui puisse avoir lieu dans le cas présent , se déterminera aussi comme on vient de faire, c’est-à-dire qu’on en aura la vitesse , en divisant le moment de la puissance

(i) D’après ce qu’on a vu ci-devant , la vitesse de rotation

PD

dans le cas d’un corps solide est , V = . •

r ’ mi» + niV*+m"r"*+ etc.

Jn , m', in" etc. sont les masses des différentes particules du corps ; r, r', r" etc. sont les distances de ces particules à l’axe ide rotation , et rar 1 -j-m'r'’ -f- m" r" 1 -f- etc. , est le moment d’inertie du corps par rapport à cct axe.

Du Mouvement de rotation. afi3 fris par rapport à l’axe fixe , par le hioment d’inertie du corps calculé relativement au même axe. ( 2 )

Pour déterminer la vitesse de rotation perpendiculairement autour d'un axe quelconque , il faut donc pouvoir trouver la valeur des produits de chacune des particules matérielles du corps multipliée par le quarré de sa distance à l’axe. Or la chose présente souvent de très-grandes difficultés , et ne peut jamais s’effectuer qu’à l’aide du calcul. On a observé que cette recherche devenait moins difficile , quand elle était relative à un axe , qui passait par le centre de gravité du corps ; et l’on s’est de plus assuré (pie , quel que soit le point dans le corps , ou hors du corps , par lequel passe l’axe fixe , le moment d’inertie relatif à cet axe était toujours composé du moment d’inertie pris par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité , plus i du produit de la masse du corps multipliée par le quarré de la distance qui sépare les deux axes. (3)

(a) d, d', d* etc. étant les distances des particules à cet axe quelconque , le moment d’inertie relativement à cet axe sera exprimé par la somme rad* -f- m'd ,, -|-m"d" , + etc.

(3) D’après ce qu’on vient de dire, on doit avoir : md* +

jn' d'*-|-m" d"* -f- etc. ~ m r 1 -p in' r"* -j-etc.-J-MA* .

JVl est la masse du, corps , et A est l’intervalle qui sépare les

deux axes. La vitesse de rotation autour de l’axe supposé ,