Valeur du moment d'inertie dans ■ quelques cas

I. Le moment d’inertie d’une droite uniformément pesante pris par rapport à un axe perpendiculaire mené par le milieu de sa longueur est égal au tiers de sa masse multipliée par le q uarré de sa dem i-longueur. (1) IL Le moment d’inertie d’une circonférence de cercle , ou d’un anneau circulaire d’une épaisseur uniforme , tournant autour d’un axe perpendiculaire à son plan , et qui passe par son centre , est égal à la

— rr — . La lettre R’ indique ici la somme des quarrés

mit: 4. Ma* 1 ^

r 1 r'* r"* -f- etc. Cette expression , en désignant par

jQ* le quotient du moment d'inertie divisé par la masse du ... PD

corps . deviendra V ~ — ■ — j— r. Telle est la forme sous

laquelle ou met ordinairement l’expression de la vitesse de rotation autour d’un axe quelconque.

(1) Si l’on fait la droite égale à aa , l’on a alors , Q 1 — ' a*. La masse M est ici supposée égale à l’unité : il en est de même dans les valeurs qui suivent.

Du Mouvement de rotation • a65

masse de la circonférence ou de l’anneau multipliée parlequarrè du rayon. Si l’on faisoit tourner l’anneau autour d’un de ses diamètres , le moment d’inertie n’aurait alors que la moitié de cette valeur, (a)

III. Le moment d’inertie de l’aire d’un cercle tournant autour d’un axe perpendiculaire à son plan , et qui est mené par son centre , esc égal à la moitié de la masse du cercle multipliée par le quarré de son rayon. Mais si le mouvement se fait autour de l’un des diamètres , le moment d’inertie ne serait que la moitié de celui-là. (3)

IV. Le moment d’inertie d’un cylindre circulaire ,• relativement à son a xe, est égal à la moitié de la masse du cylindre multipliée par le quarré de son rayon. Mais si l’on conçoit une section faite dans le cylindre parallèlement à sa base , et passant par le centre de gravité , et qu’on suppose que le cylindre tourne autour de quelqu’un des diamètres de cette section , dans ce cas le moment d’inertie esc égal à la masse du cylindre multipliée d’une part par le tiers du quarré de sa demi-longueur , et de V autre par le quart du quarré de sa demi-largeur. (4)

(a) a étant le rayon de la circonférence , Q* rrra 1 dans le premier cas , et Q 1 = \ a’ dans le second cas.

(3) Pour l’aire du cercle , on a Q* = \ a 1 ou Q 1 = \ a 1 selon la manière dont on le fait tourner.

(4) Le rayon du cylindre étant a , et sa demi-longueur b , on a pour le premier cas, Q* = i a* , et pour le second ,• 9» = ib> + ’a*.

SGG Première Sectioît. Chapitre XIV.

V. Le moment d’inertie d’une sphère par rapport à l’un quelconque de ses diamètres est égal à la masse de la sphère , multipliée par les deux cinquièmes du quatre de son rayon. (5)

VI. Enfin le moment d’inertie cT un parallélipipèdê rectangle pris par rapport à son axe , est égal au tiers de sa masse multipliée par le quarré de sa demi-largeur , plus le même tiers multiplié par le quarré de la demi-épaisseur. Si le parallélipipèdê tourne autour d’un axe passant par le centre de gravité parallèlement à la largeur de la base , alors dans la valeur précédente il faut substituer la demi -longueur du solide à sa demi-largeur ; et si l'axe de rotation est parallèle à l'autre dimension de la base , c'est la dcmi-cpaisseur du solide qui doit être remplacée par la demi-longueur. (6)