Mouvement uniformément varié

Cherchons les lois du mouvement uniformément accéléré ou retardé : car il est évident que le mouvement tout-à-fait inégal ne peut-être soumis à aucune loi.

Si l’on suppose donc que la vitesse d'un mobile croît à chaque instant de la même quantité , il sera facile d’avoir cette vitesse au bout d’un nombre donné d’instans , pourvu qu’on connaisse la vitesse initiale , et la quantité dont elle augmente à chaque instant. Il faut pour cela multiplier l’ accroissement instantané par le nombre des instans , et ajouter à ce produit la vitesse primitive. Si celle-ci était nulle , il ne resterait que le produit indiqué pour exprimer la vitesse demandée. Ainsi un mobile qui part du repos , et dont la vitesse s’accroît de quinze pieds par seconde , jouit au

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bout de dix secondes , d’une vitesse capable de lui faire parcourir uniformément i5o pieds par seconde, (i)

Quanta l’espace parcouru dans l’espèce de mouvement que nous considérons ici , j’observe que si dans le mouvement uniforme , où la vitesse est constante , cet espace augmente en même raison que le temps, il doit quand le mouvement est uniformément accéléré , augmenter à la fois en raison du temps et en raison de la vitesse. Mais celle - ci , comme on vient de voir , suit aussi la loi du temps , et augmente avec lui. Donc dans cette sorte de mouvement l’espace parcouru depuis le commencement suit la double loi du temps , ou la loi du quarré du temps ; c’est-à-dire que dans un temps double l’espace parcouru est quadruple ; qu’il - est neuf fois plus grand quand le temps est triple , etc. Remarquez que les temps et les espaces doivent se compter à partir de l’origine du mouvement.

Telle est la loi qui établit le rapport entre les espaces parcourus dans des temps différens : on dit qu’ils sont entre eux comme les quarrés des temps. Mais comment trouver la grandeur absolue de l’espace parcouru depuis l’origine du mouvement pendant un temps donné ? Il faut observer pour répondre à cette question , que la vitesse est allée en croissant uniformément pendant toute la durée du mouvement , depuis le premier instant ou elle était nulle , jusqu’à la fin du temps donné où elle nous est connue par la première loi. Or il est facile de voir que l’effet , ou l’espace parcouru par le

(i) En désignant par v la vitesse demandée , par u l’accroissement instantané , et par t le nombre des instans , on a la formule v — ut. S’il y avait une vitesse initiale v , la formule serait : v — v ut.

4o Première Sectioït. Chapitre II.

mobile en vertu dune vitesse ainsi croissante , est le même que si la vitesse eût été uniforme et égale à la moitié de celle acquise pendant le temps en question. En prenant donc la moitié de cette dernière et la multipliant par le nombre des instans , on aura l’espace demandé. Il est encore évident que si le mobile , au bout du temps donné , continuait à se mouvoir uniformément pendant un temps égal avec la vitesse qu’il a à ce moment , il parcourrait un espace double de celui qu’il a parcouru jusqu’alors, (i)

Si le mobile avant d'être saisi par la force accélératrice , avait déjà dans le même sens une vitesse uniforme quelconque , il faudrait l’ajouter à celle que cette foi 'ce lui a communiquée , et augmenter l’espace parcouru de tout celui que cette vitesse uniforme est ca- • pable de lui faire parcourir. Mais si celle-ci avait été imprimée au mobile dans un sens contraire à celui de la fore e d’ accélération , alors l’effet de cette dernière force serait d’affaiblir continuellement et de plus en plus la force qui lui est opposée ; et elle ne viendrait à bout de la détruire complètement qu’au bout du temps qui lui est nécessaire pour produire une vitesse égale. Le mobile à cet instant cesserait d'obéir à la vitesse uniforme

( 1 ) la vitesse v — ut ayant été acquise par degrés égaux et successifs pendant le temps t , est équivalente à une vitesse uniforme moitié moindre , ou égale à * ut ; et l’espace e décrit pendant ce temps / avec cette vitesse est égal à ’ ut X /• La formule des espaces dans le mouvement uniformément accéléré est donc c — ’ ut'. On tire facilement de cette formule les diverses règles établies dans le texte.

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dont il était d’abord animé , et il ne serait plus soumis qu’à la seule force accélératrice , qui l'entraînerait en sens contraire , comme s’il partait du repos , et qu’il commençât seulement à se mouvoir. Quant à l’espace qu’il aurait parcouru dans la première direction , on le trouvera facilement , en déterminant le temps pendant lequel il s’est mu dans cette direction , et calculant V espace que la force accélératrice fait décrire pendant ce même temps. Ces deux espaces sont évidemment égaux. Nous verrons par la suite des applications importantes des principes qu’on vient d’établir sur le mouvement uniformément accéléré ou retardé.