DES CORDES

ous supposerons d’abord que les cordes nont point de pesanteur , ou plutôt nous ferons abstraction de leur poids ; et nous les considérerons comme réduites à leur axe ; parce qu’elles ne sont dans le moment pour nous que des moyens de transmettre l'action des forces , et que cette transmission se fait toujours par l’axe de la corde.

i . De la tension des cordes.

Soit donc deux puissances luttant l’une contre l’autre à l’aide d’une corde. Cette corde, comme il est évident , éprouvera une tension : elle se trouvera tirée dans deux sens opposés , et il se fera un effort pour la rompre. Si la corde est capable de résister, elle opposera aux puissances qui tendent à la rompre , une puissance égale ; et c’est cette dernière que l’on désigne par le mot de tension.

Il est facile de voir que , si les deux forces que l’on considère sont égales , la tension que supporte la corde , est exprimée par l’une seulement de ces deux forces. En effet le cas est le même que si la corde étant attachée £un point fixe, la force en question faisait effort contre

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le point d'attache. Dans ce cas il est certain que ht tension de la corde ne saurait être plus grande que la force employée à la tendre. Au lieu du point fixe substituons une seconde force qui agisse en sens contraire de la première et lui soit égale. Il est évident que l’introduction de cette seconde force ne peut augmenter la tension de la corde ; puisque la force introduite ne remplit , et ne peut remplir que les mêmes fonctions que le point fixe. Ainsi la tension d’une corde est toujours mesurée par l’une des deux forces égales , qui se font équilibre par son moyen.

Si les forces qui agissent l’une contre l’autre sont inégales , la tension de la corde , est alors mesurée par la plus petite de ces deux forces. Car celle-ci étant obligée de céder à la plus grande , doit être entraînée dans le sens de cette dernière avec une force égale à la différence des deux, et la corde aussi sera entraînée de la même façon. L’excès de la plus grande force sur la plus petite ne peut donc faire éprouver à la corde aucune nouvelle tension. Donc toute la tension que cette corde éprouve , est simplement égale à la plus petite des deux forces.

a. Equilibre entre trois forces.

1 Considérons maintenant trois forces agissant les unes contre les autres au moyen de trois cordons , et supposons d’abord que ces cordons soient unis par un même nœud. Si ces trois forces sont en équilibre , 1 une quelconque d'elles doit être égale et opposée à la résultante des deux autres. Soient donc les forces P , Q et S ( fig. 46 ) agissant suivant les droites AB , AC , AD ;

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les deux premières étant représentées par les parties AB, AC de leurs directions, la troisième le sera par AD, égale et opposée à AE résultante des deux autres. Ainsi les trois forces dans le cas d 'équilibre , sont entre elles comme les crois côtés du triangle ABE ; c’est-à-dira qu'on a alors : P esc à Q est à S , comme AB esc à BE esta AE.

Si l’on décrit une circonférence de cercle qui passe par les trois points A , B , E , les lignes AB , BE , AE seront les soutendantes des arcs sur lesquels chaque angle du triangle est appuyé , et les moitiés de ces ligne* seront les sinus de ces mêmes angles. On aura donc : P est à Q est à S , comme le sinus de l’angle E estau. sinus de l'angle A est au sinus de l’angle B. Or l’angle E est celui que font entre elles les forces Q et S , l’angla A , celui des forces P et S , et l’angle B , celui des forces P et Q. L'on peut donc dire , que dans l'équilibre entre trois forces au moyen de cordons assemblés par une même nœud , chacune des forces esc ■proportionnelle au sinus de l’angle formé par les directions des deux, autres.

Si l’une des trois forces était remplacée par un point fixe , on aurait la tension du cordon attaché à ce point toujours égale et opposée à la résultante des deux autres forces , et par conséquent proportionnelle au sinus de l’angle que ces forces font entre elles.

Au lieu de supposer les cordons assemblés par un même nœud , concevons que les forces P et Q ( fig. 47 ) , sont appliquées aux deux bouts d’une même corde , et que la force S agit au moyen d’un cordon attaché à un anneau qui peut glisser le long de la corde PQ. Dans pe cas il faudra pour l’équilibre , i.° que l'angle PAQ^

ao

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soit partagé en deux parties égales par la directioti de la force AS ; 2, 0 que les deux forces P et Q , soient aussi égales entre elles.

La première condition est nécessaire ponr qne l’anneau ne puisse se mouvoir d'aucun côté : car étant placé entre deux droites AP , AQ également inclinées à la direction AS de la force qui le sollicite , il est évident qu’il n’y a pas de raison pour qu’il s'avance sur lune plutôt que sur l’autre. Donc il demeurera en repos , s’il est dans la position qu’on a dite. Dans tout autre cas , il glissera ou vers P , ou vers Q , jusqu’à ce que cette première condition se trouve remplie.

La deuxième condition est une conséquence nécessaire de la première : car les forces P et Q suivant ce qu’on vient de dire , devant être entre elles comme les sinus des angles SAQ , SAP , et ces angles étant égaux par supposition, il suit que ces forces sont égales. C’est au reste ce que l’on peut encore conclure facilement de ce que les deux forces agissent l’une contre l’autre ait moyen de la corde PAQ. On sait quelles ne peuvent être en équilibre qu’autant quelles sont égales ; et quoiqu’il y ait ici une troisième force S qui détourne sur elle-même une partie de leur action , cela ne peut pas empêcher que les efforts quelles opposent l’une à l’autre, ne soient encore égaux, à cause de la continuité de la corde PAQ , qui évidemment ne peut pas êtr* plus tendue dans une partie que dans l’autre.

3. Equilibre lorsque la corde est attachée à , deux points fixes •

A la place des deux forces P et Q , on peut supposer Bçux poiats fixes ( fig. 48 ) j où la corde est attaché*

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par ses deux bouts. Dans ce cas lorsque l’anneau est parvenu dans la position convenable pour l'équilibre , les deux points fixes auront à supporter des efforts égaux , et les deux parties de la corde se trouveront également tendues. Cette tension sera à la force S , comme le sinus de la moitié de l’angle PAQ est au sinus de cet angle tout entier. Si l’on fait passer encore une circonférence de cercle par les trois points A , P , Q , et que l’on mène les droites PQ et PR , celles - ci pourront servir à exprimer le même rapport , et la tension de la corde sera à la force S , comme PR est à PQ.

Si la force S est un poids , la ligne AS sera verticale ; et si d'ailleurs on suppose que les deux points P et Q sont dans une même ligne horizontale , on aura de même : la tension du cordon AP , ou du cordon. AQ , ou ce qui est la même chose , l’effort que supporte le point P dans le sens AP , ou le point Q dans le sens AQ est au poids S , comme PR est à PQ.

A mesure que la corde PAQ devient plus courte , les points P et Q étant fixes et invariables , le poids S s’élève de plus en plus , et les directions PA et AQ s’éloignent moins de la direction horizontale ; PR augmente parce que le centre du cercle est toujours plus éloigné , et PQ qui demeure le même devient ainsi proportionnellement plus petit. La tension produite par un même poids devient donc de plus en plus grande , et les points fixes ont à supporter un effort de plus en plus considérable.

Enfin si l’on supposait que la corde n’a que la longueur PQ , et qu’elle est néanmoins extensible , la force S appliquée au milieu de sa longueur , la fera fléchir sur-le-champ , quelque petite' que soit cette

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force , et il se fera en même temps sur les points fixe# P et Q un effort extrêmement considérable. En voici la preuve. Si la corde PQ conservait sa position horizontale , il s'ensuivrait que la force verticale S qui n’t st détruite par aucune force contraire , demeurerait sans effet : ce qui ne se peut pas. Or l’effet de cette force est d’obliger à descendre le point où elle est appliquée. La corde fléchira donc un peu , et prendra la position PA'Q : mais alors l’effort supporté par les points P et Q sera toujours à cette force S , comme le sinus de la moitié de PA'Q est au sinus de cet angle tout entier. L’angle PA'Q étant dans le cas présent , infiniment ouvert , et la ligne brisée PA'Q différant très-peu d’une ligne droite , le sinus du demi-angle sera égal à l 'unité (i) , et celui de l’angle total sera une très-petite fraction. Donc la tension des cordons , ou l’effort exercé sur les points d’appui contiendra la force S autant de fois que l’unité peut contenir une fraction très-petite, c’est-à-dire , un très-grand nombre de fois.

Une petite force peut donc produire un effet trèsgrand , et beaucoup supérieur à elle-même. Cette conséquence singulière demande une explication , parce quelle paraît contrarier l’idée qu’on a généralement du rapport d 'égalité qui doit exister entre la

(i) Le demi-angle sera à Irès-peu près un angle droit % dont le sinus , comme on sait , est égal au rayon du cercle. C’est le plus grand des sinus : on l’exprime ordinairement par 1 unité. L’angle total vaudra aussi très-près de deux angles droits , ou de la demi-circonférence , et son sinus ne Sera guère au-dessus de zéro.

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cause et ses effets. Comment donc peut-il se faire qu’une puissance d 'une livre , par exemple , produise, dans le cas que nous considérons ici , un effort de cent livres, ou même plus P Pour répondre à cette question , j'observe d’abord qu’une force d’une livre n a , et ne peut avoir besoin pour être contre-balancée que d’une force égale , pourvu que celle-ci lui soit directement opposée. Mais si l’on voulait balancer cette force d’une livre par une force qui fut inclinée à sa direction , il est évident que la chose ne serait pas possible , quelle que fût la grandeur de la force qu’on prétendrait employer pour obtenir cet effet.

Deux forces non opposées ne sauraient se détruire , et à raison de leur inclinaison , elles ont toujours , comme on sait , une résultante , qui ne peut être nulle. Cette force d’une livre ne peut donc être détruite en totalité par aucune force qui ne lui serait pas directement opposée. Mais elle pourra letre par le concours ■de deux forces , qui lui seraient l’une et l’autre inclinées ; il suffit pour cela que la résultante de celles-ci soit égale et opposée à cette force d’une livre. Or la chose , comme il est évident , peut se faire d’une infinité de manières différentes , puisque la même droite peut être la diagonale d’un nombre illimité de parallélogrammes , dont les côtés seraient différons en grandeur et en direction.

Voici donc ce qui arrive dans le cas que nous considérons ici. Les deux forces P et Q ( fig. 49 ) quelque grandes quelles soient , n’ont pourtant qu’une résultante égale à S ; et c’est au moyen de cette résultante quelles contre-balancent celle-ci. Leur action absolue est saqs doute beaucoup plus grande : mais il n’y en a

3io Deuxième Section. Chapitre IV.

qu’une petite portion qui soit employée à produire J’équilibre : le reste se détruit par son opposition , comme on peut le prouver aisément , en faisant usage du principe de la décomposition des forces. En effet P représenté par ab , se décompose dans les deux forces bc et be : Q représenté par bd donne de même pour ses composantes les deux forces bc et bf Les forces bc qui agissent dans le même sens , s’ajoutent ensemble et produisent la force bg égale et opposées à S : quant aux forces be et bf, comme elles sont égales et opposées entre elles , elles se détruisent mutuellement. Il n’y a donc qu'une certaine partie des forces P et Q qui soit employée à tenir en équilibre la force S. Le fait en question se trouve donc expliqué conformément aux principes de la mécanique.

Il resterait à dire que c’est la force S qui donne naissance aux forces P et Q , et qu’on a de la peine à concevoir comment cette force peut produire quelque chose de plus grand qu’elle-même. Il est vrai qu’on a supposé que la corde était justement de la longueur PQ, et quelle était sans pesanteur. Ainsi la tension était nulle avant l’introduction de la force S. C’est donc cette dernière qui produit, les tensions P et Q beaucoup plus grandes qu’elle-même. Mais d’abord comme ces tensions lui sont extrêmement inclinées, elle ne produit réellement dans sa direction propre qu’un effort qui lui est égal ; et si ceux qui se font aux points d’attache , sont beaucoup plus grands que celui-là , c’est qu’il est nécessaire qu’ils le soient , pour qu il puisse en résulter dans le sens opposé à S une force égale et qui tienne celle-ci en équilibre. D’un autre côté si les forces P et Q n’existaient pas d’une manière

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iipparente dans le premier instant , elles existaient en quelque sorte virtuellement , et ne demandaient pour se manifester qu’un léger changement dans la longueur et la position de la corde PQ. Ce changement opéré par la force S , les a fait paraître dans toute leur énergie et leur opposition , de sorte qu’il ne se passe ici rien de contraire aux principes.

Expérience. Voici une expérience remarquable qui confirme ce qui vient detre dit, et qui y trouvera aussi son explication. Une vessie ( fig. 5o ) est attachée à un point fixe par son goulot , et porte suspendu à son fond un poids de a 5 à 3o kilogrammes. Ce poids lorsque la vessie est entièrement vide d'air , repose sur un plan horizontal , de manière que la vessie n’a aucun effort à faire pour le soutenir ; et quelle est seulement légèrement tendue dans le sens vertical. Les choses étant dans cet état , si au moyen dun bout de tuyau on souille de l’air dans l’intérieur de cette vessie , aussitôt on la voit se gonfler peu à peu : son diamètre horizontal s’étend , le diamètre vertical s'accourcit , et l’on voit le poids qui y est attaché , s’ébranler , quitter son support , et s’élever. Il ne faut donc pour soulever ce poids de 25 à 3o kilogrammes , que l’effort médiocre par lequel on pousse de l’air dans l’intérieur d’une vessie.

Cette expérience qui toujours excite quelque surprise dans ceux qui en sont témoins , s’expliquera facilement d’après nos principes. La puissance qui agit ici!} c’est la force expansive de l’air poussé dans la vessie. Cet air comme tous les fluides , exerce son action perpendiculairement aux parois qui le contiennent. Si donc nous n’avons égard qu’à l’effort qui se fait contre

3iü Deuxième Section. Chapitre IY.

la partie la plus renflée , nous pourrons considérer la' courbe cbd comme une ligne brisée composée de deux parties égales, et sur le mibeu de laquelle est appliquée une force qui agit dans le sens ab. cbd formait d’abord une ligne droite , verticale et flexible. Une force peu considérable à la vérité , est venue agir contre cette droite perpendiculairement à sa longueur. Il est évident que la résistance des points c et d n’a pas pü empêcher l’effet de cette action ; il a donc fallu que la droite cédât et devînt angulaire : les deux points c et d dont l’un est mobile , ont été forcés de se rapprocher , et le poids M a été soulevé. Mais il ne faudrait pas croire que l’effort fait par les muscles do la bouche, si c’est avec la bouche qu’on a poussé l’air, Éoit ici la seule chose qui soutienne le poids : la trèsgrande partie en est supportée par le point fixe c, ainsi qu’on pourrait encore le démontrer en décomposant les puissances qui agissent dans les sens cb et bd , comme on l’a fait dans l’exemple précédent. Il suit de là que la force qui agit ici , ne produit encore que l’effet dont elle est capable ; et lorsqu’on cesse de pousser de l’air , ou de le retenir , le poids redescend lentement en chassant peu à peu tout l’air introduit.

Ceci rappelle et confirme le principe établi plu* haut, et sur lequel je crois à propos d’insister , qui est: que V effet ne saurait être plus grand que la cause à qui il est dû. Il y a plus : si l’on a soin de ne rien négliger , et qu’on tienne fidellement compte de tout , on trouvera toujours une égalité parfaite entre la puissance qui a agi, et la somme des effets quelle a produits : ceux-ci sont naturellement la mesure de celle-là ; et quelle que soit la succession de ces effets , quelques

Digiti

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changemens qu’ait éprouvés la cause première pendant son action ; on peut dire que le résultat final n’est que cette même puissance , dont la forme a pu changer , mais dont la grandeur est toujours demeurée la même. C’est ainsi que dans la résolution d’un problème d’algèbre , la dernière égalité où l’on arrive , était implicitement contenue dans la première , ou plutôt elle n’est que celle-ci modifiée , et non altérée , par les différentes transformation? quelle a subies.

Cependant on lit dans un Traité de mécanique d'ailleurs fort estimable , cette singulière proposition : 31 est faux d’avancer que les effets sont proportionnels à leurs causes. Il faut avouer qu’un principe pareil , énoncé d’une manière aussi formelle , est un étrange paradoxe en mécanique. Car s’il est faux de dire que les effets sont proportionnels à leurs causes ; il sera donc vrai de soutenir que les effets peuvent ne pas être en proportion avec les causes qui les produisent ; et alors il sera permis d’attendre d’une cause quelconque un effet supérieur à elle-même ; ce qui est évidemment impossible. Il est donc très-important de s’en tenir sur cela au principe que nous avons posé ; et si quelques faits particuliers offrent des difficultés , et semblent être contraires à la loi établie , on trouvera en examinant la chose avec attention , que cela vient toujours de ce que les mots de cause ou d'effet auront été inal entendus. Revenons à notre sujet.